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1、-函数、极限、连续重要概念公式定理-第 9 页一、函数、极限、连续重要概念公式定理（一）数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列,如果存在常数,对任给,存在正整数,使当时,恒有,则称是数列的当趋于无穷时的极限,或称数列收敛于,记为.若的极限不存在,则称数列发散.收敛数列的性质：(1)唯一性：若数列收敛,即,则极限是唯一的(2)有界性：若,则数列有界,即存在,使得对均有.(3)局部保号性：设,且,则存在正整数,当时,有.(4)若数列收敛于,则它的任何子列也收敛于极限.（二）函数极限的定义名称表达式任给存在当时恒有当时,以为极限当时, 以为极限当时, 以为右极限当时, 以为左极限当时
2、, 以为极限当时, 以为极限（三）函数极限存在判别法 (了解记忆)1海涅定理：对任意一串,都有 2.充要条件：(1); (2).3.柯西准则：对任意给定的,存在,当,时,有.4.夹逼准则：若存在,当时,有,且则.5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的,有(或),且存在常数,使(或),则存在.（四）无穷小量的比较 (重点记忆)1.无穷小量阶的定义,设.(1)若,则称是比高阶的无穷小量.(2).(3)是同阶无穷小量.(4),记为.(5)2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考)当时,（五）重要定理 (必记内容,理解掌握)定理1 .定理2 .定理3 (保号定理)：,当定理4 单调有界准则：单调
3、增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限.定理5 (夹逼定理)：设在的领域内,恒有,且则定理6 无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量;(2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量;(3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量定理8 极限的运算法则：设,则(1)(2)(3)定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限定理10 初等函数在其定义域的区间内连续定理11 设连续,则也连续（六）重要公式 (重点记忆内容,应考必备)(1)(2).(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形
4、式：设,且则有,)(3)(4)函数在处连续.(5)当时,以下各函数趋于的速度(6)几个常用极限（七）连续函数的概念1. 在处连续,需满足三个条件：在点的某个领域内有定义当时的极限存在.2. 在左连续：在内有定义,且.3. 在右连续：在内有定义,且.4. 在内连续：如果在内点点连续5. 在内连续：如果在内连续,且左端点处右连续,右端点处左连续（八）连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆内容)1有界性定理：设函数在上连续,则在上有界,即常数,对任意的,恒有2最大最小值定理：设函数在上连续,则在上至少取得最大值与最小值各一次,即使得：3介值定理：若函数在上连续,是介于与(或最大值与最小值)之间的任一实
5、数,则在上至少一个,使得4零点定理：设函数在上连续,且,则在内至少一个,使得（九）连续函数有关定理1连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数2反函数的连续性：单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续3复合函数的连续性：在点连续,而函数在点连续,则复合函数在点连续4初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数（十）间断点的定义及分类1定义：若在处,不存在,或无定义,或,则称在处间断,称为的间断点2间断点的分类间断点的类型条件例子第一类间断点可去型间断点是的可去型间断点跳跃型间断点是的跳跃型间断点第
6、二类间断点无穷型间断点之一是无穷大是的无穷型间断点振荡型间断点之一不存在且不是无穷大是的振荡型间断点一、函数、极限、连续（一）数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列,如果存在常数,对任给,存在正整数,使当时,恒有,则称是数列的当趋于无穷时的极限,或称数列收敛于,记为.若的极限不存在,则称数列发散.收敛数列的性质：(1)唯一性：若数列收敛,即,则极限是唯一的(2)有界性：若,则数列有界,即存在,使得对均有.(3)局部保号性：设,且,则存在正整数,当时,有.(4)若数列收敛于,则它的任何子列也收敛于极限.（二）函数极限的定义名称表达式任给存在当时恒有当时,以为极限当时, 以为极限当
7、时, 以为右极限当时, 以为左极限当时, 以为极限当时, 以为极限（三）函数极限存在判别法 (了解记忆)1海涅定理：对任意一串,都有 2.充要条件：(1); (2).3.柯西准则：对任意给定的,存在,当,时,有.4.夹逼准则：若存在,当时,有,且则.5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的,有(或),且存在常数,使(或),则存在.（四）无穷小量的比较 (重点记忆)1.无穷小量阶的定义,设.(1)若,则称是比高阶的无穷小量.(2).(3)是同阶无穷小量.(4),记为.(5)2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考)当时,（五）重要定理 (必记内容,理解掌握)定理1 .定理2 .定理3 (保号
8、定理)：,当定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限.定理5 (夹逼定理)：设在的领域内,恒有,且则定理6 无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量;(2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量;(3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量定理8 极限的运算法则：设,则(1)(2)(3)定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限定理10 初等函数在其定义域的区间内连续定理11 设连续,则也连续（六）重要公式 (重点记忆内容,应考必备)(1)(2).(通过
9、变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设,且则有,)(3)(4)函数在处连续.(5)当时,以下各函数趋于的速度(6)几个常用极限（七）连续函数的概念1. 在处连续,需满足三个条件：在点的某个领域内有定义当时的极限存在.2. 在左连续：在内有定义,且.3. 在右连续：在内有定义,且.4. 在内连续：如果在内点点连续5. 在内连续：如果在内连续,且左端点处右连续,右端点处左连续（八）连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆内容)1有界性定理：设函数在上连续,则在上有界,即常数,对任意的,恒有2最大最小值定理：设函数在上连续,则在上至少取得最大值与最小值各一次,即使得：3介值定理：若函数在上连续,是
10、介于与(或最大值与最小值)之间的任一实数,则在上至少一个,使得4零点定理：设函数在上连续,且,则在内至少一个,使得（九）连续函数有关定理1连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数2反函数的连续性：单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续3复合函数的连续性：在点连续,而函数在点连续,则复合函数在点连续4初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数（十）间断点的定义及分类1定义：若在处,不存在,或无定义,或,则称在处间断,称为的间断点2间断点的分类间断点的类型条件例子第一类间断点可去型间断点是的可去型间断点跳跃型间断点是的跳跃型间断点第二类间断点无穷型间断点之一是无穷大是的无穷型间断点振荡型间断点之一不存在且不是无穷大是的振荡型间断点