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1、第二章连续时间傅里叶变换1 周期信号的频谱分析 傅里叶级数FS (1)狄义赫利条件： 在同一个周期1T内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积dttfT1)(。(2)傅里叶级数：正交函数线性组合。正交函数集可以是三角函数集:sin,cos, 111Nntntn或复指数函数集:1Znetjn，函数周期为T1，角频率为11122Tf。(3)任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。(4)三角形式的FS ：(i)展开式：1110)sin()(nnntnbtconaatf(ii)系数计算公式：(a) 直流分量：1)(110TdttfTa(b)n次谐波余弦分量：Nntdtntf
2、TaTn,cos)(2111(c)n次谐波的正弦分量：NntdtntfTbTn1,sin)(211(iii) 系数na和nb统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。(iv)称11/1 Tf为信号的基波、基频；1nf为信号的 n 次谐波。(v)合并同频率的正余弦项得：(a)110)cos()(nnntncctf(b)110)sin()(nnntnddtfn和n分别对应合并后n次谐波的余弦项和正弦项的初相位。(vi)傅里叶系数之间的关系：(a)000dca(b)nnnnndcasincos(c)nnnnnndcbcossin(d)000adc(e)2222nnnnbadc(f)nnnaba
3、rctg(g)nnnbaarctg(5)复指数形式的FS ：(i)展开式：ntjnneFtf1)(ii)系数计算：ZndtetfTFTtjnn,)(1111精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - (iii)系数之间的关系：0),(210,0njbanaFnnn*,nnnnFFFF)0(,21212122nbadcFFnnnnnn)0(,ndcFFnnnnnnnaFFjbFFnnn/)0(4422222nFFFbadcnnnnnnn(iv
4、)nF关于n是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。(v)正负n (n非零 ) 处的nF的幅度和等于nc或nd的幅度。(6)奇偶信号的FS ：(i) 偶信号的 FS ：111cos)(2TntdtntfTa；0sin)(2111TntdtntfTb；nnnadcnnnnnFajbaF22(nF实，偶对称 ) ；0n；2n(ii) 偶的周期信号的FS系数只有直流项和余弦项。(iii)奇信号的FS：00naa；111sin)(2TntdtntfTb；nnnnjFbdc2；nnnjbFF21(nF纯虚，奇对称 ) ；2n；0n(iv) 奇的周期信号的FS系数只有正弦项。(7)周期信号的傅里叶频谱：(i
5、) 称nF为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或FS谱。(ii)称nF为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称FS幅度谱。(iii)称n为傅里叶复数相位频谱，简称FS相位谱。(iv)周期信号的FS频谱仅在一些离散点角频率1n( 或频率1nf) 上有值。(v)FS 也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为11/2T。(vi)FS谱、 FS 幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线，分别表示FS频谱的值、幅度和相位(vii)连接谱线顶点的虚曲线称为包络线，反映了各谐波处FS频谱、幅度谱和相位谱随分量的变化情况。(viii)称nc为单边谱，表示了信号在谐波处的实
6、际分量大小。(ix)称nF为双边谱，其负频率项在实际中是不存在的。正负频率的频谱幅度相加，才是实际幅度。(8)周期矩形脉冲序列的FS谱的特点：(i) 谱线包络线为Sa函数；(ii)谱线包络线过零点：( 其中112T为谱线间隔 ) ：kTn1，或kn21，0,kZk即当/21kn时，0nnnFca。(iii)在频域，能量集中在第一个过零点之内。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - (iv)带宽/2或/1f只与矩形脉冲的脉宽有关，而与脉高
7、和周期均无关。( 定义/20为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简称带宽) (9) 周期信号的功率：nnFtfP2)(10) 帕斯瓦尔方程：1)(121TdttfT2nnF2 非周期信号的频谱分析傅里叶变换 (FT) (1)信号f (t) 的傅里叶变换：)()()(tfFdtetfFtj是信号)(tf的频谱密度函数或FT频谱，简称为频谱( 函数 ) 。(2)频谱密度函数)(F的逆傅里叶变换为：)(?)(21)(1FFdeFtftj(3)称tje为 FT 的变换核函数，tje为 IFT 的变换核函数。(4)FT 与 IFT 具有唯一性。如果两个函数的FT或 IFT 相等，则这两个函数必然相等。(5)F
