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1、精选优质文档-倾情为你奉上 正弦定理、余弦定理及解三角形1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容a2b2c22bccos A；b2a2c22accos_B；c2a2b22abcos_C变形形式a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A，sin B，sin C；(其中R是ABC的外接圆半径)abcsin Asin Bsin C；cos A；cos B；cos C.解决的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角2三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)
2、(2)Sabsin Cbcsin Acasin B.(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)3判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在ABC中，若sin Asin B，则AB.()(2)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素()(3)在ABC中，有sin Asin(BC)()(4)在ABC中，.()(5)在ABC中，若a2b2c2，则ABC为钝角三角形()(6)公式Sabsin C适合求任意三角形的面积()(7)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积()(8)在ABC中，若A60，a4，b4，则B45或B135.()(9)在ABC中，若sin 2Asin 2B，则
3、AB.()(10)在ABC中，tan Atan Btan Ctan Atan Btan C(A、B、C)()考点一利用正、余弦定理求边和角命题点1.用正弦定理解三角形2.用余弦定理解三角形3.用正、余弦定理进行边角互化解三角形例1(1)(2016高考全国丙卷)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则sin A()A. B. C. D.解析：设BC边上的高为AD，则BC3AD，DC2AD，所以ACAD.由正弦定理，知，即，解得sin A，故选D.答案：D(2)(2016高考全国乙卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a，c2，cos A，则b()A. B. C2 D3解析：由余弦
4、定理，得4b222bcos A5，整理得3b28b30，解得b3或b(舍去)，故选D.答案：D(3)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2bc，sin C2sin B，则A()A30 B60 C120 D150解析：由正弦定理可知c2b，则cos A，所以A30.答案：A方法引航(1)解三角形时，若式子中含有角的余弦或边的二次式，则要考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；若以上特征都不明显，则要考虑两个定理都有可能用到.(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通
5、常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A，a1，b，则B_.解析：依题意得，由正弦定理知：，sin B，又0B，可得B或. 答案：或2在ABC中，a1，b2，cos C，则c_；sin A_.解析：c2a2b22abcos C1414，c2；cos C，则sin C，由正弦定理，得，得sin A.答案：2；3设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，则角C_.解析：由已知条件和正弦定理得：3a5b，且bc2a，则a，c2abcos C，又0C，因此角C.答案：考点二三角形形状的判
6、定命题点1.利用角的关系判定三角形形状2.利用边的关系判定三角形形状例2(1)已知ABC的内角A，B，C成等差数列，且A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则ABC为()A直角三角形 B等边三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形解析：内角A、B、C成等差数列，AC2B.又ABC.B，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac.又b2ac，a2c2acac，即(ac)20，ac，又B，ABC为等边三角形答案：B(2)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.求角A的大小；若sin Bsin C1，试判
7、断ABC的形状解：由正弦定理，及2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理，a2b2c22bccos A，bc2bccos A，cos A.又0A，A.由知sin2Asin2Bsin2Csin BsinC，sin2A(sin Bsin C)2sin Bsin C.又sin Bsin C1，且sin A，sin Bsin C，因此sin Bsin C.又B，C，故BC.所以ABC是等腰的钝角三角形方法引航1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系
8、，正(余)弦定理是转化的桥梁2无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的影响1若ABC的三个内角满足sin Asin Bsin C51113，则ABC()A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析：选C.在ABC中，sin Asin Bsin C51113，abc51113，故令a5k，b11k，c13k(k0)，由余弦定理可得cos C0，又C(0，)，C，ABC为钝角三角形2若本例(1)中，a、b、c成等比数列改为a2c，其它条件不变，判断三角形的形状
9、解：b2a2c22accos B4c2c22c23c2，bc，此时满足a2b2c2，说明ABC是直角三角形考点三三角形的面积问题命题点1.求三角形的面积2.利用面积求边和角 例3(1)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积是()A3 B. C. D3解析：c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcosa2b2ab.由得ab60，即ab6.SABCabsin C6.答案：C(2)(2016高考浙江卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2acos B.(1)证明：A2B；(2)若ABC的面积S，求角
10、A的大小解：(1)证明：由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是sin Bsin(AB)又A，B(0，)，故0AB，所以，B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)由S得absin C，故有sin Bsin Csin 2Bsin Bcos B，因为sin B0，所以sin Ccos B.又B，C(0，)，所以CB.当BC时，A；当CB时，A.综上，A或A.方法引航在解决三角形问题中，面积公式Sabsin Cbcsin Aacsin B最常用，因为公式中既有
11、边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.1已知ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A，b2acos B，c1，则ABC的面积等于()A. B. C. D.解析：选B.由正弦定理得sin B2sin Acos B，故tan B2sin A2sin.又B(0，)，所以B.又AB，则ABC是正三角形，所以SABCbcsin A11.2设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，ABC的面积为，求cos A与a的值解：由三角形面积公式，得31sin A，故sin A.因为sin2Acos2A1，所以cos A .当cos A时，由余弦定理得a2b2c22bcc
12、os A32122138，所以a2.当cos A时，由余弦定理得a2b2c22bccos A321221312，所以a2.综上，cos A，a2或cos A，a2.规范答题解三角形的规范答题典例(本小题满分12分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B，tan.(1)求角C；(2)若bc，求ABC的面积解(1)B，0A，A.tan，A，A.C.(2)sin B，sin C，bc.bc，b，c.sin Asin(BC).SABCbcsin A.规范建议(1)先利用切函数求出角A；(2)求出sin B及sin C的值；(3)再求b及c的值；(4)求sin A，直接利用sin；(5)求SA
13、BC时，要有代入过程高考真题体验1(2016高考全国丙卷)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cos A()A. B. C D解析：选C.设ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得acsinc，则ac.在ABC中，由余弦定理可得b2a2c2acc2c23c2c2，则bc.由余弦定理，可得cos A，故选C.2(2014高考课标卷)钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC()A5 B. C2 D1解析：选B.SABCABBCsin B1sin B，sin B，B45或135.若B45，则由余弦定理得AC1，ABC为直角三角形，不符合题意，因此B135，由余弦定理得AC2A
14、B2BC22ABBCcos B12215，AC.故选B.3(2014高考课标卷)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_解析：因为a2，所以(2b)(sin Asin B)(cb)sin C可化为(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，由正弦定理可得(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，由余弦定理可得cos A，又0A，故A.因为cos A，所以bc4，当且仅当bc时取等号由三角形面积公式知SABCbcsin Abcbc，故ABC面积的最大值为.答案：4(2016高考全国甲卷)
15、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_.解析：法一：因为cos A，cos C，所以sin A，sin C，从而sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得b.法二：因为cos A，cos C，所以sin A，sin C，从而cos Bcos(AC)cos Acos Csin Asin C.由正弦定理，得c.由余弦定理b2a2c22accos B，得b.答案：5(2016高考全国乙卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积
16、为，求ABC的周长解：(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，2cos Csin(AB)sin C.故2sin Ccos Csin C.可得cos C，所以C.(2)由已知，得absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得，a2b22abcos C7.故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为5.课时规范训练A组基础演练1在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin Bb，则角A等于()A. B. C. D.解析：选D.在ABC中，利用正弦定理得2sin Asin Bsin B，sin A.又A为锐角，A.
17、2(2016高考天津卷)在ABC中，若AB，BC3C120，则AC()A1 B2C3 D4解析：选A.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a3，c，C120，由余弦定理得139b23b，解得b1，即AC1.3在ABC，已知A45，AB，BC2，则C等于()A30 B60 C120 D30或150解析：选A.在ABC中，sin C，又ABBC，CA，故C30.4(2016高考山东卷)ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知bc，a22b2(1sin A)，则A()A. B. C. D.解析：选C.由余弦定理得a2b2c22bccos A2b22b2cos A，所以2b2(
18、1sin A)2b2(1cos A)，所以sin Acos A，即tan A1，又0A，所以A.5在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2asin B，则A()A30 B45 C60 D75解析：选A.因为在锐角ABC中，b2asin B，由正弦定理得，sin B2sin Asin B，所以sin A，又0A，所以A30，故选A.6(2016高考北京卷)在ABC中，A，ac，则_.解析：ac，sin Asin C，A，sin A，sin C，又C必为锐角，C，ABC，B，BC，bc，1.答案：17设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，cos C，3sin A
19、2sin B，则c_.解析：3sin A2sin B，3a2b.又a2，b3.由余弦定理可知c2a2b22abcos C，c2223222316，c4.答案：48在ABC中，A60，AC2，BC，则AB等于_解析：由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcos 60，即()2AB2222AB2cos 60，解得AB1.答案：19已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sin Asin C.(1)若ab，求cos B；(2)设B90，且a，求ABC的面积解：(1)由题设及正弦定理可得b22ac.又ab，可得b2c，a2c.由余弦定理可得cos B.(2)由(1)知b22ac
20、.因为B90，由勾股定理得a2c2b2.故a2c22ac，得ca.所以ABC的面积为1.10ABC中，D是BC边上的点，AD平分BAC，BD2DC.(1)求；(2)若BAC60，求B.解：(1)由正弦定理得，.因为AD平分BAC，BD2DC，所以.(2)因为C180(BACB)，BAC60，所以sinCsin(BACB)cosBsinB.由(1)知2sinBsinC，所以tanB，即B30.B组能力突破1ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若cos A，则ABC为()A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形解析：选A.依题意得cos A，sin Csin Bcos A
21、，所以sin(AB)sin Bcos A，即sin Bcos Acos Bsin Asin Bcos A0，所以cos Bsin A0.又sin A0，于是有cos B0，B为钝角，ABC是钝角三角形2在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a2b，则的值为()A. B.C1 D.解析：选D.由正弦定理可得.3在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，S表示ABC的面积，若acos Bbcos Acsin C，S(b2c2a2)，则角B等于()A90 B60 C45 D30解析：选C.由正弦定理可得sin Acos Bsin Bcos Asin Csin C，即sin(
22、AB)sin Csin C，因为sin(AB)sin C，所以sin C1，则C90，Sbcsin A，b2c2a22bccos A，代入已知可得，bcsin A2bccos A，所以tan A1，A45，则B45.4在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin Bsin Bsin Ccos 2B1.若C，则_.解析：sin Asin Bsin Bsin Ccos 2B1，sin Asin Bsin Bsin C2sin2B.由正弦定理可得abbc2b2，即ac2b，c2ba，C，由余弦定理可得(2ba)2a2b22abcos，可得5a3b，.答案：5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A，bsincsina.(1)求证：BC；(2)若a，求ABC的面积解：(1)证明：由bsincsina，应用正弦定理，得sin Bsinsin Csinsin A，sin Bsin C，整理得sin Bcos Ccos Bsin C1，即sin(BC)1.由于0B，C，从而BC.(2)BCA，因此B，C.由a，A，得b2sin，c2sin，所以ABC的面积Sbcsin Asinsincossin.专心-专注-专业