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1、 高二理科数学周测试题 2015.4一、选择题：(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1、 曲线在(1,1)处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 2、定义运算,则符合条件的复数为（）3、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是（ ）A 假设至少有一个钝角 B假设至少有两个钝角假设没有一个钝角假设没有一个钝角或至少有两个钝角4、曲线与轴以及直线所围图形的面积为（）5、若,则（ ）A B C D6、复数z=,则是（ ）A25 B5 C1 D77、一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步,程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步,然后再后退2步的规律移动如果将机器人放
2、在数轴的原点,面向正的方向在数轴上移动（1步的距离为1个单位长度）令表示第秒时机器人所在位置的坐标,且记,则下列结论中错误的是（） 8、如图是导函数的图象,那么函数在下面哪个区间是减函数A. B. C. D. 9、设,当时,（）10、如果10N的力能使弹簧压缩10cm,为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处,则克服弹力所做的功为（ ） (A)0.28J (B)0.12J (C)0.26J (D)0.18J 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在题中横线上11、12、设= i4 + i5+ i6+ i12 ,= i4 i5i6 i12,则Z1 ,关系为13已知（
3、为常数）,在上有最小值,那么在上的最大值是14关于的不等式的解集为,则复数所对应的点位于复平面内的第_象限15仔细观察下面图形：图1是一个水平摆放的小正方体木块,图2,图3是由这样的小正方体木块叠放而成的,按照这样的规律放下去,至第七个叠放的图形中,小正方体木块总数就是三、解答题：本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤16、（本小题10分）已知等腰梯形的顶点在复平面上对应的复数分别为、,且是坐标原点,求顶点所对应的复数17、（本小题12分） （1）求的单调区间；（2）求函数在上的最值18（本小题12分）给定函数f(x)ax2(a21)x和g(x)x.(1)求证：f(x)
4、总有两个极值点；(2)若f(x)和g(x)有相同的极值点,求a的值19、某集团为获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销经调查,每年投入广告费t(百万元),可增加销售额约为t25t(百万元)(0t3)(1)若该公司将当年的广告费控制在300万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入300万元,分别用于广告促销和技术改造经预测,每投入技术改造费x(百万元),可增加的销售额为x3x23x(百万元)请设计一个资金分配方案,使该公司获得的收益最大(注：收益销售额收入)20、（本小题12分）已知数列的前项和（1） 计算,；（2） 猜想的表达式,并用数学归纳
5、法证明你的结论21设函数（1）当时,求函数的单调区间； （2）令,其图象上任意一点处切线的斜率恒成立,求实数的取值范围。 （3）当时,方程在区间内有唯一实数解,求实数的取值范围。参考答案题号12345678910答案DADBCDBCD11、 12、= 13、 14 二 15、 9116、（本小题10分）已知等腰梯形的顶点在复平面上对应的复数分别为、,且是坐标原点,求顶点所对应的复数解：设由,得,即,舍去17、（本小题12分） （1）求的单调区间；（2）求函数在上的最值解：依题意得,定义域是（1）,令,得或,令,得,由于定义域是,函数的单调增区间是,单调递减区间是（2）令,得,由于,在上的最大值
6、是,最小值是18（本小题12分）解：(1)证明：因为f(x)x22ax(a21)x(a1)x(a1),令f(x)0,解得x1a1,x2a1.当xa1时,f(x)0；当a1xa1时,f(x)0；当xa1时,f(x)0,所以xa1为f(x)的极大值点,xa1为f(x)的极小值点所以f(x)总有两个极值点(2)因为g(x)1.令g(x)0,得x1a,x2a.因为f(x)和g(x)有相同的极值点,且x1a和a1,a1不可能相等,所以当aa1时,a；当aa1时,a.经检验,当a和a时,x1a,x2a都是g(x)的极值点19、（本小题12分）解：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万
7、元),则有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3),所以当t2时,f(t)取得最大值4,即投入2百万元的广告费时,该公司获得的收益最大(2)设用于技术改造的资金为x(百万元),则用于广告促销的资金为(3x)(百万元),由此获得收益是g(x)(百万元),则g(x)(3x)25(3x)3x34x3(0x3),所以g(x)x24.令g(x)0,解得x2(舍去)或x2.又当0x2时,g(x)0；当2x3时,g(x)0.所以当x2时,g(x)取最大值,即将2百万元用于技术改造,1百万元用于广告促销,该公司获得的收益最大20、（本小题12分）已知数列的前项和（1）计算,；（2）猜想的表达式,并用数学归纳法证明你的结论解：（1）依题设可得,；（2）猜想：证明：当时,猜想显然成立假设时,猜想成立,即那么,当时,即又,所以,从而即时,猜想也成立故由和,可知猜想成立21解：（1）依题意,知的定义域为,当时,.2分令,解得或（舍去）,当时,；当时,所以的单调增区间为,减区间为；.4分（2）由题意知,则有在(0,3)上恒成立,所以,当x0=1时,取得最大值,所以；8分（3）当时,由,得,又,所以,要使方程在区间上有唯一实数解,只需有唯一实数解,10分令,由得；,得,在区间上是增函数,在区间上是减函数. ,故 .13分