选修2-1-第三章-空间向量与立体几何-题库(共51页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 题库2.1 空间向量及其运算 练习题1.（2002上海春，13）若a、b、c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是（ ）A.（a+b）+c=a+（b+c） B.（a+b）c=ac+bcC.m（a+b）=ma+mb D.（ab）c=a（bc）2.（2002天津文12，理10）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（1，3），若点C满足，其中、R，且+=1，则点C的轨迹方程为（ ）A.3x+2y11=0 B.（x1）2+（y2）2=5C.2xy=0 D.x+2y5=03.（2001上海）如图51，在平行六面体A

2、BCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=a，=b，=c.则下列向量中与相等的向量是（ ）A.a+b+cB. a+b+cC. ab+cD.ab+c4.（2001江西、山西、天津理，5）若向量a=（1，1），b=（1，1），c=（1，2），则c等于（ ）A.a+b b. ab C. ab D.a+b5.(2000江西、山西、天津理，4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则（ab）c（ca）b=0 |a|b|0）.如图52.（1）证明：三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱；（2）若m=n，求直线CA1与平面A1ABB1所成角的大小.7.（2002上海春，19）如图53，三棱柱

3、OABO1A1B1，平面OBB1O1平面OAB，O1OB=60，AOB=90，且OB=OO1=2，OA=.求：（1）二面角O1ABO的大小；（2）异面直线A1B与AO1所成角的大小.（上述结果用反三角函数值表示）8.（2002上海，17）如图54，在直三棱柱ABOABO中，OO=4，OA=4，OB=3，AOB=90，D是线段AB的中点，P是侧棱BB上的一点，若OPBD，求OP与底面AOB所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）图53 图54 图559.（2002天津文9，理18）如图55，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a.（1）建立适当的坐标系，并写出点A、B、A1、C1的

4、坐标；（2）求AC1与侧面ABB1A1所成的角.10.（2002天津文22，理21）已知两点M（1，0），N（1，0），且点P使成公差小于零的等差数列.（1）点P的轨迹是什么曲线？（2）若点P坐标为（x0，y0），为与的夹角，求tan.立体几何中的向量方法 练习题 答案1.证明：设，则而 同理，又，面GBD。2（1）证明：如图（b）所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点设DC=a，连结AC，AC交BD于G，连结EG依题意得A（a，0，0），P（0，0，a），E（0，）底面ABCD是正方形G是此正方形的中心故点G的坐标为（，0）=（a，0，a），=（，0，），这表明PA/EG而EG平面EDB，且P

5、A平面EDBPA/平面EDB（2）解：依题意得B（a，a，0），C（0，a，0）如图（b）取DC的中点F（0，0），连结EF、BF=（0，0， ），=（a，0），=（0，a，0），FEFB，FEDC。tanEBFEB与底面ABCD所成角的正切值为3. 解：不妨设正方体棱长为2，分别取DA、DC、所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2），F（1，1，2）（1）由=（1，0，2），=（1，1，2），得，=104=3又，所求值为（2）=（0，1，0）=（1，0，2）（0，1，0）=0AEEF，过C作CMAE于M则二面角CAEF的大小

6、等于M在AE上，则=（m，0，2m），=（2，2，0）（m，0，2m）=（m2，2，2m）MCAE=（m2，2，2m）（1，0，2）=0，=（0，1，0）（，2，）=020=2又二面角CAEF的余弦值的大小为4. 分析：因BD/平面EFG，故O到面EFG与BD到面EFG距离相等，证明OM垂直于面EFG即可。解：如图所示，分别以CD、CB、CG所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系。易证BD/面EFG，设=O，EF面CGH，O到面EFG的距离等于BD到面EFG的距离，过O作OMHG于M，易证OM面EFG，可知OM为所求距离。另易知H（3，3，0），G（0，0，2），O（2，2，0）。设，=（3

7、，3，2）则又，即BD到平面EFG的距离等于5（1）证法一：如图（b）所示，以D为原点，DA、DC、所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M（0，1，），N（，1，1，），D（0，0，0），（1，0，1），B（1，1，0），于是=（，0，）。设平面的法向量是（x，y，z）则，得取x=1，得，=（1，1，1）又=（，0，）（1，1，1）=0，MN/平面证法二：，证法三： 即线性表示，故是共面向量/平面A1BD，即MN/平面A1BD。（2）证明：由（1）求得平面的法向量为=（1，1，1）同理可求平面B1D1C的法向量=（1，1，1）平面A1BD/平面B1D1

8、C6（1）证明：，| |=m，又|=m，|=m，ABC为正三角形.又=0，即AA1AB，同理AA1AC，AA1平面ABC，从而三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱.（2）解：取AB中点O，连结CO、A1O.COAB，平面ABC平面ABB1A1，CO平面ABB1A1，即CA1O为直线CA1与平面A1ABB1所成的角.在RtCA1O中，CO=m，CA1=，sinCA1O=，即CA1O=45.图5157.解：（1）取OB的中点D，连结O1D，则O1DOB.平面OBB1O1平面OAB，O1D平面OAB. 过D作AB的垂线，垂足为E，连结O1E.则O1EAB.DEO1为二面角O1ABO的平面角.由题设得O

9、1D=，sinOBA=，DE=DBsinOBA=在RtO1DE中，tanDEO1=，DEO1=arctan，即二面角O1ABO的大小为arctan.（2）以O点为原点，分别以OA、OB所在直线为x、y轴，过O点且与平面AOB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图515.则O（0，0，0），O1（0，1，），A（，0，0），A1（，1，），B（0，2，0）.设异面直线A1B与AO1所成的角为，则，cos=，异面直线A1B与AO1所成角的大小为arccos.图5168.解法一：如图516，以O点为原点建立空间直角坐标系.由题意，有B（3，0，0），D（，2，4），设P（3，0，z），则=，2，4

10、，=3，0，z.BDOP，=+4z=0，z=.BB平面AOB，POB是OP与底面AOB所成的角.tanPOB=，POB=arctan.解法二：取OB中点E，连结DE、BE，如图517，则DE平面OBBO，BE是BD在平面OBBO内的射影.又OPBD.由三垂线定理的逆定理，得OPBE.在矩形OBBO中，易得RtOBPRtBBE，得BP=.（以下同解法一）图518图5179.解：（1）如图518，以点A为坐标原点O，以AB所在直线为Oy轴，以AA1所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系.由已知，得A（0，0，0），B（0，a，0），A1（0，0， a

11、），C1（）.（2）坐标系如图，取A1B1的中点M，于是有M（0， a），连AM，MC1有=（a，0，0），且=（0，a，0），=（0，0， a）由于=0，=0，所以MC1面ABB1A1.AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角.=（），=（0，a），=0+2a2=a2.而|=.|=.cos，=.所以与所成的角，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30.10.解：（1）记P（x，y），由M（1，0），N（1，0）得=（1x，y），=（1x，y），=（2，0）=2（1+x），=x2+y21，=2（1x）.于是，是公差小于零的等差数列等价于 即所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径

12、的右半圆.（2）点P的坐标为（x0，y0）.=x02+y021=2.|=.cos=第三章 空间向量与立体几何 练习题1.（2001江西、山西、天津理）如图56，以正四棱锥VABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，其中OxBC，OyAB，E为VC的中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h.（1）求cos；（2）记面BCV为，面DCV为，若BED是二面角VC的平面角，求BED.图56 图57 图582.（2001上海春）在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且AEA1B，AFA1D.（1）求证：A1C平面AEF；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组

13、成的二面角中的锐角（或直角）.则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等.试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小.（用反三角函数值表示）3.（2001上海）在棱长为a的正方体OABCOABC中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF.如图58.（1）求证：AFCE.（2）当三棱锥BBEF的体积取得最大值时，求二面角BEFB的大小（结果用反三角函数表示）4.（2000上海春，21）四棱锥PABCD中，底面ABCD是一个平行四边形， =2，1，4，=4，2，0，=1，2，1.（1）求证

14、：PA底面ABCD；（2）求四棱锥PABCD的体积；（3）对于向量a=x1，y1，z1，b=x2，y2，z2，c=x3，y3，z3，定义一种运算：（ab）c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2x1y3z2x2y1z3x3y2z1，试计算（）的绝对值的值；说明其与四棱锥PABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算（）的绝对值的几何意义.5.（2000上海，18）如图59所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为arccos，求四面体ABCD的体积.图59 图510 图5116.（2000天津、江西、山西）如图510

15、所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.（1）求的长；（2）求cos的值；（3）求证：A1BC1M.7.（2000全国理，18）如图511，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形且C1CB=C1CD=BCD=60.（1）证明：C1CBD；（2）假定CD=2，CC1=，记面C1BD为，面CBD为，求二面角BD的平面角的余弦值；（3）当的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明.图5128.（1999上海，20）如图512，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD=90，ADBC，A

16、B=BC=a，AD=2a，且PA底面ABCD，PD与底面成30角.（1）若AEPD，E为垂足，求证：BEPD；（2）求异面直线AE与CD所成角的大小.图5139.（1995上海，21）如图513在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（，0），点D在平面yOz上，且BDC=90，DCB=30.（1）求向量的坐标；（2）设向量和的夹角为，求cos的值.10.(2009年福建理7)设m，n是平面 内的两条不同直线，是平面 内的两条相交直线，则/ 的一个充分而不必要条件是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A.m / 且l / B. m / l 且n / lC. m / 且n

17、 / D. m / 且n / l11.（2009年辽宁理11)正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为（A）1：1（B）1：2（C）2：1（D）3：212.(2009年浙江理5)在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是( )A B 学网C D13.(2007年海南理12)一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则（）14.(2010年全国理18)（本小题满分12分）如图，已知

18、四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高 ，E为AD中点（1） 证明：PEBC（2） 若APB=ADB=60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值15.（2010年北京理16）（本小题共14分） 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=，CE=EF=1.（）求证：AF平面BDE；（）求证：CF平面BDE；（）求二面角A-BE-D的大小。16.（2010年浙江理20）（本题满分15分）如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面. （）求二面角的余弦值；（）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折

19、，使与重合，求线段的长。17,（2009年山东理18）（本小题满分12分）E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。（1） 证明：直线EE/平面FCC；（2） 求二面角B-FC-C的余弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 18.(2009年福建理17)（13分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且MD=NB=1，E为BC的中点（1） 求异面直线NE与AM所成角的余弦值在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？

20、若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 19.(2009年辽宁理 18 ) （本小题满分12分）如图，己知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB , DF的中点。（1）若平面ABCD平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；（2）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线。20（2009年浙江理20）（本题满分15分）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点，（I）设是的中点，证明：平面；（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离21.(2009年上海理19)（本题满分14分）如图，在直三

21、棱柱中，,求二面角的大小。22.(2008年山东理20)（本小题满分12分）如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，分别是的中点（）证明：；（）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值PBECDFA23.(2008年江苏22)记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记当为钝角时，求的取值范围ABCDEF24. (2007年海南理18)（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，为中点（）证明：平面；（）求二面角的余弦值空间向量与立体几何 练习题 答案1.解：（1）由题意知B（a，a，0），C（a，a，0），D（a，a，0），E（）.由此得，.由向量的数量积公

22、式有cos（2）若BED是二面角VC的平面角，则，则有0.又由C（a，a，0），V（0，0，h），有（a，a，h）且，.即ha，这时有cos，BEDarccos（）arccos评述：本小题主要考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹角的计算方法；考查运用向量研究空间图形的数学思想方法.2.（1）证明：因为CB平面A1B，所以A1C在平面A1B上的射影为A1B.由A1BAE，AE平面A1B，得A1CAE.同理可证A1CAF.因为A1CAF，A1CAE，图519所以A1C平面AEF.（2）解：过A作BD的垂线交CD于G，因为D1DAG，所以AG平面D1B1BD.设AG与A1C所

23、成的角为，则即为平面AEF与平面D1B1BD所成的角.由已知，计算得DG=.如图519建立直角坐标系，则得点A（0，0，0），G（，3，0），A1（0，0，5），C（4，3，0）.AG=，3，0，A1C=4，3，5.因为AG与A1C所成的角为，所以cos=.由定理知，平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小为arccos.注：没有学习向量知识的同学可用以下的方法求二面角的平面角.解法一：设AG与BD交于M，则AM面BB1D1D，再作ANEF交EF于N，连接MN，则ANM即为面AEF与D1B1BD所成的角，用平面几何的知识可求出AM、AN的长度.解法二：用面积射影定理cos=.评述：立体几何考查

24、的重点有三个：一是空间线面位置关系的判定；二是角与距离的计算；三是多面体与旋转体中的计算.3.建立坐标系，如图520.（1）证明：设AE=BF=x，则A（a，0，a），F（ax，a，0），C（0，a，a），E（a，x，0）=x，a，a，=a，xa，a.=xa+a（xa）+a2=0AFCE（2）解：设BF=x，则EB=ax三棱锥BBEF的体积V=x（ax）a（）2=a3当且仅当x=时，等号成立.因此，三棱锥BBEF的体积取得最大值时BE=BF=，过B作BDEF于D，连BD，可知BDEF.BDB是二面角BEFB的平面角在直角三角形BEF中，直角边BE=BF=，BD是斜边上的高.BD=a.tanBD

25、B=故二面角BEFB的大小为arctan2.评述：本题考查空间向量的表示、运算及两向量垂直的充要条件.二次函数求最值或均值不等式求最值，二面角等知识.考查学生的空间想象能力和运算能力.用空间向量的观点处理立体几何中的线面关系，把几何问题代数化，降低了立体几何的难度.本题考查的线线垂直等价于=0，使问题很容易得到解决.而体积的最值除用均值不等式外亦可用二次函数求最值的方法处理.二面角的平面角的找法是典型的三垂线定理找平面角的方法，计算较简单，有一定的思维量.4.（1）证明：=22+4=0，APAB.又=4+4+0=0，APAD.AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，AP底面ABCD.（2）解

26、：设与的夹角为，则cos=V=|sin|=（3）解：|（）|=|43248|=48它是四棱锥PABCD体积的3倍.猜测：|（）|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积（或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积）.评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.图5215.解：如图521建立空间直角坐标系由题意，有A（0，2，0）、C（2，0，0）、E（1，1，0）设D点的坐标为（0，0，z）（z0）则=1，1，0，=

27、0，2，z，设与所成角为.则=cos=2，且AD与BE所成的角的大小为arccos.cos2=，z=4，故|BD|的长度为4.又VABCD=|AB|BC|BD|=，因此，四面体ABCD的体积为.评述：本题考查空间图形的长度、角度、体积的概念和计算.以向量为工具，利用空间向量的坐标表示、空间向量的数量积计算线段的长度、异面直线所成角等问题，思路自然，解法灵活简便.图5226.解：如图522，建立空间直角坐标系Oxyz.（1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1）| |=.（2）依题意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2）=1，1，2，=0，1，2，=3，

28、|=，|=cos=.（3）证明：依题意，得C1（0，0，2）、M（，2），=1，1，2，=，0.=+0=0，A1BC1M.评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.7.（1）证明：设=a，=b，=c，则|a|=|b|，=ba，=（ba）c=bcac=|b|c|cos60|a|c|cos60=0，C1CBD.（2）解：连AC、BD，设ACBD=O，连OC1，则C1OC为二面角BD的平面角.（a+b），（a+b）c（a+b）（a+b）c=（a2+2ab+b2）acbc=（4+222cos60+4）2cos602cos60=.则|=，|=，cosC1OC=（3）

29、解：设=x，CD=2， 则CC1=.BD平面AA1C1C，BDA1C只须求满足：=0即可.设=a，=b，=c，=a+b+c，=ac，=（a+b+c）（ac）=a2+abbcc2=6，令6=0，得x=1或x=（舍去）.评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.8.（1）证明：PA平面ABCD，PAAB，又ABAD.AB平面PAD.又AEPD，PD平面ABE，故BEPD.（2）解：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C、D的坐标分别为（a，a，0），（0，2a，0）.PA平面ABCD，PDA是PD与底面

30、ABCD所成的角，PDA=30.于是，在RtAED中，由AD=2a，得AE=a.过E作EFAD，垂足为F，在RtAFE中，由AE=a，EAF=60，得AF=，EF=a，E（0，a）于是，=a，a，0设与的夹角为，则由cos=arccos，即AE与CD所成角的大小为arccos.评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段.9.解：（1）过D作DEBC，垂足为E，在RtBDC中,由BDC=90,DCB=30，BC=2，得BD=1，CD=，DE=CDsin30=.OE=OBBE=OBBDcos60=1.D点坐标为（0，），即向量

31、ODTX的坐标为0，.（2）依题意：，所以.设向量和的夹角为，则cos=.10. 【答案】：B解析若，则可得.若则存在11. C 解析：连接FC、AD、BE，设正六边形的中心为O，连接AC与OB相交点H，则GHPO，故GH平面ABCDEF，平面GAC平面ABCDEF又DCAC，BHAC，DC平面GAC，BH平面GAC，且DC=2BH，故三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为2：1。12. C 【解析】取BC的中点E，则面，因此与平面所成角即为，设，则，即有13. 【答案】：B【分析】：如图，设正三棱锥的各棱长为，则四棱锥的各棱长也为，于是 14. 解：以为原点， 分别为轴，线段的长为单位

32、长， 建立空间直角坐标系如图， 则（）设 则 可得 因为所以 （）由已知条件可得 设 为平面的法向量 则 即因此可以取，由，可得 所以直线与平面所成角的正弦值为15. 证明：（I）设AC与BD交于点G，因为EFAG，且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形。所以AFEG。因为EGP平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE。（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CEAC，所以CEAC，所以CE平面ABCD。如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz。则C（0， 0， 0），A（，0），D（，0， 0），E（0， 0， 1），F（，1）。所以=

33、（，1），=（0，），（，0，）。所以= 0-1+1=0，=。所以CFBE，CFDE，所以CF平面BDE（III）由（II）知，=（，1），是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量=（x,y,z）,则=0，=0。即所以x=0，且z=y。令y=1，则z=。所以n=（），从而cos（，）=因为二面角A-BE-D为锐角，所以二面角A-BE-D为。16. 解析：本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。（）解：取线段EF的中点H，连结，因为=及H是EF的中点，所以,又因为平面平面.如图建立空间直角坐标系A-xyz则（2，2，），C（10，8，0），F（4，0，0），D（10，0，0）. 故=（-2，2，2），=（6，0，0）.设=（x,y,z）为平面的一个法向量， -2x+2y+2z=0所以 6x=0.取，则。又平面的一个法向量，故。所以二面角的余弦值为（）解：设则，因为翻折后，与重合，所以，故， ，得，经检验，此时点在线段上，所以。方法二：（）解：取线段的中点,的中点,连结。因为=及是的中点，所以又因为平面平面，所以平面,又平面,故，又因为、是、的中点，易知，所以，于是面，所以为二面角的平面角，在中，=，=2，=所以.故二面角的余弦值为。（