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1、精选优质文档-倾情为你奉上3.4 函数的应用（一）思维导图躬行实践运用一 一次函数模型【例1】夏季高山上温度从山脚起每升高100米，降低0.7，已知山顶的温度是14.1，山脚的温度是26，则山的相对高度是 A1800米 B1700米C1600米 D1500米【答案】B【解析】设山的相对高度为，单位为百米，相应的温度为，单位为，则，令，解得，所以山的相对高度为1700米.【触类旁通】1某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施.方案一：工厂的污水先净化处理后再排
2、出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗为30000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费.问：（1）工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明.（2）若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？【答案】见解析【解析】设工厂每月生产x件产品时，依方案一的利润为y1，依方案二的利润为y2，由题意知y1=50-25x-20.5x-30000=24x-30000，y2=50-25x-140.5x=18x.（1） 当x=3000时，y1=42000，y2=5400
3、0，因为y1y2，所以应选择方案一处理污水.运用二 二次函数模型【例2】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数（）当时，求函数的表达式；（）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）【答案】见解析【解析】（）由题意，当时，；当时，设再由已知得，解得.故函
4、数的表达式为. （）依题意并由（）可得.当时，为增函数，故当时，在区间上取得最大值.当时，当且仅当时，等号成立.所以，当时，在区间上取得最大值综上，当时，在区间上取得最大值.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时【触类旁通】2（2019福建龙海二中高二期末（理）李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为， (其中x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为_元【答案】33000【解析】依题意，可设甲这一家销售了辆电动车，则乙这家销售了辆电动车，总总利润，所以，当时，取得最大值，且，故答案为：.运用三 分段函
5、数模型【例3】大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是R(x)，则总利润最大时，该门面经营的天数是_【答案】300【解析】由题意，总利润y当0x400时，y (x300)225000，所以当x300时，ymax25 000；当x400时，y60000100x20000.综上，当x300天时，总利润最大【触类旁通】1某景区提供自行车出租，该景区有辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过元，则自行车可以全
6、部租出；若超出元，则每超过元，租不出的自行车就增加辆为了便于结算，每辆自行车的日租金（元）只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分）（1）求函数的解析式；（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？【答案】（1）；（2）当每辆自行车的日租金定为元时，才能使一日的净收入最多【解析】（1）当时，令，解得，是整数，；当时，令，有，结合为整数得，.；（2）对于，显然当时，；对于，当时，.，当每辆自行车的日租金定为元时，才能使一日的净收入最多运用四 分式函数模型【例4】（20
7、19重庆高一期末）某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将该产品的年利润万元表示为年促销费用万元的函数；（2）该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【答案】（1） ；（2）厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大【解析】（1）由题意可知，当时， （万件），所以，所以，所以，每件产品的销售
8、价格为 （万元），所以年利润所以，其中.（2）因为时，即所以，当且仅当，即 （万元）时， （万元）.所以厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.【触类旁通】1（2019安徽六安一中高二期末）某工厂拟生产并销售某电子产品m万件（生产量与销售量相等），为扩大影响进行销售，促销费用x（万元）满足（其中，为正常数）。已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件。（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，此工厂所获利润最大？【答案】（1）（2）当时，利润最大值为17万元，当时，最大利润万元【解析】（1），将代入 （2）令，在单减，
9、单增当时，利润最大值为17万元当时，最大利润万元融会贯通1（2018河北省隆化存瑞中学高一月考）旅行社为去广西桂林的某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为10000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在20或20以下，飞机票每人收费800元；若旅游团的人数多于20，则实行优惠方案，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多为75，则该旅行社可获得利润的最大值为（ ）A12000元B15000元C12500元D20000元【答案】B【解析】设旅游团的人数为，每张机票为元，该旅行社可获得利润为元，当时，显然当时，有最大值，最大值为；当时，显然当时，有最大值，
10、最大值为，故本题选B.2某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示：当S中x%（0x100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为fx=30,0x302x+1800x-90,30x100 （单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间gx的表达式；讨论gx的单调性，并说明其实际意义.【答案】（1）45,100；（2）见解析.【解析】（1）由题意知，当30x4
11、0，化简得x2-65x+9000，解得x45.因此，当x45,100时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0x30时，gx=30x%+401-x%=40-x10；当30x100时，gx=2x+1800x-90x%+401-x%=x250-1310x+58.gx=40-x10,0x30x250-1310x+58,30x100.当0x30时，函数gx单调递减；当30x32.5时，函数gx单调递减；当32.5x100时，函数gx单调递增.说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%
12、时，人均通勤时间最少3（2019新疆克拉玛依市高级中学高一期末）某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价为3元，根据以往的经验售价为4元时，可卖出280桶；若销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，则这个经营部怎样定价才能获得最大利润？最大利润是多少？【答案】定价为每桶7元，最大利润为440元.【解析】设定价在进价的基础上增加元，日销售利润为元，则，由于，且，所以，；即，所以，当时，取最大值此时售价为，此时的最大利润为440元.4（2019广东高一期末）某销售公司拟招聘一名产品推销员，有如下两种工资方案：方案一：每月底薪2000元，每销售一件产品提成15元；方案
13、二：每月底薪3500元，月销售量不超过300件，没有提成，超过300件的部分每件提成30元（1）分别写出两种方案中推销员的月工资（单位：元）与月销售产品件数的函数关系式；（2）从该销售公司随机选取一名推销员，对他（或她）过去两年的销售情况进行统计，得到如下统计表：月销售产品件数300400500600700次数24954把频率视为概率，分别求两种方案推销员的月工资超过11090元的概率【答案】（1）；（2）方案一概率为,方案二概率为.【解析】（1）方案一：，；方案二：月工资为,所以.（2）方案一中推销员的月工资超过11090元，则，解得，所以方案一中推销员的月工资超过11090元的概率为；方案
14、二中推销员的月工资超过11090元，则，解得，所以方案二中推销员的月工资超过11090元的概率为5共享单车是城市慢行系统的一种创新模式，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)=400x-12x2,0400 其中x是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润总收益总成本(1)试将自行车厂的利润y元表示为月产量x的函数；(2)当月产量为多少件时自行车厂的利
15、润最大？最大利润是多少？【答案】(1) y=-12x2+300x-20000,0400.(2)见解析.【解析】(1)依题设知，总成本为(20000100x)元，则y=-12x2+300x-20000,0400.(2)当0x400时，y=-12(x-300)2+25000，故当x=300时，ymax25000；当x400时，y=60000100x是减函数，故y400时，y60000100x20000.综上，当x300天时，总利润最大7共享单车是城市慢行系统的一种创新模式，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧某自行车厂为共享单车公司生
16、产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)=400x-12x2,0400 其中x是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润总收益总成本(1)试将自行车厂的利润y元表示为月产量x的函数；(2)当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？【答案】(1) y=-12x2+300x-20000,0400.(2)见解析.【解析】(1)依题设知，总成本为(20000100x)元，则y=-12x2+300x-20000,0400.(2)当0x400时，y=-12(x-300)2+2
17、5000，故当x=300时，ymax25000；当x400时，y=60000100x是减函数，故y30（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？【答案】（1）300；（2）75%.【解析】（1）由总成本px=1600x2+x+150万元，可得每台机器人的平均成本y=pxx=1600x2+x+150x=1600x+150x+1 2x600150x+1=2，当且仅当1600x=150x，即当x=300时，等号成立，所以，若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；（2）引进机器人后，每
18、台机器人的日平均分拣量qm=815m60-m,1m30480,m30.当1m30时，300台机器人的日平均分拣量为160m60-m=-160m2+9600m，当m=30时，日平均分拣量有最大值件当m30时，日平均分拣量为480300=（件）300台机器人的日平均分拣量的最大值为件若传统人工分拣件，则需要人数为=120（人）日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120-30120100%=75%.9某景区提供自行车出租，该景区有辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过元，则自行车可以全部租出；若超出元，则每超过元，租不出
19、的自行车就增加辆为了便于结算，每辆自行车的日租金（元）只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分）（1）求函数的解析式；（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？【答案】（1）；（2）当每辆自行车的日租金定为元时，才能使一日的净收入最多【解析】（1）当时，令，解得，是整数，；当时，令，有，结合为整数得，.；（2）对于，显然当时，；对于，当时，.，当每辆自行车的日租金定为元时，才能使一日的净收入最多10（2019重庆高一期末）某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的
20、年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将该产品的年利润万元表示为年促销费用万元的函数；（2）该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【答案】（1） ；（2）厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大【解析】（1）由题意可知，当时， （万件），所以，所以，所以，每件产品的销售价格为 （万元），所以年利润所以，其中.（2）因为时，即所以
21、，当且仅当，即 （万元）时， （万元）.所以厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.11（2019安徽高一期末（理）某单位修建一个长方形无盖蓄水池，其容积为立方米，深度为米，池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设池底长方形的长为米.（1）用含的表达式表示池壁面积；（2）当为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？【答案】（1）；（2）当米时，最低造价是元.【解析】（1）由题意得：池底面积为平方米，池底长方形的宽为米（2）设总造价为元，则：化简得：因为，当且仅当，即时取等号即当米时，最低造价是元12（2019四川高一期末（文）在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区
22、的闲置地中规划一个面积为的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排宽的绿化，绿化造价为200元/，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/.设矩形的长为.（1）设总造价（元）表示为长度的函数；（2）当取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.【答案】（1），（2）当时，总造价最低为元【解析】（1）由矩形的长为，则矩形的宽为，则中间区域的长为，宽为，则定义域为则整理得，（2）当且仅当时取等号，即所以当时，总造价最低为元13为响应绿色出行，前段时间大连市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”，其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：
23、根据行驶里程按1元/公里计费；行驶时间不超过40分钟时，按0.12元/分钟计费：超出部分按0.20元/分钟计费，己知张先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次.由于堵车、红路灯等因素，每次路上开车花费的时间（分钟）是一个随机变量.现统计了100次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：时间（分钟） 频数4364020将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车的时间，范围为分钟.（1）写出张先生一次租车费用（元）与用车时间（分钟）的函数关系式：（2）若公司每月给900元的车补，请估计张先生每月（按24天计算）的车补是否足够上下班租用新能源分时租赁
24、汽车？并说明理由.（同一时段，用该区间的中点值作代表）【答案】（1）；（2）不够【解析】（1）当时，当时， 得： （2）张先生租用一次新能源分时汽车上下班，平均用车时间为：每次上下班租车的费用约为一个月上下班租车的费用约为，估计张先生每月的车补不够上下班租用新能源分时租赁汽车费用14（2019北京师范大学附属中学京西分校高一期中） 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元 1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%(即:设奖励方案函数模型为y=f
25、(x)时，则公司对函数模型的基本要求是:当x25，1600时，f(x)是增函数;f (x) 75恒成立; 恒成立(1)判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由;(2)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围【答案】(1) 函数模型，不符合公司要求,详见解析(2) 1，2【解析】(1)对于函数模型,当x25, 1600时， f (x)是单调递增函数，则f (x) f (1600) 75,显然恒成立，若函数恒成立，即,解得x60不恒成立，综上所述，函数模型，满足基本要求，但是不满足，故函数模型，不符合公司要求(2)当x25，1600时，单调递增，最大值设恒成立，恒成立
26、，即,，当且仅当x=25时取等号，a22+2=4a1, 1a2, 故a的取值范围为1，215（2019福建三明一中高二期中（文）某小型机械厂有工人共名，工人年薪4万元/人，据悉该厂每年生产台机器，除工人工资外，还需投入成本为(万元)，且每台机器售价为万元.通过市场分析，该厂生产的机器能全部售完（1）写出年利润（万元）关于年产量的函数解析式；（2）问：年产量为多少台时，该厂所获利润最大？【答案】（1）；（2）100台时，850万元【解析】（1）依题意有.（2）当时，此时时，取得最大值万元； 当时， 当且仅当时，即时，取得最大值万元 综上可知当年产量为100台时，该厂在生产中获利最大，最大利润为850万元专心-专注-专业