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1、精选优质文档-倾情为你奉上正余弦定理与解三角形（一）-解三角形中的元素【学习目标】1.理解两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导及联系，2.运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换【自主先学】1、在ABC中，AB，AC1，B30，ABC的面积为，则C_. 602、设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则角A的大小为_. 3、已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2b2c2bc，bc4，则ABC的面积为_. 4、在ABC中，a3，b，A，则B_. 5、设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，co
2、s C，3sin A2sin B，则c_. 4【质疑拓展】：题型1判断三角形的形状【例1】的内角的对边分别为，根据下列条件判断三角形形状：（1），且，则的形状是_三角形（2），则的形状是_三角形（3），则ABC的形状为_三角形 答案等腰或直角题型2【例2】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2b2c2bc0，2bsin Aa，BC边上中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小；(2)求ABC的面积.解(1)由a2b2c2bc0，得b2c2a2bc，cos A，A，由2bsin Aa，得ba，BA.(2)设ACBCx，由余弦定理，得AM2x22x()2，解得x2，故SABC22
3、2.题型3【例3】【变式训练】【反思小结】：【检测反馈】：1. 在ABC中，已知a3，b，A，则B_. 答案2.在ABC中，已知a，b，B45，则角A_. 答案60或1203在ABC中，AB，AC1，B30，ABC的面积为，则C_. 答案604.已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2b2c2bc，bc4，则ABC的面积为_. 答案5.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，cos C，3sin A2sin B，则c_. 答案4 6. 在ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若tan A7tan B，3，则c_. 答案 41.在ABC中，若a2，b
4、，A45，则C_.答案 105解析在ABC中，由正弦定理得sin B，因为ba，所以BA，所以B30，C180AB105.2.在中, 若， 则的值为 答案：3. 在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，acos B=5，bsin A12，则a=_.解析：由正弦定理asin B =bsin A12，（asin B）2+（acos B）2=a2=169，所以a=13.3.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C60，且ab5，c，则ABC的面积为 答案 4. 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则B_.答案5. 在ABC中，A60，AC2，BC，则AB_.答案：
5、1解析 A60，AC2，BC，设ABx，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcos A，化简得x22x10， x1，即AB1.6. 在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cos A_.解析设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B，BDBC，DCBC，tanBAD1，tanCAD2，tan A3，所以cos A.答案如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角，则这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离 m DCBA（第10题图）【答案】187.设ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足，求的值答案:47. 如图，在ABC中，D是B
6、C边上一点，已知B60，AD2，AC，DC，那么AB_. 答案 8.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2b2c2bc0，2bsin Aa，BC边上中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小； (2)求ABC的面积.答案(1) BA； (2) SABC222.8.正余弦定理与解三角形（二）-三角形中的不等关系【自主先学】1.在钝角ABC中，a1，b2，则最大边c的取值范围_ 答案c32. 在锐角中，若，则的取值范围为 .答案：4. 若的内角满足，则角的最大值是 .解析：由可得：， 在递减，答案：5. 若一个钝角三角形的三个内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m，则实数m的取
7、值范围是_答案：(2，)解析设A为钝角，C为最小角，则AC120，C(0，30)，由正弦定理得m.而0tan C，则m2.【质疑拓展】：题型1正余弦定理与不等式结合，转化为“解不等式组”【例1】 设的内角所对的边为，若成等比数列，则的取值范围是_.思路：由成等比数列可得：，也可视为，所求表达式也可视为，如果从角入手，则无法与联系,所以考虑从边入手.解析：由成等比数列得，即不妨设，则，由能构成三角形得（布列含的不等式组，同时“减元”）解之得：.答案：说明：（1）也可以特殊化，如设；（2）上述不等式组中，第三个恒成立，可省略，想一想，为什么？变题1：设内角A，B，C所对的边a，b，c，若成等比数列
8、，则的取值范围是_答案：变题2：已知中，成等比数列，则的取值范围是_答案：题型2正余弦定理与基本不等式结合，转化为利用基本不等式求“范围或最值”【例2】 （1）已知中，成等比数列，则的取值范围是_答案：解析：由成等比数列得，即由余弦定理得（当且仅当a=c时，“=”成立）又因为，所以.（2）若ABC的内角满足sin Asin B2sin C，则cos C的最小值是_.思路：所求的最值可想到余弦定理用边进行表示，考虑角化边得到：，进而消去计算表达式的最值即可解析sin Asin B2sin C.由正弦定理可得ab2c，即c，cos C，当且仅当3a22b2即时等号成立.cos C的最小值为.答案题
9、型3正余弦定理与三角变换结合，转化为利用三角函数求“范围或最值”【例2】 设锐角三角形的内角的对边分别为.（1）求的大小；（2）求的取值范围解：（1）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得（2）由为锐角三角形知，故 ，所以所以的取值范围为点评：要注意对“锐角三角形”条件的运用，注意转化中的“等价性”，即三个角均为锐角，进一步的将用代换，其目的是确定出“目标角”的范围.满足锐角的条件也由来承担，这也是在利用等式消元时所要注意的一点：若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担. 变题1：在中，角所对的边分别为，已知 （1）求的大小（2）若，求的取值范围解：（1）由条件可考虑使用正弦定理，将分子
10、进行“边化角” （2）思路：考虑在中，已经已知 ，从而可求出外接圆半径，进而与也可进行边角互化。若从边的角度考虑，则能够使用的不等关系只有“两边之和大于第三边”，但不易利用 这个条件，考虑利用角来解决 解： 变题2： 在锐角中，角所对的边分别为，且 （1）求角 （2）求的取值范围解：（1）方法一：使用余弦定理 由余弦定理得： 方法二：观察等式齐次，考虑使用正弦定理 （2） 为锐角三角形 【反思小结】：【检测反馈】：1.设锐角的三内角所对边的边长分别为，且，则的取值范围为 .答案：解析： 由锐角可知：，解得，所以，从而2. 已知中，则的最大值是 【答案】【解析】，；由于又，当且仅当时，等号成立即
11、的最小值为 故 的最大值为，故的最大值为解析：由得：化简得：所以（由，易知，故）.3. 若一个锐角三角形的三个内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m，则实数m的取值范围是_答案：1，2)4.在斜角ABC中，则 的最大值是 答案： 5. 若的内角满足，则的最大值是 .答案：6.已知函数.（1）求的对称中心（2）若锐角中角所对的边分别为，且，求的取值范围解析：（1） 对称中心为：对称中心为：（2）由已知可得：（舍）或因为为锐角三角形 .2. 在锐角ABC中，角的对边分别为，则的取值范围是 答案： 变6 在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2a2ac，则的最小值_ 答案：2变
12、7 在中，若，且，则该三角形的面积的最大值为_ （三角恒等变换和基本不等式的综合考察，是好题）答案：；解析：将化为边的关系可得，变8 在中，若，且，则该三角形的面积的最大值为_ 答案：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，则的取值范围是_ _.答案：解析：由正弦定理得 的取值范围为 已知在中，且AB边上的高与边AB的长相等，则的最大值是_ _.答案： 解析：看到“高”想面积.由三角形面积公式得，即联想到公式特点，强行介入“余弦定理”得.所以当时，的最大值是.变1 已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则的最大值是_ _.答案： 解析：看到“高”想面积.由三角形面积公式得，即.变2 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是_答案：(2，4)变3 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角为锐角，且，则的取值范围是_答案：解析：本题的难点在于将“为锐角”这一条件进行转化.角为锐角 又解之得的取值范围是.专心-专注-专业