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1、精选优质文档-倾情为你奉上2020年一模汇编数列一、 填空题【奉贤1】计算：_.【答案】【解析】【静安1】计算_.【答案】1【解析】1【普陀2】_.【答案】3【解析】极限的意义：【浦东2】_【答案】【解析】，。【闵行3】计算： 【答案】【解析】【崇明4】已知等差数列的首项为1，公差为2，则该数列的前项和_【答案】【解析】 【青浦4】我国古代庄周所著的庄子天下篇中引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”，其含义是：一根一尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去.若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为，则_【答案】【解析】由题意是以
2、为首项，为公比的等比数列，所以【长宁，嘉定，金山4】计算：。【答案】2【解析】极限化简【浦东5】设是等差数列，且，则_ 【答案】 【解析】 ，【静安5】设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每隔细胞分裂为两个细胞，则小时后，个此种细胞将分裂为_个.【答案】【解析】【虹口5】设等差数列的前项和，若，则_.【答案】【解析】【崇明6】计算：=_.【答案】3【解析】分式上下同时除以，得，因为，所以答案为【普陀7】各项都不为零的等差数列满足，数列 是等比数列，且，则_.【答案】8【解析】根据等差数列的性质，知，又等比数列的性质有【黄浦7】若无穷等比数列满足：，且（），则数列的所有项的和为_.【答案】 【解析
3、】由，可得，所以数列的所有项的和为，故答案为【闵行8】若首项为正数的等比数列，公比，且，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】，又，即【青浦8】已知数列中，（），则_.【答案】【解析】，【徐汇8】已知等差数列的公差，表示的前项和，若数列是递增数列，则的取值范围是_.【答案】【解析】 由题意得，数列是递增数列，则，即，即,解得【杨浦8】已知数列的通项公式为，是数列的前项和，则_.【答案】【解析】因为，所以【松江9】在无穷等比数列中，若，则的取值范围是_.【答案】.【解析】由题可知可得.【浦东11】已知数列中，若对于任意的、，不等式恒成立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】，则，则利用累加法可得
4、到，由，可得，只需，得【宝山11】已知、均是等差数列，若前三项是、，则_.【答案】【解析】，【长宁，嘉定，金山11】已知数列满足：，记数列得前项和为，若对所有满足条件的数列，的最大值为M.最小值为m，则M+m=_.【答案】1078【解析】，可知一定是单调递增数列，则，即，当取最小值此时 当时，取最大值此时 【徐汇11】 已知数列的前项和为，对任意，且，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】由题意得，当为偶数时，即，所以（为奇数）当为奇数时，即，所以（为偶数）于是可知奇数项，偶数项，所以可知二、选择题【奉贤14】一个不是常数数列的等比数列中，值为3的项数最多有（ ）【A】1个【B】2个【C】4个
5、【D】无穷多个【答案】D【解析】比如公比，首项为3的数列，最多有无穷多个3，故选D【闵行16】已知各项为正数的非常数数列满足，有以下两个结论： 若，则数列是递增数列； 数列奇数项是递增数列；则（ ）A. 对错 B. 错对 C. 均错误 D. 均正确【答案】D【解析】若，则不满足题意，因此，若，则，而实际上，矛盾，所以必有，此时，成立。因此。此时假设,则，即因此,即是递增数列，对。若，由知，是递增数列，因此的奇数项也是递增数列。若，则假设（为正奇数），则因此故（为正奇数），即的奇数项也是递增数列。对。综上选【奉贤16】由9个互不相等的正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且成等比数列，下列
6、判断正确的有（ ）第2列必成等比数列；第1列中的不一定成等比数列；.【A】1个【B】2个【C】3个【D】0个【答案】C【解析】由由题意设9个正数组成的矩阵是，由成等比数列，则有：，故正确；，故正确；再由题意设9个正数组成的矩阵是：，故正确.【青浦16】设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，给出下列结论： ； ； 是数列中的最大项； 使成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（ ）【A】【B】【C】【D】【答案】B【解析】由题意，正确；错误；分析可得，正确；错误，选B【松江16】已知集合,集合,定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，则对应的的和记为，则=【A】 【B
7、】 【C】 【D】【答案】C【解析】当集合中最小元素是1时，,这样的集合有个 当集合中最小元素是2时，,这样的集合有个 当集合中最小元素是9时，,这样的集合有个当集合中最小元素是10时，,这样的集合有个所以,错位相减解得三、解答题【静安19】设是等差数列，公差为，前项和为.（1）设，求的最大值.（2）设，数列的前项和为，且对任意的，都有，求的取值范围.【答案】（1）2020（2）【解析】（1）由题意，有 解得 （2分）所以数列 单调递减，设，即，解得 所以的最大值是 （4分）（2）解：， 又正常数 （2分）为等比数列 当时，不符，舍去； （1分）当时，不符，舍去； （2分）当时， 所以， （3
8、分）【青浦19】某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第个月的利润是（单位：万元），记第个月的当月利润率为，例.（1）求第个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率.【答案】（1）；（2）第33个月的当月利润率最大，其当月利润率为.【解析】（1）依题意得当时，；当时，则当时也符合上式，故当时当时所以第个月的当月利润为当时是减函数，此时的最大值为，当时当且仅当所以在单调递增，在单调递减，所以当时的最
9、大值为【徐汇20】 给正有理数、（，且和不同时成立），按以下规则排列： 若，则排在前面； 若，且，则排在的前面，按此规则排列得到数列.（例如：）.（1）依次写出数列的前10项；（2）对数列中小于1的各项，按以下规则排列：各项不做化简运算；分母小的项排在前面；分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列，求数列的前10项的和，前2019项的和；（3）对数列中所有整数项，由小到大取前2019个互不相等的整数项构成集合，的子集满足：对任意的，有，求集合中元素个数的最大值.【答案】（1）；（2），；（3）【解析】（1）；（2）显然的大小是以自然数顺序（从开始）排列，于是按题设排列，数列各项中分子与分母
10、为的为第一项，只有一个数；分子与分母和为的设为第二项，有两个数；分子与分母和为的设为第三项，有二个数；分子与分母和为的设为第项，有个数。数列中小于的项在数列中第组中的倒数第个数，按题设规则排列得数列各项依次为：将此数列分母相同的各项分为一组，第组中各项为，其和为数列为等差数列，通项。前项和，设在第组，则有，可取，为第组的第个数，故综上，。（3）设，则，都不在中，设，则，所以，得能否取到，我们构造，则集合的子集符合题意，所以集合中元素个数最大值为；解法二：由，我们构造奇数集合，由于任意两个奇数的和一定是偶数，所以对于任意，则有，即集合的子集符合题设，假设存在，使得集合满足题设，则必有，使得，于是
11、存在，使得为奇数，且，所以与题设矛盾。综上，集合中元素个数最大值是。【长宁，嘉定，金山20】（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知数列各项均为正数，为其前项的和，且，成等差数列.(1)写出、的值，猜想数列的通项公式；(2)证明你在(1)中猜想的结论；(3)设，为数列的前项和.若对于任意，都有，求实数的值.【答案】(1) ，猜想 (2)证明略 (3) 或【解析】(1)，成等差数列 分别令，有 又各项均为正数解得， 因此猜想的通项公式为(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的结论：当时，符合结论；假设当时，有，则则 即 又各项均为正数 即当时也满足结论综上所述，(
12、1)中猜想的结论的通项公式为成立(3)依题意得：则对于任意都有使其成立化简得： 又 当时，成立；当时，有化简得： 又在时取得最大值 又 或 经检验得：或都符合条件【杨浦21】已知无穷数列的前项和为，若对于任意的正整数，均有，则称数列具有性质。（1）判断首项为1，公比为-2的无穷等比数列是否具有性质，并说明理由。（2）已知无穷数列具有性质，且任意相邻四项之和都相等，求证：（3）已知数列是等差数列，若无穷数列具有性质，求的取值范围。【答案】（1）具有性质 （2）略 （3）【解析】（1）奇数时，偶数时，具有性质（2）得任意相邻四项之和均相等即是以4为周期的数列 设 由具有性质得，假设 则具有性质 对
13、任意的恒成立但趋于无穷大时，趋于负无穷大， 不可能对任意的恒成立假设不成立，（3）为等差数列，不妨设得前项和为又恒成立恒成立【宝山21】已知数列满足，（是自然对数的底数），且，令. （1）证明：； （2）证明：是等比数列，且的通项公式是； （3）是否存在常数，对任意自然数均有成立？若存在，求的取值范围，否则，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）易知：，因为若，再有可得为常数列，与题设矛盾；故；（2），为不为零的常数列，即为等比数列；又可得，为等比数列，可计算得首项为，公比为，故通过累加法可得：；（3）时，由可得成立；时，为偶数；，为奇数；综上，【崇明21】已知无穷
14、数列，满足：对任意的，都有，记（表示个实数中的最大值）（1）若，求，的值；（2）若，求满足的的所有值；（3）设，是非零整数，且，互不相等，证明：存在正整数，使得数列，中有且只有一个数列自第项起各项均为【答案】（1）（2）（3）见解析.【解析】（1）（2）若，记则，当时，由，得，不符合；当时，由，得，符合；当时，由，得，符合；综上，的所有取值是. （3）先证明“存在正整数，使中至少有一个为0”假设对任意正整数，都不为0，由是非零整数，且互不相等，得，若对任意，都不为0，则，即对任意，当时，所以，所以，单调递减，由为有限正整数，所以，必存在正整数，使得，矛盾所以，存在正整数，使中至少有一个为0不妨
15、设，且，则，且，否则，若，因为，则必有，矛盾于是，且，所以，依次递推，即有：对，且，此时有且仅有一个数列自第项起各项均为0综上，结论成立【奉贤21】有限个元素组成的集合，.集合中的元素个数记为.定义.集合的个数记为.当时，称集合具有性质.（1）设集合具有性质，判断集合中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由；（2）设正数列的前项和为，满足，其中，数列中的前2020项：组合的集合记作，将集合中的所有元素从小到大进行排序，即满足，求； （3）已知集合，其中数列是等比数列，且公比是有理数，判断集合是否具有性质，说明理由.【答案】（1）否；（2）；（3）具有性质【解析】（1）因为集合具有性质，所以=
16、 -1分因为中的元素可能为 -1分这六个元素同时满足，所以集合中的三个元素不可能组成等差数列 -2分（2）由，得、相减得到得，所以 -1分所以 ，得到 -1分集合中的所有元素从小到大进行排序得到满足其中与数对；，；，；，；，对应. -2分所以 解得当时， 所以对应的数对为，所以 -2分（3）设数列的公比为，则的元素至多有个 -2分因为，所以设，所以或只要证明恒不成立即可. -1分即，假设即（*）因为是有理数，设，且互质得所以左边是的倍数，右边不是的倍数，所以（*）式不成立所以集合具有性质 -5分【闵行21】已知数列满足（1）当时，写出所有的可能；（2）当时，若且对任意的恒成立，求数列的通项公式
17、；（3）记数列的前项和为，若，分别为等差数列，求。【答案】【解析】累加得【虹口21】在数列中，且对任意的，、构成以为公差的等差数列.（1）求证：、成等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）设，试问是否存在极限？若存在，求出其值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】由题意得 则、成等比数列（2）由题意知 为奇时， 为偶时， 则（3） 则【黄浦21】对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列.（1）若的前项和，试判断是否是数列，并说明理由；（2）设数列是首项为，公差为的等比数列，若该数列是数列，求的取值范围；（3）设无穷数列是首项为，公比为
18、的等比数列，有穷数列、是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，起所有项和分别为、，求是数列时与所满足的条件，并证明命题“若且，则不是数列”.【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析【解析】（1）由，可知， 2分故对一切正整数都成立，故是数列4分（2）由题意知，该数列的前项和为，6分由数列是数列，可知，故公差，对满足中的每一个正整数都成立8分对于都成立由，可得，故的取值范围是 10分（3）若是数列，则，若，则，又由对一切正整数都成立，可知，即对一切正整数都成立，由，且，故，可得 12分若，则，又由对一切正整数都成立，可知，即对一切正整数都成立，又当时，当时不成立，故有或，解得 所以是数列
19、时，与所满足的条件为或14分下面用反证法证明命题“若且，则不是数列”假设是数列，由，可知且中每一项均为正数，若中的每一项都在中，则由这两数列是不同数列，可知，若中的每一项都在中，同理可得 15分若中至少有一项不在中且中至少有一项不在中，设是将中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为，不妨设中的最大项在中，设为，则，则，故，所以，故总有，与矛盾故不是数列 18分【普陀21】数列与满足是数列的前项和（）.（1）设数列是首项和公比都为的等比数列，且数列也是等比数列，求 的值；（2）设，若且对恒成立，求的取值范围；（3）设，若存在整数，且，使得成立，求的所有可能值.【答案】（1）（
20、2）（3）-1和-2【解析】（1）由条件得，即，则，设等比数列的公比为，则，又，则当，时，则满足题意，故所求的的值为 （2）当时， ，以上个式子相加得，又，则，即. 由知数列是递增数列，又，要使得对恒成立，则只需，即，则（3） 由条件得数列是以为首项，为公差的等差数列，则，则则，当时，即时，则当时，与矛盾又，即时，.当时，又，即当，时，与矛盾.又，则或，当时，解得；当时，解得.综上得的所有可能值为和.（3），则为等差数列，对任意恒成立，存在时，使，则先变大后变小（指、幂变化率特征），在时，.又，.那么从易到难猜测：当时，代入得；当时，代入得.【浦东21】定义为有限实数列的波动强度（1）求数列的
21、波动强度；（2）若数列满足，判断是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；（3）设数列是数列的一个排列，求的最大值，并说明理由【答案】（1） 6 （2）正确 （3）【解析】 解：（1） （2）是正确的解法1：，所以，即并且当时，可以取等号，当时，若可以取等号，所以等号可以取到解法2：不妨设，分4种情况讨论1 若，则，2 若，则， 3 若，则， 4 若，则， （3）设，是单调递增数列.分是奇、偶数情况讨论 ，其中，并且.经过上述调整后的数列，系数不可能为0.当为偶数时，系数中有个和个，个和个.当为奇数时，有两种情况（1）系数中有个和个，个.（2）系数中有个和个，个.1 是偶数， 2 是奇数，因为，可知 综上，【松江21】已知数列满足：；当时，；当 时，.记数列的前项和为.（1）求的值；（2）若，求的最小值；（3）求证：的充要条件是.【答案】（1），或，或（2）（3）见解析【解析】（1）因为，且是自然数，；2分，且都是自然数，或；3分且 或 4分（2），当时，由于，所以或， 6分， 8分又所以 10分（3）必要性：若则： -得： 11分由于，或，或，且，或1只有当同时成立时，等式才成立 13分充分性：若，由于所以即又，所以对任意的都有 14分另一方面，由所以对任意的都有 15分由于，证毕. 18分专心-专注-专业