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1、精选优质文档-倾情为你奉上高考数学总复习：定积分与微积分基本定理知识网络目标认知考试大纲要求：了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。重点：正确计算定积分，利用定积分求面积。难点：正确计算定积分，利用定积分求面积。知识要点梳理知识点一：定积分的概念定积分的定义：如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式，当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分.记作，即，这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.说明：（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可
2、为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：分割；近似代替；求和；取极限.知识点二：定积分的性质（1）（为常数），（2），（3）（其中），（4）利用函数的奇偶性求积分：若函数在区间上是奇函数，则；若函数在区间上是偶函数，则.知识点三：微积分基本定理如果，且在上连续，则,其中叫做的一个原函数.由于也是的原函数，其中c为常数.一般地，原函数在上的改变量简记作.因此，微积分基本定理可以写成形式：.说明：求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.知识点四：定积分的几何意义设函数在区间上连续.在上，当时，定积分在几何上表
3、示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在上，当既取正值又取负值时，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和. 在轴上方的面积积分时取正号，在轴下方的面积积分时，取负号.如图（2）所示.知识点五：应用（一）应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：；2. 如图，由三条直线，轴（即直线）及一条曲线 ()围成的曲边梯形的面积：；3. 如图，由曲线及直线，围成图形的面积公式为：.4.利用定积分求平面图形面积的
4、步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）写出定积分表达式；（4）求出平面图形的面积.（二）利用定积分解决物理问题变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即.变力作功物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功.规律方法指导1.要正确理解定积分的概念，掌握其几何意义，从而解决实际问题；2.要正确计算定积分，需非常熟悉导数的运算。巩固2(原创题)用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是()Af(x)dxB|f(x)dx|Cf(
5、x)dxf(x)dxDf(x)dxf(x)dx解析：选D.由定积分的几何意义知选项D正确3设函数f(x)xmax的导函数f(x)2x1，则f(x)dx的值等于()A. B.C. D.解析：选A.由于f(x)xmax的导函数为f(x)2x1，所以f(x)x2x，于是f(x)dx (x2x)dx.4若等比数列an的首项为，且a4 (12x)dx，则公比等于_解析：本题考查定积分运算及等比数列基本量的求解由已知得a4(xx2)|18，故q327q3.来源:学科网ZXXK答案：35.已知函数f(x)3x22x1，若f(x)dx2f(a)成立，则a_.解析： (3x22x1)dx(x3x2x)| 4，所
6、以2(3a22a1)4，即3a22a10，解得a1或a.答案：1或6设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等的实根，且f(x)2x2.(1)求yf(x)的表达式；(2)求yf(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积解：(1)设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb.又f(x)2x2，所以a1，b2，即f(x)x22xc.又方程f(x)0有两个相等实根，所以44c0，即c1.故f(x)x22x1.(2)依题意，所求面积为S(x22x1)dx(x3x2x)|.练习1已知f(x)为偶函数且 f(x)dx8，则f(x)dx等于()A0 B4C8 D16来源:学,科,网Z,X,X,K解析
7、：选D.原式f(x)dxf(x)dx，原函数为偶函数，来源:Z#xx#k.Com在y轴两侧的图象对称对应的面积相等故选D.2函数y(costt22)dt(x0)()A是奇函数 B是偶函数C非奇非偶函数 D以上都不正确解析：选A.y|2sinx4x，为奇函数3一物体的下落速度为v(t)9.8t6.5(单位：米/秒)，则下落后第二个4秒内经过的路程是()A249米 B261.2米C310.3米 D450米解析：选B.所求路程为(9.8t6.5)dt(4.9t26.5t)|4.9646.584.9166.54313.65278.426261.2(米)4由直线x，x2，曲线y及x轴所围成图形的面积为(
8、)A. B.C.ln2 D2ln25若ax2dx，bx3dx，csinxdx，则a、b、c的大小关系是()Aacb BabcCcba Dcab解析：选D.ax2dxx3|，bx3dxx4|4，csinxdxcosx|1cos2，因为11cos22，所以cab.6函数f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为()A. B1C2 D.解析：选A.作出图象可知：S1(x1)dx cosxdx 来源:Z.xx.k.Com8(2x1)dx8，则a_.解析： (2x1)dx(x2x)|a2a(a)2(a)a2aa2a2a8，a4.答案：49如果f(x)dx1，f(x)dx1，则f(x)dx_.解析：f(
9、x)dxf(x)dxf(x)dx，f(x)dxf(x)dxf(x)dx112.答案：210.设f(x)求f(x)dx.来源:学科网ZXXK解：f(x)dxf(x)dxf(x)dx (x1)dx (x26)dx(x2x)|(x36x)|(1)6.11如图，设点P从原点沿曲线yx2向点A(2,4)移动，记直线OP、曲线yx2及直线x2所围成的面积分别记为S1，S2，若S1S2，求点P的坐标解：设直线OP的方程为ykx，P点的坐标为(x，y)，则(kxx2)dx(x2kx)dx，即(kx2x3)|(x3kx2)|，解得kx2x32k(x3kx2)，解得k，即直线OP的方程为yx，所以点P的坐标为(，)12已知f(x)为二次函数，且f(1)2，f(0)0，f(x)dx 2.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在1,1上的最大值与最小值解：(1)设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb.由f(1)2，f(0)0，得，即.f(x)ax2(2a)又f(x)dx ax2(2a)dxax3(2a)x|2a2.a6，c4.从而f(x)6x24.(2)f(x)6x24，x1,1，所以当x0时，f(x)min4；当x1时，f(x)max2.专心-专注-专业