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1、学习好资料欢迎下载待定系数法求二次函数解析式（讲义）一、【基础知识精讲】( 一） 、中考导航图1. 二次函数的 意义 ;2. 二次函数的 图象;3. 二次函数的 性质顶点对称轴开口方向增减性顶点式： y=a(x-h)2+k(a 0) 4. 二次函数待定系数法确定函数解析式一般式： y=ax2+bx+c(a 0) 两根式： y=a(x-x1)(x-x2)(a 0) 5. 二次函数与一元二次方程的关系。6. 抛物线 y=ax2+bx+c 的图象与 a、b、c 之间的关系。（二）、中考知识梳理 1.二次函数的图象在画二次函数y=ax2+bx+c(a 0) 的图象时通常先通过配方配成y=a(x+b2a
2、)2+ 4a24ac-b的形式 , 先确定顶点 (-b2a,4a24ac-b), 然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标. 2.理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a 的符号来确定 , 当 a0 时, 在对称轴左侧y 随 x 的增大而减小 ; 在对称轴的右侧,y 随 x 的增大而增大 ; 简记左减右增 , 这时当 x=-b2a时,y最小值=4a24ac-b; 反之当 a0 时, 抛物线开口向上; 当 a0 时, 抛物线交 y 轴于正半轴 ; 当 c0 时, 抛物线交y 轴于负半轴;b 的符号由对称轴来决定. 当对称轴在y?轴左侧时 ,b 的符号与a 的符号相同 ; 当对称轴在
3、y 轴右侧时,b 的符号与 a 的符号相反 ;? 简记左同右异 . 6.会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题,? 应用数形结合思想来解决有关的综合精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载性问题 .二、 【典型例题精析】一般式：例 1 已知二次函数的图象经过A(-1,3)、B(1,3) 、C(2,6); 求它的解析式。分析 : 此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式. 可根据已知条件中的不同条件分别设出函
4、数解析式 , 列出方程或方程组来求解. 解: 设解析式为y=ax2+bx+c, 把 A(-1,3)、B(1,3) 、C(2,6) 各点代入上式得3,3,642.abcabcabc解得1,0,2.abc解析式为y=x2+2. 变式： 已知一个二次函数，当x=-1 时，y=3；当 x=1 时， y=3；当 x=2 时，y=6。求这个二次函数的解析式。解: 设解析式为y=ax2+bx+c, 把 A(-1,3)、B(1,3) 、C(2,6) 各点代入上式得3,3,642.abcabcabc解得1,0,2.abc解析式为y=x2+2.顶点式：例 2 已知一个二次函数的图象过点(0 ，1) ，它的顶点坐标
5、是(8， 9) ，求这个二次函数的关系式。分析：二次函数yax2bxc 通过配方可得y a(x h)2k 的形式称为顶点式，( h，k) 为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9) ，因此，可以设函数关系式为： y a(x8)29 由于二次函数的图象过点(0 ，1)，将 (0 ，1) 代入所设函数关系式，即可求出a 的值。请同学们完成本例的解答。变式 1： 已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值 -8 ，求它的解析式。解法 1: 由 A(-1,0)、B(3,0) 得抛物线对称轴为x=1, 所以顶点为 (1,-8).? 设解析式为y=a(x-h)2+
6、k, 即 y=a(x-1)2-8. 把 x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2-8, a=2. 即解析式为y=2(x-1)2-8, 即 y=2x2-4x-6. 解法 2: 设解析式为y=a(x+1)(x-3),确定顶点为 (1,-8)同上 , 把 x=1,y=-8? 代入上式得 -8=a(1+1)(1-3).解得 a=2, 解析式为y=2x2-4x-6. 解法 3: 图象过A(-1,0),B(3,0)两点 , 可设解析式为 :y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a. 函数有最小值-8. 24 ( 3 )( 2 )4aaaa=-8. 又a0, a=2. 解析式为y=2(x+1)(x
7、-3)=2x2-4x-6. 变式 2： 已知抛物线对称轴是直线x2，且经过 (3 ，1) 和(0 ， 5) 两点，求二次函数的关系式。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解法 1： 设所求二次函数的解析式是yax2bxc，因为二次函数的图象过点(0 ， 5)，可求得 c 5，又由于二次函数的图象过点(3 ，1)，且对称轴是直线x 2，可以得b2a29a3b6解这个方程组，得：a 2b 8所以所求的二次函数的关系式为y
8、 2x28x5。解法二： 设所求二次函数的关系式为ya(x 2)2k，由于二次函数的图象经过(3 ，1)和(0 ， 5)两点，可以得到a(32)2k1a(02)2k5解这个方程组，得：a 2k3所以，所求二次函数的关系式为y 2(x 2)23，即 y 2x28x 5。变式 3： 已知抛物线的顶点是(2 ，4) ，它与 y 轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。解法 1： 设所求的函数关系式为ya(x h)2k，依题意，得ya(x 2)2 4 因为抛物线与y 轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0 ，4) ，于是 a(0 2)2 44，解得a2。所以，所求二次函数的关系式为y2(x 2
9、)24，即 y2x28x4。解法 2：设所求二次函数的关系式为yax2bxc?依题意，得b2a24acb24a 4c4解这个方程组，得：a2b 8c4所以，所求二次函数关系式为y2x28x4。变式 4： 一条抛物线yxmxn142经过点()032，与()432，。求这条抛物线的解析式。分析：解析式中的a值已经知道，只需求出mn ,的值。已知条件给出了两个点，因此，可以从二次函数的一般式入手列方程组解答。还可以从所给两点( ,),(,)032432的特征入手：这两点关于抛物线的对称轴对称，因此可知对称轴是直线x2，这样又可以从抛物线的顶点式入手。解：抛物线yxmxn142经过点（032,）和(
10、,)432，这条抛物线的对称轴是直线x2。设所求抛物线的解析式为yxh1422()。将点( ,)032代入，得1402322()h，解得h12。这条抛物线的解析式为yx142122()，即yxx14322。点评：当点 M （xy11,） 和 N （xy22,） 都是抛物线上的点时，若yy12， 则对称轴方程为xxx122，这一点很重要也很有用。两根式：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例 3 已知二次函数的图象顶点
11、坐标是(-1,9),与 x 轴两交点间的距离是6. 求它的解析式。解: 由顶点坐标 (-1,9)可知抛物线对称轴方程是x=-1, 又图象与x 轴两交点的距离为6, 即 AB=6. 由抛物线的对称性可得A、B两点坐标分别为A(-4,0),B(2,0), 设出两根式y=a(x-x1) (x-x2), 将 A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为y=-x2-2x+8. 变式：已知二次函数的图象与x 轴交点的横坐标分别是x1= 3，x2=1，且与 y 轴交点为 (0， 3)，求这个二次函数解析式。想一想 :还有其它方法吗?点评 : 一般地 , 已知三个条件是抛物线上任意三点( 或任意 3
12、对 x,y 的值 ) 可设表达式为y=ax2+bx+c, 组成三元一次方程组来求解;? 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值, 可选用y=a(x-h)2+k 来求解; 若三个条件中已知抛物线与x 轴两交点坐标 , 则一般设解析式为y=a(x-x1)(x-x2). 根据图像求解析式：例 1如图所示，求二次函数的关系式。分析：观察图象可知，A点坐标是 (8 ，0) ，C点坐标为 (0 ，4) 。从图中可知对称轴是直线x3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x 轴上的另一交点B的坐标是 (2，0)，问题转化为已知三点求函数关系式。解：观察图象可知，A、C两点的坐标分别是(8 ，
13、0)、(0 ， 4)，对称轴是直线x3。因为对称轴是直线 x3，所以 B点坐标为 ( 2，0) 。设所求二次函数为yax2bxc，由已知，这个图象经过点(0，4) ，可以得到c4，又由于其图象过 (8 ，0) 、( 2，0)两点，可以得到64a8b 44a 2b4解这个方程组，得2341ba所以，所求二次函数的关系式是y14x232x4 练习：一条抛物线yax2bxc 经过点 (0 ， 0) 与(12 ，0) ， 最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。其它应用类型：【例 1】已知函数y=x2bx1 的图象经过点（3，2） （1）求这个函数的表达式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；
14、（3）当 x0 时，求使 y2 的 x 的取值范围精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载【例 2】一次函数y=2x3，与二次函数y=ax2bxc 的图象交于A（m ， 5）和 B（3，n）两点，且当 x=3 时，抛物线取得最值为9（1）求二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）从图象上观察，x 为何值时，一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大（4）当 x 为何值时，一次函数值大于二次函数值？
15、【例 3】行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑动一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离” 为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过130km/h） ，对这种汽车进行测试，测得数据如下表：刹车时车速（ km/h）0 10 20 30 40 50 60 70 刹车距离（ m ）0 11 24 39 56 75 96 119 （1）以车速为 x 轴，刹车距离为y 轴，在下面的方格图中建立坐标系，描出这些数据所表示的点，并用平滑曲线连接这些点，得到函数的大致图象；（2）观察图象，估计该函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；（3）该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现测得刹
16、车距离为264m ，问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶，请说明理由【例 4】某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图中的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间关系用图中的抛物线表示 （1）写出图中表示的市场售价与时间的函数表达式P=f（t ） ，写出图中表示的种植成本与时间函数表达式Q=g （t ） ；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）三、 【同步练习】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -
17、- 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载1. 已知二次函数当x3 时，有最大值1，且当 x0 时， y 3，求二次函数的关系式。解法 1：设所求二次函数关系式为yax2bxc，因为图象过点(0，3)，所以c3，又由于二次函数当 x 3 时，有最大值1，可以得到：b2a 312ab24a 1解这个方程组，得：a49b83所以，所求二次函数的关系式为y49x283x3。解法 2：所求二次函数关系式为ya(xh)2k，依题意，得ya(x3)21 因为二次函数图象过点(0，3)，所以有3a(03)2
18、1 解得 a49所以，所求二次函数的关系为y44/9(x3)21，即 y49x283x3小结：让学生讨论、 交流、 归纳得到： 已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。2已知二次函数yx2pxq的图象的顶点坐标是(5， 2)，求二次函数关系式。简解：依题意，得p254qp24 2解得： p10,q23 所以，所求二次函数的关系式是yx210 x23。 3. 已知抛物线的顶点坐标为( 1，3) ，与 y 轴交点为 (0， 5) ，求二次函数的关系式。4函数 yx2pxq 的最小值是4，且当 x2 时， y5，求 p和 q。5若抛物线y x
19、2bxc 的最高点为 ( 1， 3) ，求 b 和 c。6已知二次函数yax2bxc 的图象经过A(0，1) ，B(1，0) ，C(1， 0)，那么此函数的关系式是_。如果 y 随 x 的增大而减少，那么自变量x 的变化范围是 _。 7已知二次函数yax2bxc 的图象过 A(0， 5) ，B(5，0) 两点，它的对称轴为直线x2，求这个二次函数的关系式。四、 【创新探究】美好而难忘的初中生活即将结束了，在一次难忘同窗情的班会上，有人出了这样一道题，如果在散会后全班每两个同学之间都握一次手，那么全班同学之间共握了多少次？为解决该问题，我们可把该班人数n 与握手次数s 间的关系用下面的模型来表示
20、（1）若把 n 作为点的横坐标，s 作为点的纵坐标，根据上述模型的数据，在给出的平面直角坐标系中，找出相应5 个点，并用平滑的曲线连接起来（2）根据图象中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上，如果在，写出该函数的表达式（3）根据（ 2）中的表达式，求该班56 名同学间共握了多少次手？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载星海学校家庭作业姓名：规定时间：实际时间：第一部分： 根据下列条件求二次函数解析式
21、（1）已知一个二次函数的图象经过了点A（0， 1） ，B（1， 0） ，C（ 1，2） ；（2）已知抛物线顶点P(1， 8)，且过点 A(0， 6)；（3）二次函数图象经过点A（ 1，0） ，B（3，0） ，C（4，10） ；（4）已知二次函数的图象经过点（4， 3） ，并且当x=3 时有最大值4；（5）已知二次函数的图象经过一次函数y23x+3 的图象与x 轴、 y 轴的交点，且过(1，1)；（6）已知抛物线顶点（1，16） ，且抛物线与x 轴的两交点间的距离为8；第二部分：1、已知二次函数yax2bxc 的图象过 A(0，5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x2，那么这个二次函数的解析
22、式是_。2、已知二次函数图象与x 轴交点（ 2,0）(-1,0)与 y 轴交点是（ 0，-1） ，那么这个二次函数的解析式是_。3、已知抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，它们的横坐标为-1 和 3，与 y 轴的交点C 的纵坐标为 3，那么这个二次函数的解析式是_。4、 已知直线y=x-3 与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点B，二次函数的图象经过A、B 两点，且对称轴方程为 x=1，那么这个二次函数的解析式是_。5、已知一抛物线与x 轴的交点是A（-2，0） 、B（1，0） ，且经过点C（2，8） ，那么这个二次函数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -
23、 - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载的解析式是 _。6、如图所示， 已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与 x 轴交于 A、B 两点， 与 y 轴交于 C 点，点 A、C 的坐标分别是（8，0） （0，4） ，求这个抛物线的解析式。第三部分：在延伸中中考、在平面直角坐标系中，AOB 的位置如图所示，已知AOB 90， AOBO，点 A 的坐标为（ 3,1） 。（1）求点 B 的坐标。（2）求过 A，O，B 三点的抛物线的解析式；（3）设点 B 关于抛物线的对称轴的对称点为B1，求 AB1B 的面积。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -