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1、精选优质文档-倾情为你奉上引言在数学分析中，极限的概念占有主要的低位并以各种形式出现而贯穿全部内容,同时极限概念与方法是近代微积分的基础. 因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环.本文主要对一元函数极限定义和它的求解方法进行了归纳总结,并在具体求解方法中就其中要注意的细节和技巧做了说明, 以便于我们了解函数的各种极限以及对各种极限进行计算.求函数极限的方法较多,但每种方法都有其局限性, 都不是万能的, 对某个具体求极限的问题,我们应该选择合适的方法. 一、函数极限概念 定义1 设为定义在上的函数，为定数.若对任给的0，存在正数（），使得当时有 ，则称函数当趋于+时以为极限，记
2、作 或 定义2 （函数极限的-定义）设函数在点 的某个空心邻域（；）内有定义，为定数。若对任给的0，存在正数（），使得当0时有，则称函数当趋于时以为极限，记作 或. 定理1 设函数在（或）内有定义，为实数。若对任给的，存在正数，使得当（或）时有 ，则称数为函数当趋于（或）时的右（左）极限，记作 或. 定理2（唯一性）若极限存在，则此极限是唯一的. 定理3（局部有界性）若存在，则在的某空心邻域内有界. 定理4（局部保号性）（或0），则对任何正数（或0，=，则当时有，=.所以有. 例2 用极限的定义证明 . 证明 由于, , 因此 于是, 对任给的, 取则当时, 有 注 用极限的定义时, 只需要证
3、明存在, 故求解的关键在于不等式的建立. 在求解的过程中往往采用放大、缩小等技巧, 但不能把含有的因子移到不等式的另一边再放大, 而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大, 有时还需加入一些限制条件, 限制条件必须和所求的(或)一致, 最后结合在一起考虑. 2 利用极限的运算法则 定理6（四则运算法则） 若极限都存在，则函数，当时极限也存在，且； 例3 求, 其中. 解 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限,原式 例4 求. 解 原式 . 注1 对于和、差、积、商形式的函数求极限, 可以采用极限运算法则, 使用时需要先对函数做某些恒等变换或化简, 变换的方法通常有分式
4、的通分、约分、分解因式、分子分母有理化、三角函数的恒等变化、拆项消去法、比较最高次幂法等.注2 运用极限法则时, 必须注意只有各项极限都存在(对商, 还要分母极限不为零)时才能适用.3利用迫敛性（夹逼准则） 定理7 （迫敛性），且在某内有 ，则 例5 求下列函数的极限.(1) ；(2) . 解 (1)因为-1时，于是 ,又因为 ，由迫敛性得 （2）因为，又因为 ，又迫敛性得 =0. 例6 求. 解 当时, 有 , 从而 ,由夹逼准则得 ,所以 . 注1 迫敛性（夹逼准则）多适用于所考虑的函数比较容易适度放大或缩小, 而且放大和缩小的函数是容易求得相同的极限. 基本思想是把要求解的极限转化为求放
5、大或缩小的函数或数列的极限.注2 利用夹逼准则求函数极限的关键： （1）构造函数, , 使； （2）, 由此可得.4利用两个重要极限 两个重要极限:（1)； (2).根据复合函数的极限运算法则, 可将以上两个公式进行推广: (1) ()； (2) . 例7 求下列函数的极限 （1） （2） . 解（1）令 ， (2) 例8 求下列函数的极限 （1） （2） . 解（1）. （2） = .5利用无穷小的性质和等价无穷小代换 定理8 设函数在内有定义, 且有 . (1) 若, 则； (2) 若, 则. 性质1 有限个无穷小量的代数和为无穷小量； 性质2 有限个无穷小量的乘积为无穷小量； 性质3 常
6、数与无穷小量的乘积是无穷小量. 定理9 设,均为无穷小, 且, 且存在,则 . 例9 求极限 . 解 因为 所以 =. 例10 计算. 解 由于 ,而 , , , 故有 . 例 计算 . 解 因为 且 .由定理得， . 注1 对于分子或分母中的两个无穷小之差不能直接用无穷小代换. 注2 常用等价代换公式: 当时, , , , , 等.在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换,无穷小等价替换可以很好的简化解题.6.利用恒等变形法 在求函数极限时，利用简单的恒等变形可使极限易于计算，恒等变形的手段有约分法有和有理化法.（1）约分法 适用于计算型函数极限，如果所求函数的分子分母都是整式且有公因子（特
