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1、精选优质文档-倾情为你奉上序言极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题。数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限。两类极限的本质上是相同的，在形式上数列界限是函数极限的特例。因此，本文只就函数极限进行讨论。函数极限运算是高等数学的一个重要的基本运算，一部分函数的极限可以通过直接或间接的运用“极限四则运算法则”来求解，而另一部分函数极限需要通过特殊方法解决。求函数极限的方法较多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能的。对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简便的方法。在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理以及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧。本文给出了十二
2、种求极限的方法，每种方法都是以定理或简述开头，然后以例题来全面展示具体的求法。下面我们就根据函数的特点分类进行讨论。一、函数极限的定义定义一：若当x无限变大时，恒有|f(x)-a|，其中是可以任意小的正数，则称当x趋向无穷大时，函数f（x）趋向于a，记作f(x)=a或f(x)a(x+)。定义二：若当x无限接近时，恒有|f(x)-a|，其中是可以任意小的正数，则称当x趋向时，函数f（x）趋向于a，记作f(x)=a或f(x) a(x-)。二、函数极限的求法下面我们以相关的概念、定理及公式为依据，解决常见函数极限的求解方法：1、 直接代入法适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为。例1：求分析：由
3、于(2+x-5)=2+x-5=2+2-5=5,（3x+1）=3x+1=32+1=7所以采用直接代入法。解：原式=2、利用极限的四则运算法则求极限这是求极限的基本方法，主要应用函数的和、差、积、商的极限法则及若干基本函数的极限结果进行极限的计算，为此有事往往要对函数作一些变形。定理 若 f(x)=A g（x）=B（1）f(x)g(x)= f(x) g(x)=A+B (2) f(x)g(x)= f(x) g(x)=AB (3)若B0 则： = (4) Cf(x)=Cf(x)=CA （C为常数）上述性质对于x，x+，x-时也同样成立例2：求解： =3、利用极限定义求解 函数极限-定义：=A: 当0|
4、x-|时，|f（x）- A |=A: 当-x-0时， |f（x）- A |=A: 当0 x-时，|f（x）- A |M时，|f（x）- A |M时，|f（x）- A |当xG 例3：用极限定义证明：=1证：由= = 取= 则当0|x-2|时，就有 0，其极限f(x)未必大于0，例如，f（x）=显然f(x)=0.5、利用无穷大量与无穷小量的关系求解例5：求解：因为-4=0，5x=10，所以我们可以求出=0 这就是说，当x2时，为无穷小量，由于恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量，所以为x2时的无穷大量，即=6、利用初等函数的连续性质求解（适用于求函数在连续点处的极限）利用初等函数的连续性求极限主要
5、应用下列结果：（1） 若f(x)在处连续，则 f(x)= f()；（2） 若（x）=A，y=f(u)在u=A处连续则f(x)=f(A);（3） 若f(x)=A0, g(x)=B,则=例6：（7x-6）解：因为y=（7x-6）是初等函数，在定义域（，+）内是连续的，所以在x=1处也连续，根据连续的定义，极限值等于函数值，所以（7x-6）=（7-6）=07、利用约零因子法求解例7：求分析 所给两个函数中,分子、分母的极限均是0,不能直接使用法则四,故采用消去零因子法. 解： 原式= (因式分解) = (约分消去零因子 ) = (应用法则) = 当分子和分母的极限同时为零时，可以考虑约去分子、分母的
6、零因子（若不方便约分，可以考虑用重要极限或等价无穷小量代换或洛比达法则求解）。想例题这种含根式型（或差式-型）求极限时，一下看不出零因子，常常需要分子、分母有理化（或通分），然后再因式分解约去零因子进行求解。8、利用等价无穷小量代换求解当x0时，有（1）sinxx，（2）tanxx，(3) arcsinxx，(4) arctanxx，(5) x，(6) ln(x+1) x，例8：求解：因为当x0时，1-cos2x， 所以=2（注意：在利用等价无穷小做代换时，一般只是在以乘积形式出现时才进行互换，而以和、差出现时，不要轻易代换，否则可能出现改变了它的无穷小量之比的“阶数”之情况。）9、利用两个重
7、要极限公式及其推导公式来解（1）第一个重要极限：=1：其变形为：=1（2）第二个重要极限：=e：其变形为：=e或=e：其变形为：=e例9：求解：先判断类型，是“”型，含三角函数（sin0），且不能消零因子，现在我们利用第一个重要极限求解。解：原式=1=10、运用洛比达法则求解（适用于未定式极限） 洛比达法则是求“”型和“”未定式极限的有效方法，但是非未定式极限却不能求。（0-，-，型未定式可以转化为“”型和“”未定式）定理：若（i） f(x)=0，g（x）=0（ii）f与g在的某空心领域内可导，且g（x）0（iii）=A（A可为实数，也可为或），则=A此定理是对“”型而言，对于函数极限的其他类
8、型，均有类似的法则。例10： （型）解：原式=注意：（1）并不是类似于“”型和“”型的极限都能用洛比达法则，利用洛比达法则求解，一定要先验证是否满足洛比达法则求解。例如：解：原式=，但是（1+cosx）极限不存在，所以不能再用洛比达法则求解。正确解法为原式=（1+cosx）=1（2）应用洛比达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。（3）要及时简化极限符号后面的分式，在化简以后检查时候仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛比达法则，否则会引起错误。（4）当不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。（5）将等价无穷小量代换等求极限的方法与洛比达
9、法则结合起来使用，可简化计算。11、利用左、右极限讨论分段函数在其分段点处的极限定理：函数极限f（x）存在且等于A的充分必要条件是左极限f（x）及右极限f（x）都存在且都等于A。即有： f（x）=f（x）=f（x）=A例11：设 讨论 在点 处的极限是否存在. 分析 所给函数是分段函数, 是分段点, 要知 是否存在,必须从极限存在的充要条件入手. 解 因为 f(x)= (x-1)= - 1 f(x)= (x+1)=1 f(x) f(x) 所以 f(x)不存在. 注1： 因为 从 的左边趋于 ,则 ,故 . 注2： 因为 从 的右边趋于 ,则 ,故 . 此题也可以转化为讨论函数f(x)在x=0处
10、的连续性问题。12、利用函数极限的迫敛性求解迫敛性（两边夹）若f（x）=g(x)=A,且在某内有f(x)h(x) g(x),则h(x)=A例12：求x解：当x0时有1-x x1,故由迫敛性得：x另一方面，当x0时有1x1-x，故由磨练下又可得：x=1综上，可求得x=1参考文献1李德才，张文军，骆汝九.高等数学（第一版）【M】.北京：中国大地出版社.2004.13-47.872华东师范大学数学系 数学分析（第三版）【M】.上海：高等教育出版社.2001.43-85.134-1383同济大学应用数学系.高等数学（第三版）【M】.上海：高等教育出版社.2003.35-404赵树嫄.微积分（第二版）【M】.北京：中国人民大学出版社.1987.54-1025贾定晖.吉米多维奇数学分析习题解【M】.山东：山东科技出版.1980.41-506马敏.冯梅.经济应用数学（第一版）【M】.苏州：苏州大学出版社.2007.8-247高等数学解题方法汇编（第二版）【M】.韩仁元.华南理工大学出版社.2006.35-46专心-专注-专业