8、T 具有可逆性。如果)()(FtfF，则必有)()(1tfFF；反之亦然。(6)信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成)()()(jeFF(i)称)(F为幅度频谱密度函数，简称幅度谱，表示信号的幅度密度随频率变化的幅频特性；(ii)称)()(FArg为相位频谱密度函数，简称相位谱函数，表示信号的相位随频率变化的相频特性。(7) FT频谱可分解为实部和虚部：)()()(irjFFF)()(arctan)(, )()()(22riirFFFFF)(sin)()(,)(cos)()(FFFFir(8) FT存在的充分条件：时域信号)(tf绝对可积，即dttf)(。注意：这不必要条件。有一些并非绝对可
9、积的信号也有FT。(9)FT 及 IFT 在赫兹域的定义：dtetffFftj2)()(；dfefFtfftj2)()(10) 比较 FS和 FT：FS FT 分析对象周期信号非周期信号频率定义域离散频率，谐波频率处连续频率，整个频率轴函数值意义频率分量的数值频率分量的密度值3 典型非周期信号的FT 频谱(1)单边指数信号：)0( )()(atuetfatjadtedteedtetfFtjatjattj1)()(0)(0幅度谱：221)(aF精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10
10、 页 - - - - - - - - - - 相位谱：aarctgajaArgFArg22)()(单边指数信号及其幅度谱、相位谱如图1所示。|F()| 1/a () /2 - /2 0 0 t 0 1 f (t) (a) (b) (c) 图 1 (a)单边指数信号 (b) 幅度谱 (c)相位谱(2) 偶双边指数信号：)0()(aetfta00)()(dteedteedtetfFtjattjattj220)(0)(211aajajadtedtetjatja，为实偶函数。幅度谱：222)(aaF相位谱：0)(偶双边指数信号及其频谱如图2 所示。F() 2/a0 t 0 1 f (t ) ( a)
11、(b) 图 2 (a) 偶双边指数信号 (b) 频谱(3) 矩形脉冲信号：)()(tEGtf ( 脉宽为、脉高为E)2/2/2/2/cos)()(tdtEdtEedtetfFtjtj2sin2/2/SaEtE，为实函数。幅度谱：2)(SaEF相位谱：ZkFkkFkk)0)()1(4)12(2,) 0)() 12(24,0)(对应对应矩形脉冲信号及其频谱如图3 所示。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - F( )E =矩形脉冲面积0 2
12、46- /2 0 /2tf (t)=)(tEGE (a)(b)图 3 (a) 矩形脉冲信号 (b) 频谱矩形脉冲FT的特点：(i) FT为Sa函数，原点处函数值等于矩形脉冲的面积；(ii) FT的过零点位置为)0(/2kk；(iii)频域的能量集中在第一个过零点区间/2,/2之内(iv) 带宽为/2B或/1fB，只与脉宽有关，与脉高E无关。信号等效脉宽：)0(/)0(fF信号等效带宽：1fBF() 0 t 0 f (t) (a) (b) B图 4 (a) 信号的等效脉宽 (b) 等效带宽(4) 符号函数： 不满足绝对可积条件，但存在FT。jdtetSgnFtj2)()(幅度谱：2)(F相位谱：
13、0,2/0,2/)(符号函数及其频谱如图5 所示。|F( )|-aa(b)Sgn(t)10 t-1(a)图 5 (a)符号函数 (b) 频谱(5) 冲激信号：EEedtetEtEFjtj0)()(均匀谱 / 白色谱：频谱在任何频率处的密度都是均匀的。强度为E的冲激函数的频谱是均匀谱，密度就是冲激的强度。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 2)(1EEF单位冲激信号及直流信号的频谱函数总结：FT 定义EtEF)(FT可逆性)(1EEF
14、)(2 EEFFT可逆性2)(1EEFIFT 定义(6) 阶跃信号： 不满足绝对可积条件，但存在FT jF1)()(在0处有一个冲激，该冲激来自)(tu中的直流分量。单位阶跃信号及其幅度谱如图6 所示。|F()|( )0 u(t)10 t图 6 单位阶跃函数及其幅度谱4 FT 的性质(1)线性性：nnnnnntfFatfaF)()(线性性包括：齐次性)()(tfaFtafF；叠加性)()()()(2121tfFtfFtftfF。(2)奇偶虚实性：偶偶奇奇实偶实偶(FT 可变为余弦变换) 实奇虚奇(FT 可变为正弦变换) 实信号的FT：(实信号可分解为：实偶+实奇 ) 实部是偶函数，虚部是奇函数
15、：实实偶 +j 实奇偶共扼对称：)()(*FF幅度谱为偶函数，相位谱为奇函数：实实偶 EXP(实奇 )虚信号的FT 具有奇共扼对称性：)()(*FF偶共轭对称或奇共轭对称的函数满足幅度对称：)()(FF。实信号或虚信号的FT幅度谱偶对称，幅度谱函数是偶函数。(3)反褶和共轭性：时域频域原信号f(t) F() 反褶f(-t) F(-) 共扼f *(t) F*(-) 反褶 +共扼f *(-t) F*() (4)对偶性：傅里叶正逆变换的变换核函数是共轭对称的：tjtjee*；tjtjee*deFtfFFtj)(21)()(1*)(21FFdeggFtj)()(表示按自变量进行傅里叶变换，结果是t的函