7、别是零因子）时，可通过约简式计算极限值. 例12 计算的值（为正整数）. 解 原式= = =.注 要首先将分子分母因式分解，找到公因子（特别是零因子），接着即可约去公因子，求函数极限.（2）有理化法 在求解存在根号的函数极限时，通过选择分子或分母，或分子分母同时有理化约去零因子，即可转化为一般的极限问题. 例13 计算： （其中）. 解 原式= = = =注 此题是通过分子有理化来简化运算，在具体解题时根据简便原则进行选择何种方式的有理化.7. 利用洛必达法则 （1）型不定式极限 定理10 若函数和满足： () ； () 在点的某空心邻域内两者都可导, 且；() (可为实数, 也可为), 则
8、.（2）型不定式极限 定理 11 若函数和满足： () ； () 在点的某空心邻域内两者都可导, 且； () (可为实数,也可为),则 . 注 洛必达法则是求两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限的, 在同一运算过程中可连续使用, 直到求出所求极限. 但是, 对于其他不定式的极限（如 等类型）如果无法判断其极限状态, 则洛必达法则失败, 但只需经过简单变换, 它们一般可以化为型和型的极限. 例 12 计算：（1） （2） ; （3） . 解 （1）这是一个型的不定式极限, 直接应用洛必达法则得: . （2）这是一个型的不定式极限, 用恒等变形将它转化 为型不定式极限, 并应用洛必达法则得到 .
9、（3）这是个.类似地先求其对数的极限（）：于是有 =.注1 要注意条件，也即是说，在没有化为时不可求导.注2 应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数.注3 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误.8.利用泰勒展开式 泰勒展开式：若在点有直到阶连续导数,那么 对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛必达法则更为方便，下列为常用的展开式： (1) (2) (3) (4) (5) (6)上述展开式中的符号都有: 例13 计算 . 解 利用泰勒公式求解 因而求得 . 9.利用拉格朗日中值
10、定理 定理12 若函数满足如下条件： (1)在闭区间上连续;(2)在内可导;则在内至少存在一点,使得此式变形可为: 例14 求. 解 令 对它应用中值定理得 即 连续,从而有 结论 求解函数极限时，不同的函数类型所采用的技巧是各不相同的.对同一题也可能有多种求法，有难有易，有时甚至需要结合上述各种方法，所以我们必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法.这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果.这就要求我们要吃透其精髓，明了其中的道理，体会出做题的窍门.达到这样的境界非一日之功，必须要多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在做题时才可能得心应手.从上述的介绍中可以看出
11、求极限的方法不拘一格， 我们应具体问题具体分析,不能机械地用某种方法，对具体题目要具体分析，有时解题时可多种方法相结合，要学会灵活运用.参考文献：1 华东师范大学数学系. 数学分析M.第三版. 北京: 高等教育出版社, 2001.2 彭辉. 高等数学辅导M. 北京: 高等教育出版社, 2003.3 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法M. 北京: 高等教育出版社, 1995.4 丁家泰. 微积分解题方法M. 北京: 北京师范大学出版社, 1981.5 刘三阳. 高等数学典型题解M. 西安: 西北工业大学出版社, 2003.6 吉米多维奇. 数学分析习题集解题M. 济南: 山东科学技术出版社,
12、1999.7 钱志良. 谈极限的求法J. 常州信息职业技术学院学报，2003, 4(17):24-26. 8 张敏捷. 函数极限的几种特殊求法J. 黄石理工学院学报, 2008, 4(24):56-58. 9 程鹏, 张洪瑞, 李占现. 求函数极限的方法J. 河南科技学院学报, 2008, 9(36):133-134. 10 Rudin W. Principle of Mathematical AnalysisM. New York: John Pearson Edution, 1990.致谢在本次论文的撰写中，我得到了崇金凤老师的精心指导，不管是从开始定方向还是在查资料准备的过程中，一直都耐心地给予我指导和意见，使我在总结学业及撰写论文方面都有了较大提高；同时也显示了老师高度的敬业精神和责任感.在此，我对崇金凤教授表示诚挚的感谢以及真心的祝福. 四年大学生活即将结束，回顾几年的历程，老师们给了我们很多指导和帮助。他们严谨的治学，优良的作风和敬业的态度，为我们树立了为人师表的典范.在此，我对信息学院的老师表示感谢，祝你们身体健康，工作顺利！最后，我要向百忙之中抽时间对本文进行审阅，评议和参与本人论文答辩的各位老师表示感谢.专心-专注-专业