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1、变量与函数变量与函数 大千世界处在不停的运动变化之中大千世界处在不停的运动变化之中,如何如何 来研究这些运动变化并寻找规律呢来研究这些运动变化并寻找规律呢?数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化. 创设问题情境创设问题情境1.票房收入问题：每张电影票的售价为票房收入问题：每张电影票的售价为10元元.（1）若一场售出）若一场售出150张电影票，则该场的票房收入张电影票，则该场的票房收入 是是 元；元；（2）若一场售出）若一场售出205张电影票，则该场的票房收入张电影票，则该场的票房收入 是是 元；元；（3）若设一场售出）若设一场售出x张电影票，票房收入为张电
2、影票，票房收入为 y元，则元，则 y= 。小结：票房收入随售出的电影票数变化而变化，即小结：票房收入随售出的电影票数变化而变化，即 y随随 的变化而变化；的变化而变化；2.行程问题：汽车以行程问题：汽车以60千米千米/小时的速度匀速行驶，行驶小时的速度匀速行驶，行驶里程为里程为s千米，行驶时间为千米，行驶时间为t小时小时.请根据题意填表：请根据题意填表：小结：行驶路程随小结：行驶路程随 的变化而变化，有关系式的变化而变化，有关系式s= ，即，即s随随 的变化而变化；的变化而变化； t(时)12310S(千米)1500205010 xx60120180600时间时间60tt3.温度变化问题：如图
3、一，是北京春季某一温度变化问题：如图一，是北京春季某一天的气温随时间天的气温随时间t变化的图象，看图回答变化的图象，看图回答：（1）这天的）这天的8时的气温是时的气温是 ，14时的气温是时的气温是 ，22时的气温是时的气温是 ； （2）这一天中，最高气温是）这一天中，最高气温是 ，最低气温，最低气温是是 ；小结：天气温度随小结：天气温度随 的变化而变化，即的变化而变化，即T随随 的变的变化而变化化而变化； 48610-2时间时间t 在上面的问题反映了不同事物的变化过在上面的问题反映了不同事物的变化过程，其中有些量（例如售出票数程，其中有些量（例如售出票数x，票房收入，票房收入y；时间；时间t，
4、路程，路程s）的值按照某种规律变）的值按照某种规律变化，有些量的值始终不变（例如电影票的单化，有些量的值始终不变（例如电影票的单价价10元元）。）。定义：定义：在一个变化过程中：发生变化的量在一个变化过程中：发生变化的量叫做叫做 ；不变的量叫做；不变的量叫做 ；变量变量常量常量指出前面三个问题及其它问题中的常量、变量指出前面三个问题及其它问题中的常量、变量.（1）“票房收入问题票房收入问题”中中y=10 x，常量是，常量是 ，变量是，变量是 ； （2）“行程问题行程问题”中中s=60t，常量是，常量是 ，变量是，变量是 ；（3）“气温变化问题气温变化问题”， 变量是变量是 ；（4）某位教师为学
5、生购买数学辅导书，书的单价是）某位教师为学生购买数学辅导书，书的单价是4元，则总元，则总金额金额y（元）与学生数（元）与学生数n（个）的关系式是（个）的关系式是 。其中的变。其中的变量是量是 。常量是。常量是 。（5）计划购买）计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数元的乒乓球，所能购买的总数n（个）与单价（个）与单价 a（元）的关系式为（元）的关系式为 。其中的变量是。其中的变量是 ，常量，常量是是 。（6）圆的周长公式）圆的周长公式 ，这里的变量是，这里的变量是 ，常量，常量是是 。1060t和和st和和TX和和yy=4nn和和y4n=50/aa和和n50rC2r和和C2设问：设问：（2）行
6、程问题中s=60t ，当t=3时,s有没有值和它对应？有几个？当t=4,5呢？（1）上面各个问题中，都出现了几个变量？同一个问题中的变量之间有什么联系？ 自变量、函数的概念自变量、函数的概念 设在设在某一变化过程某一变化过程中有中有两个变量两个变量x和和y，如果对于，如果对于x的的每一个每一个值，值，y总有总有唯一唯一的值与它对应，我们就说的值与它对应，我们就说x是是自自变量变量， y是是因变量因变量，y是是x的的函数函数。如。如果当果当x=a时时y=b，那么，那么b叫做当自变量叫做当自变量的值为的值为a时的时的函数值函数值 一般地，在一一般地，在一个变化过程中有两个变化过程中有两个量，例如个
7、量，例如 x x 和和 y.y.如果对于如果对于x x的每一个的每一个值值 y y 都有唯一值与都有唯一值与之对应，我们说之对应，我们说x x是是自变量，自变量， y y是是 x x 的的函数函数. .【对于函数的定义的理解对于函数的定义的理解】 在某个变化过程中有变量且应为两个；在某个变化过程中有变量且应为两个； 对于对于x x的每一个值是指在的每一个值是指在 x x 允许的取允许的取值范围内取值；值范围内取值； y y要通过与要通过与x x之间的关系求之间的关系求 得，并且得，并且有唯一的值与有唯一的值与x x相对应相对应; ; 取值的变量叫自变量，通过取值的变量叫自变量，通过 一定的一定
8、的关系随自变量变化而变化的变量叫自关系随自变量变化而变化的变量叫自变量的函数变量的函数. .自变量与函数是可以互相转化的，是自变量与函数是可以互相转化的，是相对的，但一般情况下约定相对的，但一般情况下约定y y是函数，是函数，x x是自变量是自变量. .自变量、函数、函数值：自变量、函数、函数值：指出前面三个问题中的自变量与函数指出前面三个问题中的自变量与函数.1.“票房收入问题票房收入问题”中中y=10 x，对于，对于x的每一个值，的每一个值，y都有都有 的值与之对应，所以的值与之对应，所以 是自变量，是自变量，y是是x的函数的函数.2.“行程问题行程问题”中中s=60t，对于，对于t的每一
9、个值，的每一个值，s都有都有 的的值与之对应，所以值与之对应，所以 是自变量，是自变量， 是是 的函数的函数.3.“气温变化问题气温变化问题”，对于时间，对于时间t的每一个值，气温的每一个值，气温T都都有有 的值与之对应，所以的值与之对应，所以 是自变量，是自变量， 是是 的函的函数数.唯一唯一x唯一唯一tsttTt唯一唯一 思考题：思考题：填表并回答问题：填表并回答问题：（1）对于）对于x的每一个值，的每一个值，y都有唯一的值与之都有唯一的值与之对应吗？答：对应吗？答： 。 （2）y是是x的函数吗？为什么？的函数吗？为什么？x14916y=+2x2和28和818和1832和32不是不是答：不
10、是，因为答：不是，因为y的值不是唯一的。的值不是唯一的。例：例： 一个三角形的底边为一个三角形的底边为5，高，高h可以任意伸缩，三角可以任意伸缩，三角形的面积也随之发生了变化形的面积也随之发生了变化.解解:（1）面积）面积s随高随高h变化的关系式变化的关系式s = ，其中常量是其中常量是 ，变量是，变量是 ， 是自变是自变量，量， 是是 的函数；的函数； （2）当）当h=3时，面积时，面积s=_，（3）当）当h=10时，面积时，面积s=_；h2525h和shsh7.525日常生活和自然界中函数的事例很多，你能举一个吗？日常生活和自然界中函数的事例很多，你能举一个吗？1请同学们找出这些函数的常量
11、、变量、自变量请同学们找出这些函数的常量、变量、自变量和函数：和函数：(1) y =3000-300 x (2) y=x (3) S= r2解：解：(1)常量是常量是3000，300；变量是；变量是x，y；自变量是；自变量是x；y是是x的函数。的函数。(2)常量是常量是1；变量是；变量是x，y；自变量是；自变量是x；y是是x的函数。的函数。(3)常量是常量是；变量是；变量是r，s；自变量是；自变量是r；s是是r的函数。的函数。2、根据所给的、根据所给的 条件，写出条件，写出y与与x的函数关系的函数关系式：式：1、y 比比 x的的 少少2。2、y 是是 x的的 倒数的倒数的4倍。倍。3、矩形的周
12、长是、矩形的周长是18 cm ,它的长是它的长是 ycm，宽是，宽是x cm。4、等腰三角形的顶角度数、等腰三角形的顶角度数y与底角与底角x的关系。的关系。31231xyxy4xy 9Y=180-2x课堂小结课堂小结 1.常量、变量、自变量、函数；常量、变量、自变量、函数； 2.辨析是否是函数的关键：辨析是否是函数的关键： (1)是否存在变量是否存在变量, (2)是否符合唯一对应性；是否符合唯一对应性； 小明到商店买练习簿，每本单价小明到商店买练习簿，每本单价2.5元，设购买的总数元，设购买的总数为为x（本）与总金额（本）与总金额y（元）（元）(1) y是关于是关于x的函数吗的函数吗?为什么为
13、什么?(2)分别求出分别求出x=10, 18时的函数值。时的函数值。解：解：（1）y是是x的函数，对于的函数，对于对于对于 x 的每一个确定的值的每一个确定的值, y 都有唯一确定的值都有唯一确定的值, 所以所以y是是x的函数。的函数。（2）当）当x=10时，时，y=2.510=25； 当当x=18时，时，y=2.518=45（3）求当函数值）求当函数值y=50时，自变量时，自变量x的值的值（3）当）当y50时，时，x=20。 1、小明的哥哥是一名大学生、小明的哥哥是一名大学生,他利用暑假去一家公他利用暑假去一家公司打工，报酬司打工，报酬16元元/时计算，设小明的哥哥这个月工作时计算，设小明的
14、哥哥这个月工作的时间为的时间为 t 时，应得报酬为时，应得报酬为 m 元。元。如何用关于如何用关于 t 的代数式来表示的代数式来表示m? 在以下问题中在以下问题中,哪些是变量哪些是变量?哪些是常量哪些是常量?谁是谁是自变量？取值范围是什么？自变量？取值范围是什么？变量变量t 的一经确定的一经确定,变量变量m的值也随之唯一确定的值也随之唯一确定.2、 跳远运动员按一定的起跳姿势跳远运动员按一定的起跳姿势,其跳远的距离其跳远的距离s(米米)与助跑的速度与助跑的速度v(米米/秒秒)有关。根据经验，跳远的距离有关。根据经验，跳远的距离s = 0.085v2 (0v10.5)填写下表（保留填写下表（保留
15、2位小数）位小数）: 助跑速度助跑速度v(米米/秒秒) 7.588.5跳远的距离跳远的距离s(米米)4.786.145.44在以下问题中在以下问题中,哪些是变量哪些是变量?哪些是常量哪些是常量?谁是自变谁是自变量？取值范围是多少？量？取值范围是多少？变量变量v 的一经确定的一经确定,变量变量s的值也随之唯一确定的值也随之唯一确定.m，nmnn1218m=1.2n(2)为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水标准如下：每户每月用水不超过6立方米,水费按1.6元/立方米收费;每户每月用水超过6立方米的部分,水费按4元/立方米收费.如果用水5立方米、6立方米、8立方米、10立方米、50
16、立方米，则水费应分别收多少钱？设每户用水x立方米,应缴水费y为元.x/立方米56810y/元89.617.625.6(1) 你能指出其中的变量与常量吗 ?(2)你能用含x的式子表示y吗?变量:用水x立方米, 水费y元 ; 常量:1.6元/立方米, 4元/立方米当x6时, y=1.6x当x6时， y=61.6+(x-6) 4一一. .请看这些是否是函数？请看这些是否是函数？1.y1.yX X1 12.y2.y2X2X+3X3X2 23.Y3.YX X1 1xy二二. .看一个函数的图象如下图所示：看一个函数的图象如下图所示： 它表示的是函数吗？它表示的是函数吗？ 1 1、一个变化过程中有两个变量
17、。、一个变化过程中有两个变量。2 2、因变量与自变量之间是一种对应关系，并且要、因变量与自变量之间是一种对应关系，并且要求对于求对于x x的每一个值的每一个值y y都有都有唯一唯一的值与之相对应。的值与之相对应。3 3、自变量有一定的取值范围；、自变量有一定的取值范围；4 4、自变量与函数是可以互相转化的，是相对的。、自变量与函数是可以互相转化的，是相对的。 函数关系中自变量的取值范围必须函数关系中自变量的取值范围必须使函数使函数 解析式都有意义：解析式都有意义： 1.当函数解析式是整式时，自变量的取值范围可取一切当函数解析式是整式时，自变量的取值范围可取一切实数。如：实数。如： yX1 2.
18、当函数解析式是分式（分母中含有字母）时，自变量当函数解析式是分式（分母中含有字母）时，自变量的取值要使分母不为零。如：的取值要使分母不为零。如：y=1/x+2 3.当函数解析式是偶次根式时，自变量必须使被开方数当函数解析式是偶次根式时，自变量必须使被开方数是非负数。是非负数。 4.对于实际问题中的函数，除了使解析式有意义外，还对于实际问题中的函数，除了使解析式有意义外，还要使实际问题有意义。要使实际问题有意义。1) y=8x1xxy2)3xy3)4)212xxy5)注：对于实际问题注：对于实际问题,其自变量的取值范围，还应使实际问题有意义其自变量的取值范围，还应使实际问题有意义思考思考 ： 下
19、列各式中，请判断是不是的函数，下列各式中，请判断是不是的函数，为什么？若是，请求出自变量的取值范围。为什么？若是，请求出自变量的取值范围。 y = x 2函数的关系式是函数的关系式是等式等式那么函数解析式的书写有没有要求呢？那么函数解析式的书写有没有要求呢？通常等式的右边是含有自变量的代数式， 左边的一个字母表示函数如何去书写呢？如何去书写呢？教你一招：教你一招：1、先认真审题，根据题意找出相等关系、先认真审题，根据题意找出相等关系2、按相等关系，写出含有两个变量的等式、按相等关系，写出含有两个变量的等式3、将等式变形为用含有自变量的代数式、将等式变形为用含有自变量的代数式表示函数的式子表示函
20、数的式子 1、y 比比 x的的 少少2132、y 是是 x的的 倒数的倒数的4倍倍根据所给的根据所给的 条件，写出条件，写出y与与x的函数解析式：的函数解析式： 3、矩形的周长是、矩形的周长是18 cm ,它的长是它的长是y， 宽是宽是x cm ；例例1:一辆汽车的油箱中现有汽油一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不，如果不再加油，那么油箱中的油量再加油，那么油箱中的油量Y（单位：（单位：L）随）随行驶里程行驶里程X（单位：（单位：km）的增加而减少，平）的增加而减少，平均耗油量为均耗油量为0.1L/km. 1.写出表示写出表示y与与x的函数解析式的函数解析式. 2.指出自变量指出自变量x的取
21、值范围的取值范围. 3.汽车行驶汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽时，油箱中还有多少汽油油. (1)如下图，用火柴棒摆图形，按照这样的规律继续摆下去，第四个图形需要_根火柴棒，第五个图形需要_根火柴棒，第n个图形需要_根火柴棒。21265n+1上题中存在变量与常量吗? 若存在说出其中的变量与常量？并会用一个变量的代数式表示另一个变量吗? 瓶子或罐头盒等物体常如下图那样瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放，试确定瓶子总数堆放，试确定瓶子总数y与层数与层数x之间的关之间的关系式系式. 123xy11+21+2+31+2+3+ +x瓶子总数瓶子总数y 与层数与层数x之间的关系式：之间的关系式：)1
22、(21xxyx在景宁县内投寄平信应付邮资如下表：在景宁县内投寄平信应付邮资如下表：2.401.600.80邮资邮资y（元）（元）40m6020m400m20信件质量信件质量m(克克)（2 2）若有四封信件质量分别为）若有四封信件质量分别为5 5克、克、1010克、克、3030克和克和5050克，则该分别付邮资多少元？克，则该分别付邮资多少元？m(克克)5103050Y(元）元）(1) y(1) y是是mm的函数吗的函数吗? ?为什么？为什么？0.800.800.800.801.601.602.402.40（3 3）若有信件已付邮资）若有信件已付邮资0.800.80元，能确定该信件质量吗？元，能
23、确定该信件质量吗？2、正方形的边长为、正方形的边长为5 cm,当边长减少当边长减少x cm时，周长为时，周长为y cm，求，求y与与x的函数关系式，的函数关系式，并写出自变量的取值范围。并写出自变量的取值范围。 一般地，在一一般地，在一个变化过程中有两个变化过程中有两个量，例如个量，例如 x x 和和 y.y.如果对于如果对于x x的每一个的每一个值值 y y 都有唯一值与都有唯一值与之对应，我们说之对应，我们说x x是是自变量，自变量， y y是是 x x 的的函数函数. .【对于函数的定义的理解对于函数的定义的理解】 在某个变化过程中有变量且应为两个；在某个变化过程中有变量且应为两个； 对于对于x x的每一个值是指在的每一个值是指在 x x 允许的取允许的取值范围内取值；值范围内取值； y y要通过与要通过与x x之间的关系求之间的关系求 得，并且得，并且有唯一的值与有唯一的值与x x相对应相对应; ; 取值的变量叫自变量，通过取值的变量叫自变量，通过 一定的一定的关系随自变量变化而变化的变量叫自关系随自变量变化而变化的变量叫自变量的函数变量的函数. .自变量与函数是可以互相转化的，是自变量与函数是可以互相转化的，是相对的，但一般情况下约定相对的，但一般情况下约定y y是函数，是函数，x x是自变量是自变量. .