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1、初高中衔接教学讲义一、常用公式我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()abaabbab；（2）立方差公式2233()()abaabbab；（3）三数和平方公式2222()2()abcabcabbcac；（4）两数和立方公式33223()33abaa babb；（5）两数差立方公式33223()33abaa babb例 1 计算：22(1)(1)(1)(1)xxxxxx例2已知4abc，4abbcac，求222abc的值例3ABC三边a，b，c满足222abcabbcca，试判定ABC的形状例4若 x1和 x2分别是一元二次方程2x25x30 的两根（1）求| x
2、1x2| 的值；（2）求221211xx的值； （3）求 x13x23的值练习：填空2222(2)4(abcabc)若212xmxk是一个完全平方式，则k等于（用 m 表示）已知：1,axa用 x 表示331aa_.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 二、因式分解十字相乘法例 5（1）x23x2；（2）x24x12；（3）22()xab xyaby；（4）1xyxy（5）222456xxyyxy求根法例 6（1）221xx；（2）22
3、44xxyy练习分解因式：（1）x26x8；（2）8a3 b3；（3）x22x1；（ 4）4(1)(2 )xyy yx（5）424139xx；（6）22215xxyy（7）22222bcabacbc；（8）2235294xxyyxy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - （9）222(2 )7(2 )12xxxx.综合除法例 7 在实数范围内分解因式：3231xxx43276xxxx练习在实数范围内分解因式：32432727510 xxx
4、xxxx三、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.如图，123/lll，有ABDEBCEF=.当然，也可以得出ABDEACDF.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“ 对应” 线段成比例 .例 1如图：123/lll， 且2,3,4,ABBCDF=求,DE EF.例 2 在ABCV中，,D E为边,AB AC上的点，/DEBC ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 求证：ADA
5、EDEABACBC.例 3 在ABCV中， AD 为BACD的平分线，求证：ABBDACDC=.例 3 的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比） .练习：如图，在ABCV中，AD 是角 BAC的平分线， AB=5cm,AC =4cm,BC =7cm,求BD的长.相似形例 4 （射影定理）如图：,在直角三角形 ABC中， BACD为直角，ADBCD于.求证： （1）2ABBD BC=?，2ACCD CB=?；（2）2ADBD CD=?练习1已知：如图：在四边形ABCD中，E、F、G、H精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -
6、- 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 分别是 AB、BC 、CD、DA的中点 .（1） 请判断四边形 EFGH是什么四边形，试说明理由；（2） 若四边形 ABCD是平行四边形，对角线AC 、BD满足什么条件时， EFGH 是菱形是正方形2.(外角平分线定理 )在ABCV中，BACD的外角平分线 AD 交 BC延长线于 D，求证：ABBDACDC=.3. 证明：YABCD中，22222()ACBDABAD+=+三角形的“ 四心”三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，
7、恰好是每条中线的三等分点.例 1 三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为 2：1.已知D、E、F分别为ABCV三边 BC 、CA、AB的中点，求证AD、BE 、CF交于一点，且都被该点分成2：1.例 2 三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心 . 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 练习：已知ABCV的三边长分别为,BCa ACb ABc=，I 为A
8、BCV的内心 ， 且 I 在ABCV的 边 BCACAB、上 的 射影 分 别 为 DEF、 、， 求 证：2bcaAEAF+-=.过不共线的三点 A、B、C 有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心 O 为三角形的外心 .三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点 .例 3 求证：三角形各 3 分线的交于一点 .三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心 .锐角三角形的垂心一定在三角形的内部， 直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳
9、- - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 例 4 求证：三角形的三条高交于一点.已知ABCV中，,ADBCD BEACE于于 ，AD与 BE交于 H 点.求证CHAB.练习1求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2若直角三角形的三边长分别为abc、 、 （其中c为斜边长），则三角形的内切圆的半径是 _. 并请说明理由 .34 圆（切线定理）如图 PT 为圆 O的切线，PAB为圆 O的精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -
10、第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 割线，我们可以证得PATPTBV: V，因而2PTPA PB .练习1. 如 图 ， O的 直 径AB和 弦CD 相 交 于 点E ，1,5,60 ,oAEcm EBcmDEB求 CD的长。2， （割线定理）如图Od的割线 PA 、PC分别交Od于点 B、C求证： PA PB= PCPD3.（相交弦定理）Od的弦 AB、CD交于点 P, 求证：PA PB= PCPDDCBAP精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -