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1、精选优质文档-倾情为你奉上一、二次函数中的最值问题：例1：在平面直角坐标系中，全等的两个三角形RtAOB与Rt AOC如图放置，点B、C 的坐标分别为（1，3），（0，1），BO 与A C相交于D,若AOC绕点O旋转90至AOC，如图所示（1）若抛物线过C、 A、A，求此抛物线的解析式及对称轴； y=-x2+2x+3（2）、若点P是第一象限内抛物线线上的一动点，问P在何处时AP A的面积最大？最大面积是多少？并求出此时的点P的坐标。（3）、设抛物线的顶点为N,在抛物线上是否存在点P,使 AAN与 AAP的面积相等?,若存在,请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由。例 2、（2012攀枝花）
2、如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点ACD均在坐标轴上，且AB=5，sinB=（1）求过ACD三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1y2时，自变量x的取值范围；（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上AE两点之间的一个动点，当P点在何处时，PAE的面积最大？并求出面积的最大值解答：解：（1）四边形ABCD是菱形，AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；RtOCD中，OC=CDsinD=4，OD=3；OA=ADOD=2，即：A（2，0）、B（5，4）、C（0，
3、4）、D（3，0）；设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x3），得：2（3）a=4，a=；抛物线：y=x2+x+4（2）由A（2，0）、B（5，4）得直线AB：y1=x；由（1）得：y2=x2+x+4，则：，解得：，；由图可知：当y1y2时，2x5（3）SAPE=AEh，当P到直线AB的距离最远时，SABC最大；若设直线LAB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；设直线L：y=x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，x+b=x2+x+4，且=0；求得：b=，即直线L：y=x+；可得点P（，）由（2）得：E（5，），则直线PE：y=x+9；则点F（，0），AF=OA+OF=；
4、PAE的最大值：SPAE=SPAF+SAEF=（+）=综上所述，当P（，）时，PAE的面积最大，为针对训练：1、（2013宜宾）如图，抛物线y1=x21交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2，两条抛物线相交于点C（1）请直接写出抛物线y2的解析式；（2）若点P是x轴上一动点，且满足CPA=OBA，求出所有满足条件的P点坐标；（3）在第四象限内抛物线y2上，是否存在点Q，使得QOC中OC边上的高h有最大值？若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由解答：解：（1）抛物线y1=x21向右平移4个单位的顶点坐标为（4，1），所以，抛物线y2的解析式
5、为y2=（x4）21；（2）x=0时，y=1，y=0时，x21=0，解得x1=1，x2=1，所以，点A（1，0），B（0，1），OBA=45，联立，解得，点C的坐标为（2，3），CPA=OBA，点P在点A的左边时，坐标为（1，0），在点A的右边时，坐标为（5，0），所以，点P的坐标为（1，0）或（5，0）；（3）存在点C（2，3），直线OC的解析式为y=x，设与OC平行的直线y=x+b，联立，消掉y得，2x219x+302b=0，当=0，方程有两个相等的实数根时，QOC中OC边上的高h有最大值，此时x1=x2=（）=，此时y=（4）21=，存在第四象限的点Q（，），使得QOC中OC边上的高h有
6、最大值，此时=19242（302b）=0，解得b=，过点Q与OC平行的直线解析式为y=x，令y=0，则x=0，解得x=，设直线与x轴的交点为E，则E（，0），过点C作CDx轴于D，根据勾股定理，OC=，则sinCOD=，解得h最大=2、如图，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为.（1）求抛物线的解析式；（2）试探究的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点是线段下方的抛物线上一点，求的面积的最大值，并类型一、最值问题：类型一、最值问题：（2013泸州）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（1，），已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过三点A、B、O
7、（O为原点）（1）求抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明理由（注意：本题中的结果均保留根号）考点：二次函数综合题分析：（1）直接将A、O、B三点坐标代入抛物线解析式的一般式，可求解析式；（2）因为点A，O关于对称轴对称，连接AB交对称轴于C点，C点即为所求，求直线AB的解析式，再根据C点的横坐标值，求纵坐标；（3）设P（x，y）（2x0，y0），用割补法可表示PAB的面积，根据面
8、积表达式再求取最大值时，x的值解答：解：（1）将A（2，0），B（1，），O（0，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c（a0），可得：，解得：，故所求抛物线解析式为y=x2x；（2）存在理由如下：如答图所示，y=x2x=（x+1）2+，抛物线的对称轴为x=1点C在对称轴x=1上，BOC的周长=OB+BC+CO；OB=2，要使BOC的周长最小，必须BC+CO最小，点O与点A关于直线x=1对称，有CO=CA，BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA，当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时BOC的周长最小设直线AB的解析式为y=kx+t，则有：，
9、解得：，直线AB的解析式为y=x，当x=1时，y=，所求点C的坐标为（1，）；（3）设P（x，y）（2x0，y0），则y=x2x 如答图所示，过点P作PQy轴于点Q，PGx轴于点G，过点A作AFPQ轴于点F，过点B作BEPQ轴于点E，则PQ=x，PG=y，由题意可得：SPAB=S梯形AFEBSAFPSBEP=（AF+BE）FEAFFPPEBE=（y+y）（1+2）y（2+x）（1x）（+y）=y+x+ 将代入得：SPAB=（x2x）+x+=x2x+=（x+）2+当x=时，PAB的面积最大，最大值为，此时y=+=，点P的坐标为（，）类型二、探索三角形的存在性。例1、（2013绵阳）如图，二次函数
10、y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，2），交x轴于A、B两点，其中A（1，0），直线l：x=m（m1）与x轴交于D（1）求二次函数的解析式和B的坐标；（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）由于抛物线的顶点C的坐标为（0，2），所以抛物线的对称轴为y轴，且与y轴交点的纵坐标为2，即b=0，c=2，再
11、将A（1，0）代入y=ax2+bx+c，求出a的值，由此确定该抛物线的解析式，然后令y=0，解一元二次方程求出x的值即可得到点B的坐标；（2）设P点坐标为（m，n）由于PDB=BOC=90，则D与O对应，所以当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：OCBDBP；OCBDPB根据相似三角形对应边成比例，得出n与m的关系式，进而可得到点P的坐标；（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x22），使BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形过点Q作QEl于点E利用AAS易证DBPEPQ，得出BD=PE，DP=EQ再分两种情况讨论：P（m，）；P（m，2（m
12、1）都根据BD=PE，DP=EQ列出方程组，求出x与m的值，再结合条件x0且m1即可判断不存在第一象限内的点Q，使BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为C（0，2），b=0，c=2；y=ax2+bx+c过点A（1，0），0=a+02，a=2，抛物线的解析式为y=2x22当y=0时，2x22=0，解得x=1，点B的坐标为（1，0）；（2）设P（m，n）PDB=BOC=90，当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况：若OCBDBP，则=，即=，解得n=由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，此时点P坐标
13、为（m，）或（m，）；若OCBDPB，则=，即=，解得n=2m2由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，此时点P坐标为（m，2m2）或（m，22m）综上所述，满足条件的点P的坐标为：（m，），（m，），（m，2m2）或（m，22m）（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x22），使BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形如图，过点Q作QEl于点EDBP+BPD=90，QPE+BPD=90，DBP=QPE在DBP与EPQ中，DBPEPQ，BD=PE，DP=EQ分两种情况：当P（m，）时，B（1，0），D（m，0），E（m，2x22），解得，（均不合题意舍去）；当P（m，2（m1）
14、时，B（1，0），D（m，0），E（m，2x22），解得，（均不合题意舍去）；综上所述，不存在满足条件的点Q类型三、探究二次函数与圆：（2013巴中）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作P的正半轴交于点C（1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；（3）试说明直线MC与P的位置关系，并证明你的结论考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；勾股定理的逆定理；切线的判
15、定 专题：计算题分析：（1）求出半径，根据勾股定理求出C的坐标，设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a（x4）（x+1），把C（0，2）代入求出a即可；（2）求出M的坐标，设直线MC对应函数表达式是y=kx+b，把C（0，2），M（，）代入得到方程组，求出方程组的解即可；（3）根据点的坐标和勾股定理分别求出PC、DC、PD的平方，根据勾股定理的逆定理得出PCD=90，即可求出答案解答：解：（1）A（4，0），B（1，0），AB=5，半径是PC=PB=PA=，OP=1=，在CPO中，由勾股定理得：OC=2，C（0，2），设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a（x4）（x+1），把C（0，2）
16、代入得：2=a（04）（0+1），a=，y=（x4）（x+1）=x2+x+2，答：经过A、B、C三点抛物线解析式是y=x2+x+2（2）y=x2+x+2=+，M（，），设直线MC对应函数表达式是y=kx+b，把C（0，2），M（，）代入得：，解得：k=，b=2，y=x+2，y=x+2答：直线MC对应函数表达式是y=x+2（3）MC与P的位置关系是相切证明：设直线MC交x轴于D，当y=0时，0=x+2，x=，OD=，D（，0），在COD中，由勾股定理得：CD2=22+=，PC2=，PD2=，CD2+PC2=PD2，PCD=90，PCDC，PC为半径，MC与P的位置关系是相切针对训练：1、）（20
17、13湘西州）如图，已知抛物线y=x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（2，0）（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断AOC与COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由（5）、点M 是抛物线上位于第一象限内的动点，当BCM的面积达到最大值时，求点M的坐标及最大值？（6）、求BAC的外接圆圆心E点的坐标？（7）、求证圆E与直线：y=3x/4+4相切。在该直线上找一点F，使BCF为直角
18、三角形，求F的坐标？（8）、l是过点A且平行于BC的直线，在该直线上找一点D，使A,B,C,D所在的四边形为平行四边形，求D的坐标？（9）、将BAC绕点B顺时针旋转90得到BAC，求点A和点C的坐标及线段BC所扫过的区域的面积？（10）、在x轴上找一点G，使CFG的周长最小，求G点坐标及周长最小值？求此时CFG的面积？（11）、在抛物线上找一点H，使ABH的面积=AOC的面积.。求点H的坐标？（12）、求抛物线关于直线：x=10,对称的抛物线的解析式？（13）、N是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点N作NPAC交线段BC于点P，连接CN，记CNP的面积为S，S是否
19、存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=求出对称轴方程；（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标再利用待定系数法求出直线BD的解析式；（3）根据，AOC=BOC=90，可以判定AOCCOB；（4）本问为存在型问题若ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解解答：解：（1）抛物线y=x2+bx+4的图象经过点A（2，0），（2）2+b（2）+4=0，解得：b=，抛物线解析式为 y=x2+x+4，又y=x2+x+4=
20、（x3）2+，对称轴方程为：x=3（2）在y=x2+x+4中，令x=0，得y=4，C（0，4）；令y=0，即x2+x+4=0，整理得x26x16=0，解得：x=8或x=2，A（2，0），B（8，0）设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解得k=，b=4，直线BC的解析式为：y=x+4（3）可判定AOCCOB成立理由如下：在AOC与COB中，OA=2，OC=4，OB=8，又AOC=BOC=90，AOCCOB（4）抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点Q（3，t），则可求得：AC=，AQ=，CQ=i）当AQ=CQ时，有=，25+t2=t28t+16
21、+9，解得t=0，Q1（3，0）；ii）当AC=AQ时，有=，t2=5，此方程无实数根，此时ACQ不能构成等腰三角形；iii）当AC=CQ时，有=，整理得：t28t+5=0，解得：t=4，点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4）综上所述，存在点Q，使ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4）2、（2013四川南充，21，8分）如图，二次函数y=x2+bx3b+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b2，2b25b1）.（1）求这条抛物线的解析式；（2）M过A、B、C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；（3）连接A
22、M、DM，将AMD绕点M顺时针旋转，两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F，若DMF为等腰三角形，求点E的坐标.解：（1）把点（b2，2b25b1）代入解析式，得2b25b1=（b2）2+b（b2）3b+3， 1解得b=2.抛物线的解析式为y=x2+2x3. 2（2）由x2+2x3=0，得x=3或x=1.A（3，0）、B（1，0）、C（0，3）.抛物线的对称轴是直线x=1，圆心M在直线x=1上. 3设M（1，n），作MGx轴于G，MHy轴于H，连接MC、MB.MH=1，BG=2. 4MB=MC，BG2+MG2=MH2+CH2，即4+n2=1+（3+n）2，解得n=1，点M（1，1） 5（3）如图，由M（1，1），得MG=MH.MA=MD，RtAMGRtDMH，1=2.由旋转可知3=4. AMEDMF.若DMF为等腰三角形，则AME为等腰三角形. 6设E（x，0），AME为等腰三角形，分三种情况：AE=AM=，则x=3，E（3，0）；M在AB的垂直平分线上，MA=ME=MB，E（1，0） 7点E在AM的垂直平分线上，则AE=ME. AE=x+3，ME2=MG2+EG2=1+（1x）2，（x+3）2=1+（1x）2，解得x=，E（，0）.所求点E的坐标为（3，0），（1，0），（，0） 8求出此时点的坐标.精品文档考试教学资料施工组织设计方案专心-专注-专业