16、数。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - IFT 可以通过FT来实现。FT 的对偶特性：)(2)(ftFF若)(tf为偶函数，则)(2)(ftFF；若)(tf为奇函数，则)(2)(ftFF。(5)尺度变换特性：)0(,1)(aaFaatfF此性质表明：时域压缩对应频域扩展、时域扩展对应频域压缩。(6)时移特性：0)()()(0tjtjetfFeFttfFo时移不影响幅度谱，只在相位谱上叠加一个线性相位。与尺度变换特性综合：)0(,1)
17、(/00aeaFatatfFatj(7) 频移特性：)()(00FetfFtj与尺度变换特性综合：) 0(,10/0aaFeatfaFatj频谱搬移：时域信号乘以一个复指数信号后，频谱被搬移到复指数信号的频率位置处。利用欧拉公式，通过乘以正弦或余弦信号达到频谱搬移目的。(8) 微分特性：时域微分：)()(FjtfdtdF频域微分：)()()(tfjtFddF如果连续运用微分特性，则)()()(FjtfdtdFnnn)()()(tfjtFdFdnnn(9) 积分特性：时域积分：)()0()()()(1FFjdfFt如果)(F在0处有界 ( 或0)0(F) ，则)()()(1FjdfFt频域积分：
18、)(1)() 0()(tfjttfdF(10) 卷积定理：时域卷积定理：)()()()(2121tfFtfFtftfF频域卷积定理：)()(21)()(2121tfFtfFtftfF(11) 时域相关性定理：)()()(2*121tfFtfFtRFff若)(2tf是实偶函数，则)()()(2121FFtRFff。此时，相关性定理与卷积定理一致。自相关的傅里叶变换：2*)()()()(tfFtfFtfFtRFf。即函数的自相关函数与其幅度谱的平方是一对傅里叶变换对）。(12) 帕斯瓦尔定理：dffFdFdttf222)2()(21)(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -
19、 - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 5 周期信号的FT (1) 正余弦信号的FT：)()(2cos000tjtjooeeFtF)()(sin000jtF余弦信号和正弦信号的频谱如图7 所示：tF0costjF0sin( ) ( ) ( ) -0-00 00 0(- ) 图 7 余弦信号和正弦信号的FT (2) 一般周期信号的FT：(i)设周期为1T的周期信号)(tf在第一个周期内的函数为)(0tf， 则)()()()()(*)()()(10101010ttfnTttfnTttfnTtftfTn
20、nn(ii) 周期单位冲激序列的FT：)()()(11111nTntF(a) FT 的对偶性 ()(211netjn) (b) 冲激串 FS为：tjnnnTet11)(c)2/2/11111)(1TTtjnTndtetT11T(d) FT 的线性性(iii)一般周期信号的FT：nTonFtFtfFF)()()()()(1101nnnF)()(1101(iv)(1)(2101101nFTnFFn(v) 关系图：f0 (t) F0()EE - /2 0 /2 t0 2/FnE / T1f (t) 0 2/F() E/1-T1- /2 0 /2 T1t 0 2/FT FS FT 图 8 非周期信号F
21、T与周期信号FS/FT 比较精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 6 抽样信号的FT (1)抽样信号的FT：nsssnFTF)(1)(2)理想抽样前后信号频谱的变化如图9 所示：(3)结论 1：按间隔sT进行冲激串抽样后信号的傅里叶变换，是周期函数，是原函数傅里叶变换的sT分之一按周期ssT/2所进行的周期延拓。(4)结论 2：时域离散频域周期f (t)F () 0 t (a)-c0c)(tTs)(ss(1) (s) -TsTst(b
22、) s0 sfs (t) Fs() F(0)/Ts-TsTst(c) -s-c 0 -cs-TsTst(d) -s -c 0 cs图 9 理想抽样信号的FT 7 抽样定理(1)抽样定理：要保证从信号抽样后的离散时间信号无失真地恢复原始时间连续信号（即抽样不会导致任何信息丢失），必须满足：信号是频带受限的( 信号频率区间有限 ) ；采样率s至少是信号最高频率的两倍。(2)概念 ( 名词) ：抽样周期：进行理想采样的冲激串的周期sT。抽样频率：ssTf/1抽样角频率：ssT/2奈奎斯特率：无失真恢复原信号条件允许的最小抽样率cs2(min)或csff2(min)奈奎斯特间隔：所允许的最大抽样周期c
23、sfT21(max)奈奎斯特频率( 折叠频率 ) ：信号经采样后，采样率的一半2/s或2/sf) 奈奎斯特区间：2/,2/ss或2/,2/ssff(3)性质：在连续信号的抽样满足抽样定理时，奈奎斯特频率2/s是信号频率的上限。(4)从抽样信号恢复原始信号的方法：(i) 理论上：)(2)()(tSatftfcscsnscsscnTtSanTf2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - (ii)工程上：将)(tfs通过截止频率为c、放大倍数为sT的低通滤波器。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -