2022年数学初高中衔接教材.pdf

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1、目录目录 . 1专题一、数与式. 3 1.数. 31.1 创设情境 . 31.2 典型例题 . 3实战演练 ( 一) . 5 2.式. 62.1 创设情境 . 62.2 典型例题 . 7实战演练 ( 二) . 9专题二、函数与方程. 11 1.常见函数 . 11 1.1 创设情境 . 11 1.2 典型例题 . 12 实战演练 ( 三) . 15 2.一元二次方程. 16 2.1 创设情境 . 16 2.2 典型例题 . 16 实战演练 ( 四) . 19 3 .一元二次方程实数根的分布问题. 19 3.1 创设情境 . 19 3.2 典型例题 . 20 实战演练 ( 五) . 21 专题三、

2、数形结合. 22 创设情境 . 22 1. 二次函数的图象及其性质. 22 1.1 典型例题 . 23 实战演练 ( 六) . 24 2.四个二次的联系. 25 实战演练 ( 七) . 28 2.简单的函数图象变换. 29 2.1 典型例题 . 29 实战演练 ( 八) . 32 专题四、分类讨论 . 33 创设情境 . 33 1. 二次函数在闭区间上的最值. 33 1.1 典型例题 . 34 实战演练 ( 九) . 36 2.含参数的一元二次不等式. 37 2.1 典型例题 . 37 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - -

3、- - - - - - -第 1 页，共 48 页 - - - - - - - - - - 实战演练 (十) . 39 3.含有绝对值不等式的解法. 39 3.1 典型例题 . 39 实战演练 (十一 ) . 41 实战演练参考答案. 42 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 48 页 - - - - - - - - - - 专题一、数与式1.数1.1 创设情境普 鲁 士 天 文 学 家 提 丢 斯 （ itius,1729 1796 ） 通 过 研 究 下 面 一 列 数3,6,

4、12,24,48,96,192,，推导出从太阳到行星的距离的经验定律，并探明了一些行星提丢斯发现： 每个数恰好是前一个数的2 倍； 如果把 0 加在这一列数的最前面作为第一个数，我 们 再 做 一 个 简 单 的 运 算 ： 每 个 数 加 上4,然 后 再 除 以10 ， 就 得 到 另 一 列 数 ：0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0,19.6, 这可不是一列简单的数：第一个数表示太阳到其最近的行星水星的近似距离，第二个数表示太阳到金星的近似距离，依次类推，他得到一张出色的表：水星金星地球火星? 木星土星? ? 实际距离0.39 0.72 1.0 1.52 ? 5.2

5、 9.5 ? ? 计算距离0.4 0.7 1.0 1.6 2.8 5.2 10.0 19.6 注：表中数据的单位是天文单位，一个天文单位等于太阳到地球的距离，约为149 597 870 km. 当时表中还有一些空格未填上1781 年，人们发现了天王星（与太阳的距离是19.2 天文单位），差不多恰好处在定律所预言的轨道（19.6）上于是，天文学家们开始在距离约为 2.8 个天文单位的区域寻找尚未被发现的行星1801 年，意大利天文学家比亚兹(Biyaz,17491826) 果然在这个区域发现了谷神星，它与太阳的近似距离为2.7 个天文单位小小一列数真不简单！我们将探究数的规律，并根据它们的规律求

6、一些较为复杂的算式的和1.2 典型例题【例 1】 观察下列已有数的规律，在“（） ”内填入恰当的数1,1,2,3,5,8,( ),21,34,( ),89, 【分析】 我们观察发现：1+1=2,1+2=3,2+3=5,3+5=8, ,也就是说，从第3 个数开始，每一个数是其前2 个数的和所以8后面的数是13,34 后面的数是55. 这一列数最初由意大利数学家斐波那契(Fibonacci,约 1170约 1250)在其著作算盘书中提出的一个“兔子问题”，后来被广泛应用于传染病预测、植物的花瓣数、松果的排列数等一般地，为了寻找这些数的规律，我们总是从它们相邻的数之间找规律比如，有的是按增加或减少相

7、同数值的规律排列，有的则按增加或减少相等的倍数排列等行星距离类别精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 48 页 - - - - - - - - - - 【例 2】 求下列各算式的和：(1)1111261290L; (2)11111 33 557(21)(21)nnL【分析】 分数相加， 一般先将分母通分，然后相加但对上述两个问题采用这个方法显得太繁琐， 甚至行不通 仔细观察算式的特征，我们发现每一项的分母是两个数的乘积，若把这一项拆成两个分数的差再进行计算，则比较简便解(1) 111

8、1261290L11111 2233 49 10L11111111112233489910L1911010(2) 11111 33 557(21)(21)nnL1111111111112323525722121nnL11122121nnn如例 2 这种求和方法，我们称它为拆项法(也可叫裂项法 )它主要是将所求算式的每一个数或式，拆成两个数或式的差，然后求和试一试，求算式11111 23234345(1)(2)n nnL的值 . 我们已学过实数的四则运算及乘方、开方运算， 在高中除实数的这些运算处，还有其他的一些运算与代数式的变形【例 3】记号 x表示不超过x的最大整数如512.12,0.128

9、1,02试计算：5 33236【分析】解5 33223 12136【例 4】 设62,6262ab，试比较,a b的大小精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 48 页 - - - - - - - - - - 解法一66(62)62 3334262( 62)(62)a，22(62)2 32314262( 62)(62)b132Q，1333131,12222ab解法二626(62)2( 62)1306262( 62)(62)abab化去分母中的根号，又称为分母有理化 (0,0)aabb型

10、的根式分母有理化法则：2aababbbb；1(0,0,)ababab型的根式分母有理化法则：1()()abababababab即用平方差公式进行分母有理化实战演练 ( 一) 1.观察下列已有数的规律，在括号内填入恰当的数：(1)0.5,1.5,4.5,( ) ,40.5,L(2)1,( ) ,9,( ) ,25,36,49, L2.我们通常用na表示一列数中的第n个数已知某一列数中的第一个数11a，第n个数与第1n个数满足关系式111nnaa试写出这列数中的第4个数与第6个数3.计算：(1)155736( 6)( 8)( 9)( 0.75)( 2)；(2) (36)(36)；精品资料 - -

11、- 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 48 页 - - - - - - - - - - (3)已知2,5,4abxy，求(25) (25)axbyaxby的值4.计算：(1)1515(310)(310)；(2)24154155.计算：(1)2623；(2) 355353; (3)361342 36. 如 果 实 数, x y满 足11, 11xy， 定 义 一 种 运 算 “” , 使2211xyxyyx。计算： (1)1322；(2) 131322227.设, , ,a b c d是实数，定义一种运

12、算“| |” ，使acadbcbd(1)试计算2532的值； (2)试证明：macacmmbdbd；(3)试探索运算“| |”,你还能得到哪些性质？8.已知118812yxx，求代数式22xyxyyxyx的值9.计算：(1)222222(12 )(34 )(99100 )L；(2) 11111 3243 5(2)nnL2.式2.1 创设情境有人总结了“首位相同，尾数和不等于10 的两位数相乘”的计算技巧:两首位相乘（即求首位的平方） ，得数作为前积，两尾数的和与首位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳

13、- - - - - - - - - -第 6 页，共 48 页 - - - - - - - - - - 数相乘，得数作为后积。如：计算56 58 由 5 5 = 25;又有（ 6 + 8 ）5 = 7,6 8 = 48因此结果为3248.同学们 ,你们能给出这一规律的数学解释吗? 我们已经学过多项式与多项式相乘的法则根据法则，让我们来计算下面的算式：2232222333()()ab aabbaa baba babbab，即2233()()ab aabbab一般地，我们有以下立方和公式 ：()()=2233a + ba - ab+ ba + b即 两数和乘以这两数的平方和与这两数的积的差, 等于

14、这两个数的立方和如果把22()()ab aabb写成22()()() abaabb，就可以由立方和公式得出 立方差公式 ：()() =2233a - b a + ab+ ba - b即 两数差乘以这两数的平方和与这两数的积的和 ，等于这两个数的立方差2.2 典型例题【例 1】 用立方和公式与立方差公式计算：(1)2(7)(497)xxx；(2) 22131(3)(9)224xyxxyy；(3)2242(93)(3)mmmxxxxx(4)22(1)(1)(1)(1)aaaaaa; (5)22()()()()abababababab解(1)222333(7)(497)(7)(77)7343xxxx

15、xxxx(2) 2222131111(3)(9)(3)3(3 )224222xyxxyyxyxxyy33331132728xyxy(3)2242(93)(3)mmmxxxxx22222(3)33mmmxxxxxx32336(3)()27mmxxxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 48 页 - - - - - - - - - - (4) 22(1)(1)(1)(1)aaaaaa22(1)(1)(1)(1)a aaa aa3311aa61a(5)22()()()()abababab

16、abab2222()(2)()(2)ab aabbababaabbab2222()()()()ab aabbabaabb3333abab32b想一想，对例1 第(5)题，如果先分别计算(1)(1)aa,22(1)(1)aaaa,那么可以怎么算？试一试，哪种方法更简便？【例 2】 已知2221,2abcabc，求abbcca的值解由2222()222abcabcabbcca，得2122()abbcca，12abbcca【例 3】 把下列各式分解因式：(1)3216aab；(2) 61x；(3) axaybxby解(1)3322162 (18)2 (12 )(124)aabababbb(2) 26

17、23332211(1)(1)(1)(1)(1)(1)xxxxxxxxxx(3) ()()()()()()axaybxbyaxaybxbya xyb xyabxy注意，对多项式分解因式， 应观察多项式有没有公因式可提取，能否运用公式分解因式；如果一个多项式的项作适当的分组，并提出公因式后，各组之间又出现新的公因式，再提取这个公因式，于是就把这个多项式分解因式，象这种分解因式的方法通常叫做分组分解法 想一想，对例3 第(2)题，如果先运用立方差公式，应如何分解因式？如何把223xx分解因式呢？先把二次项系数2分解成1 2，再把常数项3分解成1( 3)或( 1)3，并按下图逐个进行验算：132111

18、2313211123精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 48 页 - - - - - - - - - - 1 12( 3)51 32( 1)11( 1)2351 ( 3)2 11其中只有1 32( 1)1，恰好等于一次项系数1所以223(1)(23)xxxx象这样借助十字交叉线把二次三项式分解因式的方法，叫做 十字相乘法 由于二次项系数与常数项分解的因数有多种可能情况所以运用十字相乘法分解因式时往往要经过多次尝试才能成功值得注意的是， 运用十字相乘法分解因式时，左边一列的两个数是二

19、次项系数的因数(若二次项系数为正，只需作正因数分解)，一旦排定后就不变，然后再对常数项的因数作适当调整【例 4】 把下列各式分解因式：(1)2456xx；(2) 22656xxyy解(1)22456(456)xxxx，用十字相乘法把2456xx分解因式 (如图 )，得2456(2)(43)xxxx2456(2)(43)xxxx(2)如图，得22656(23 )(32 )xxyyxyxy注意， 二次项系数为负时，可先把负号提到括号的前面二次三项式中含有两个字母时，把其中的一个字母看做常数实战演练 ( 二) 1.填空：(1)设22()()abakabbp，则当k时，33pab；当k时，3()pab

20、；(2)已知2233(23 )(49)827xyxkxyyxy，那么k2.已知20062007,20062008,20062009axbxcx，求222abcabbcca的值3.把下列各式分解因式：(1)66xy；(2) 442mm；(3)23833xx；(4) 12431 34 ( 2)52332223( 3)5精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 48 页 - - - - - - - - - - 4222239108a xa xx4.化简：(1)22(4)(24416)abaab

21、bab；(2)226336xxxxxx；(3) 22213211143xxxxxxx5.化简：(1) 3( 2) 32aa bbb；(2)322227(0)yxx yxyxx yxy；(3)22131xxx；(4) 11111111xxxx6. (1)用分组分解法把abcbac分解因式，分组的方法有( ) A1种B2种C3种D4种(2) 已 知 一 元 二 次方 程20 xpxq的两 根 分 别 是123,4xx， 则 二 次 三 项 式2xpxq可分解为 ( ) A(3)(4)xxB(3)(4)xxC(3)(4)xxD(3)(4)xx(3)若33220.001(10)(10010)xykxy

22、xxyy，则k的值为 ( ) A110B2110C3110D41107.a是正整数，且3221215aaa表示质数，求出这个质数8.计算：(1)32 571535215；(2) 12 3552 73(13)(35)(57)(73)；(3)已知11,3232xy，求223xxyy的值9.解方程：3430 xx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 48 页 - - - - - - - - - - 专题二、函数与方程1.常见函数1.1 创设情境在校园内要建一个圆形的喷水池，要求喷水口B距

23、离地面的高度为1.5m，喷头的水流呈抛物线形状， 若已知喷头B与水流最高点C的连线与水平地面成45o角， 且水流最高点C比喷头BB 高2m，那么水池的半径至少为多少？分析 :如图，建立直角坐标系，则点B 的坐标为3(0,)2，顶点 C 的坐标为7(2,)2，点 A 的纵坐标为O设二次函数的解析式为27(2),2ya x将点3(0,)2代入，得12a，抛物线形水流的函数解析式为217(2).22yx点 A 的坐标为(27,0).答：水池的半径应大于(27)m. 我们知道 ,二次函数的解析式有三种形式(1)形如2(0)yaxbxc a的解析式称为二次函数的一般式，一般式主要强调了二次函数形式上的特

24、点，是按x的降幂排列的一个二次三项式 .（2）对一般式进行配方为224()24bacbya xaa的形式称为 二次函数的顶点式 一 般 地 ， 若 已 知 二 次 函 数 的 顶 点 坐 标 为(, )m n， 则 二 次 函 数 的 解 析 式 为2()(0)ya xmn a其中顶点坐标满足24,24bacbmnaa.顶点和对称轴是确定一条抛物线的两个重要元素，从顶点式中可以很清楚的看出这个二次函数图象的顶点坐标及对称轴方程 .（3）如果已知二次函数的图象与x轴的交点横坐标为12,x x，则其解析式可设为12()()(0)ya xxxxa，这种形式被称为二次函数的两根式其中12,x x是一元

25、二次方程20axbxc的两个实数根, 12(,0),(,0)xx是二次函数的图象与x轴的两个交点，其优点是便于将二次函数和一元二次方程联系起来.在有关二次函数的题目中经常出现。ABCOxy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 48 页 - - - - - - - - - - 三种形式都有各自的特点，下面举例说明它们在求二次函数解析式中的应用。1.2 典型例题【例 1】 已知二次函数经过三点1 3(,),( 1,3),(2,3)2 4ABC，求这个函数的解析式【分析】 由二次函数图象

26、经过已知三点,故可以设一般式用待定系数法求函数的解析式;也可以分析此三点的位置特征,寻找确定对应抛物线的元素. 解法一设二次函数解析式为2(0)yaxbxc a，将三点坐标代入，得1131424314231abcaabcbabcc故这个二次函数的解析式为21yxx解法二注意到点B，C 的纵坐标相等，且点B，C 关于直线12x对称，故二次函数图象的对称轴为12x，而点 A 的横坐标恰好为12，故点 A 是抛物线的顶点设二次函数的解析式为213()24ya x(顶点式 )，将点 B 或点 C 的坐标代入，得1a故二次函数解析式为213()24yx，即21yxx想一想 :你还能给出其它解法吗? 【例

27、 2】设二次函数( )f x满足(2)(2),f xfx且它的图象与y轴交于点 (0，1)，在x轴上截得的线段长为2 2，求( )f x的解析式222(2)(2),( )2( )(2)22,2211(2)1212f xf xf xxf xa xbbaabxxx12解由得二次函数关于直线对称设根据图像与 y轴交于点（，），有a+b=1,又由条件x -x即 解得：，1所以二次函数的解析式为：y=2在高中阶段的数学学习中，经常会遇到形如yaxb2yaxbxc及(0)a的函数， 显然，这两个函数与初中阶段学过的一次函数及二次函数有联系，但是它们之间又有精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -

28、 - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 48 页 - - - - - - - - - - 区别，即增加一个绝对值符号本节我们来简单讨论它们的图象及性质大家知道，,0,0aaaa a,根据绝对值的意义，即可将上述函数中的绝对值符号去掉【例 3】 作出下列函数的图象：(1) yx(2) 21yx（3）1yx（4）211.yx【分析】 这两个函数与我们熟悉的一次函数比较，可以发现， 去掉绝对值符号后与一次函数联系密切，只须考虑绝对值内一次式的符号即可. 解根据绝对值的意义，可以得到：（1）,0,0 xxyxxx，作出图象如图（1）; （2

29、）121 ,221121 ,2xxyxxx作出图象如图（2）; (3)1 ,01,1 ,0 xxyxxx作出图象如图（3）; (4)12,2211122 ,2xxyxxx,作出图象如图（4） ; 图(1) 图(2) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 48 页 - - - - - - - - - - 图(3) 图(4) 由例题可知，(0)yaxbc a实际上是一个分段函数，每一段是一次函数的一部分，对比图象可得，(0)yaxbc a的图象是一条折线，它以直线bxa为对称轴，函数值

30、大于等于c，当且仅当bxa时，yc取最小值. 研究它们的图象，我们可以发现：（1）对于作出(0)yaxb a的图象，可以先作出(0)yaxb a的图象（它是一条直线），只须将yaxb的图象中位于x轴下方部分向上翻折（即作出关于x轴对称的图象） ，在x轴上方部分或x轴上方部分不变，即可得到yaxb的 图 象 （ 2 ） 对 于 作 出(0)yaxbc a的 图 象 ， 可 以 先 作 出(0)yaxb a的图象， 再将函数yaxb的图象向上(0)c或向下(0)c平移c个单位，即可得到yaxbc的图象 . 【例 4】 作出下列函数的图象：(1)221yxx(2) 223yxx【分析】 解题的关键是

31、去掉绝对值符号后将函数的图象转化为熟知的二次函数的图象. 解根据绝对值的意义，可以得到：22221 ,0(1)2121 ,0 xxxyxxxxx, 作出图象如图二(1); 22223 ,31(2)2323 , 13xxxxyxxxxx或,作出图象如图二(2). 图二(1) 图二 (2) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 48 页 - - - - - - - - - - 我们可以发现： (1)2(0)yaxb xc a的图象关于y轴( 直线0 x)对称， 其y轴右侧的图象即为2y

32、axbxc (0)x的图象 . 作2(0)yaxb xc a的图象，可以先作出2yaxbxc (0)x部分，再作出2yaxbxc (0)x的图象关于y轴的对称图象.(2)2(0)yaxbxc a的图象关于直线2bxa对称 . 若2(0)yaxbxc a的图象在x轴 下 方 不 存 在 ， 则2yaxbxc的 图 象 即 为2yaxbxc的 图 象 . 若2(0)yaxbxc a的图象有部分 ( 或全部 ) 在x轴下方，则只须将函数2yaxbxc的图象在x轴下方部分向上翻折( 即关于x轴对称 ) 即可，在x轴上方的图象不变. 试 一 试 , 作 出 函 数21yxx的 图 象 . 并 研 究 方

33、 程211xx与 不 等 式211xx的解 ;如果不等式21xxm对任意的实数x恒成立 ,你能求出m的取值范围吗 ?实战演练 ( 三) 1已知二次函数2yaxbxc，根据下列条件，求a， b，c(1) 函数图象的顶点坐标为（2，-3） ，且过点（ 0， 1） ；函数图象过点（-1，1） ，对称轴为2,x且在x轴上截得的弦长为2 2.2已知二次函数的图象过点A（1，0） ，对称轴为3,x顶点为 B，且AOB（O 为坐标原点）的面积为4，求二次函数的解析式3如图所示是一条公路隧道口的示意图，建立直角坐标系，点A 和 B，点 C 和 D 分别关于y轴对称，隧道拱CPD 为抛物线的一段，最高点 P距路

34、面 AB 的距离为m8，点 C 距路面 AB 的距离为m6，隧道的宽 AB 为m16 现有一辆大型货车，装载大型设备后，其宽为m4，车载大型设备的顶部与路面的距离为m7，问这辆货车能否安全通过这个隧道?请说明理由4.作出下列函数的图象: (1) 11;yx(2) 212 ;yxxx(3) 2221.yxx5.32yxx求函数的最小值 .6.解下列各题xABCDPOy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 48 页 - - - - - - - - - - 2(1)1()2(2)1()2

35、,32,(4)30,(5)1,xxxxxxxxxaaxaxaxkxxk关于 的方程+1的解为.可以利用图象解关于 的不等式+1的解为.可以利用图象解(3)已知对于一切实数不等式恒成立 则实数 的范围为.已知方程有两个实数根求实数 的取值范围 .已知不等式对于任意实数恒成立 求实数的取值范围 .2.一元二次方程2.1 创设情境在 19 世纪以前，代数学一直被理解为关于方程的科学，因为有许多问题的解决，都可以归结成解方程的问题，所以解方程也就成了初等代数的核心问题。四百多年前， 意大利盛行数学竞赛，竞赛的一方是菲罗（Fior） ，他是意大利波洛那（Bologna）数学学会会长费罗（Ferro，14

36、65 1526）的学生。另一方是威尼斯的数学教授塔尔塔里亚（Taritalia，1500 1557） ，他小时候就受伤后 “口吃”，与费罗一样， 对求解三次方程很有研究.在 1530 年，塔尔塔里亚解决了一个挑战者科拉(Colla) 提出的两个三次方程求解问题。这引起了菲罗的不服，双方定于 1535 年 2 月 22 日在米兰市大教堂各出三十个三次方程公开竞赛。结果塔尔塔里亚在两个小时内解完，而菲罗却交了白卷。1541 年后，塔尔塔里亚得到了三次方程的一般解法。此时， 卡丹出场了。他再三乞求塔尔塔里亚给一首语句晦涩的诗。这首诗写得很蹩脚，但的确把解法的每一步骤都写进去了，他说：“本诗无佳句，对

37、此我不介意，为记这一规则，此诗堪作工具” 。此后卡丹的学生费拉里又得到了四次方程的求解方法。我们在初中已学习过简单的一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，这些内容不仅在初中数学中占有重要的地位，在高中数学中也有很广泛的应用，特别应用于如何用方程的思想去处理我们所碰到的数学问题。本节是对初中所学方程知识的适当拓展。2.2 典型例题【 例1 】 已 知12,x x是 方 程2122(4)02xmxm m的 两 个 实 根 ， 且 满 足129(1)(1)1100 xx，求 m 的值。【分析】 对这个问题，很多同学会这样解：由题意知，12121,(1)4xxm x xm m。又129(1

38、)(1)1100 xx，即12129()100 x xxx，所以19(1)4100m mm，化简，得2925m，解得35m。这样求解对吗?解此类问题先考虑什么? 解已知12,x x是方程2122(4)02xmxm m的两个实根，所以21442(4)02mm m，化简得，160m，解得0m。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 48 页 - - - - - - - - - - 再由12121,(4)4xxm x xm m，129(1)(1) 1100 xx，可得1233,55mm（舍

39、去）。所以 m 的值为35。如 果12,x x是 方 程20 xpxq的 两 个 实 根 ， 那 么 由 根 与 系 数 的 关 系 ， 有1212,xxp x xq，即1212(),pxxqx x。这样，我们有下面的结论：以两个数12,x x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0 xxxxx x.【例 2】 解下列分式方程：（1）222421;242xxxxxx（2）2172()760.xxxx【分析】 将分式方程 (1)去分母转化为整式方程后求解.观察方程 (2)的结构 ,可先将1xx作为一个整体 ,换元后转化为二次方程. 解（ 1 ） 去 分 母 , 两 边 同 乘 以2

40、2x xx， 得2560 xx。 分 解 因 式 解 得122,3xx。经检验，12x是方程的增根，所以原方程的根为23x。（2）设1yxx，则原方程化为22760yy。解得123,22yy。由32y，得132xx，则1212,2xx；由2y，得12xx，则3412,12xx。经检验，1212,2xx，3412,12xx均为原方程的解。我们可以得到解分式方程的基本思路：在方程的两边都乘以最简公分母，或者通过换元把原方程化为整式方程，而这样的整式方程往往都可以化为最简单的一元一次方程或一元二次方程。由于在去分母的过程中，未知数的取值范围扩大了，因此有可能会产生增根，所以求得的解必须代入最简公分母

41、或原方程进行检验。【例 3】 解下列无理方程：（1）39352xx；（2）224239xxxxx. 【分析】 考虑将根号去掉,可以将无理方程化为有理方程求解. 解（1）移项，得39352xx。两边平方，整理得352x。两边再平方，解得3x。检验：把3x代入原方程，两边等式成立，所以3x是原方程的解。（2）原方程变形为222(3)239xxxxxx，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 48 页 - - - - - - - - - - 即22( 3)9xxx，所以233xxx。由23

42、3xxx，解得1291,2xx；由233xxx，解得34597597,44xx；经检验，5974x均为增根，所以1291,2xx是原方程的解。解无理方程的基本思路是去根号，而去根号的主要方法是通过适当的移项后，将方程两边平方（有时要经过第二次移项及两边平方），化成有理方程来解。但对较复杂的无理方程有时要根据方程的特点用换元法及其它的方法，直接化成有理方程或比较简单的无理方程，再把无理方程转化成有理方程。在把无理方程化成有理方程的过程中，我们采用了把方程两边同时平方的方法，这种方法不是同解变形，因此往往会产生增根，必修把新方程的根代人原方程进行检验。【例 4】 解方程组2232xyxy【分析】

43、消元将二元方程组转化为一元方程来解,或根据方程组中未知数的关系构造一元二次方程来求解 . 解法一：由2xy，知0 x，所以2yx。把2yx代人223xy，得2243xx，即42340 xx。所以22(4)(1)0 xx，解得224,1xx（舍去）。所以122,2xx。分别代人2xy，得121,1yy。所以方程组的解为1121xy,2221xy。解法二：由2xy，知224x y，所以22()4xy。而22()3xy，因此22,xy是方程2340uu的两个根，解得124,1uu. 由于20 x，20y，故有2241xy，即2241xy。又因为2xy0，所以方程组的解为1121xy,2221xy。由

44、例4 我们看到，解二元二次方程组时，应先分析原方程组的结构特点，运用不同的方法，达到消元，降次的目的，从而求得方程组的解;另外，灵活的运用根与系数的关系，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 48 页 - - - - - - - - - - 往往起到意想不到的效果。实战演练 ( 四) 1.若方程2(1)10 xax的判别式的值是5，求 a 的值 . 2.若关于 x 的方程22(31)91kxkxk有两个不相等的实数根，求k 的取值范围、3.当 a，b 为何值时，方程2222(1)(

45、3442)0 xa xaabb有实数根？4.已知方程2(1)30 xkxk的一个根是2，求它的另一个根及k 的值。5.已知一元二次方程220axbxc的两个根满足122xx，且 a， b，c 分别是ABC的,ABC的对边。（1）证明方程的两个根都是正根；（2）若 a=c，求B的度数。6.解方程：2216104()933xxxx。7.解方程：2232512 15yyyy。8.已知方程1802 (1)1xxaxxx xx，当 a 为何值时， 此方程只有一个实数根？求出这个实数根。9.用两种方法解方程组2252xyxy。10. 解方程组22264xyxyx。3 .一元二次方程实数根的分布问题3.1

46、创设情境求四次方程的根化为求一个三次方程和两个二次方程的根，有了这个突破， 数学家们就以极大的兴趣和自信致力于寻找五次方程的求解方法。他们发现，对次数不超过四的方程，都能得到根的计算公式，每个根都可用原方程的系数经过加减乘除和开方运算表出。于是人们断言：对于五次方程来说，也一定存在这种求根公式。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 48 页 - - - - - - - - - - 1771 年，拉格朗日发表长篇论文关于方程的代数解法的思考提出了这个怀疑。1813年， 他的弟子意大利

47、的内科医生鲁菲尼终于证明了拉格朗日所采用的寻找预解式的方法对于五次方程的确是失效的。可是数学家们都没有给出“不存在性”的证明。第一个证明 “高于四次方程不能用根号求解”的是挪威青年数学家阿贝尔（Abdl，1802 1829） ，他写出了五次方程代数解法不可能存在.但阿贝尔并没有给出一个准则来判定一个具体数字系数的高次代数方程能否用根号求解。1828 年,17 岁的法国数学家伽罗华（Galois，1811 1832）将关于五次方程的代数解法问题等两篇论文送交法国科学院,但被柯西（ Cauchy, 1789 1875）遗失 .后来 ,他又把一篇文章送给傅立叶（ Fourier，17681830）

48、.不久 ,傅立叶就去世了,也就不了了之。 1831年， 伽罗华完成了 关于用根式解方程的可解性条件一文，院士普阿松 （Poisson， 1781-1840）的审查意见却是“完全不能理解”，予以退回。伽罗华不幸因决斗受重伤于1832 年 5 月 31日离世，时年不满21 岁，在决斗前夜，他深知为女友决斗而死毫无意义，但又不甘示弱，当晚他精神高度紧张和极度不安，连呼“我没有时间了！”匆忙之中，把他关于方程论的发现草草写成几页说明寄给他的朋友，并附有如下一段话： “你可以公开地请求雅可比（Jacobi）或高斯， 不是对于这些定理的真实性而是对于其重要性表示意见，将来我希望有人会发现这堆东西注释出来对

49、于他们是有益的。”到了 14 年后的 1864 年，刘维尔（Liouville ，18091882）在由他创办的纯粹数学和应用数学杂志上发表了伽罗华的部分文章。关于伽罗华理论的头一个全面而清楚的介绍是若当（Jordan，1838 1892）于1870 年出版的置换和代数方程专论一书中给出的。 这样。 伽罗华超越时代的天才思想才逐渐被人们所理解和承认，至今已成为一门蓬勃发展的学科抽象代数学。本节课主要研究一元二次方程实数根的分布问题，研究此类问题我们常借助于根与系数的关系及相应的二次函数的图象来分析与解决问题3.2 典型例题【例 1】 已知一元二次方程2470 xxm，问当m为何值时，方程的两根

50、均为负数【分析】 根据根的符号特点,可以结合根与系数的关系结不等式组;或从二次函数的图象的角度将根的特点在图象上反映出来,再利用图象寻找其成立的条件. 解 法 一设1x，2x是 原 方 程 两 实 根 ， 要 使10 x，20 x必 须1212000 xxx x， 即164 7070mm，解得37m解法二设函数247fxxxm，并作出满足条件的函数的大致图象，如图1 所示则m必须满足：020200baf，解以上不等式组，得37m精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 48 页 - -