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1、. .近世代数习题解答第四章 整环里的因子分解1素元、唯一分解1. 证明：不是任何元的真因子。证当时假设那么故矛盾当时，有是单位就是说是它自己的相伴元2. 我们看以下的整环，刚好包含所有可以写成是任意整数，的整数形式的有理数，的哪些个元是单位，哪些个元是素元？证的单位总可以把表为是或奇数，非负整数我们说时，即是单位，反之亦然的素元依然是的限制同上我们要求只有平凡因子满足的是奇素数故而是奇素数是是素元，反之亦然，是刚好包含所有复数整数的整环，证明不是的素元，有没有唯一分解？证的元是单位，当而且只当时，事实上，假设是单位那么即但是一正整数，同样也是正整数，因此，只有反之，假设，那么或这些显然均是单
2、位此外，再没有一对整数满足，所以的单位只有。适合条件的的元一定是素元。事实上，假设那么又由也不是单位假设那么或是单位是的相伴元是单位是的相伴元不管哪种情形，只有平凡因子，因而是素元。的元不是素元。假设那么这样，只可能是当由是单位当由是单位此即中有一是的相伴元现在看的情形可能的情形是显然由知的是素元，故知是素元之积的单一分解均为单位 唯一分解环 证明本节的推论 证本节的推论是；一个唯一分解环的个元在里一定有最大公因子，的两个最大公因子只能查一个单位因子。用数学归纳法证当时，由本节定理知结论正确。假定对个元素来说结论正确。看的情形设有最大公因子为。，的最大公因子为即而又故是的公因子假定 又这就是说
3、，是的最大公因子假设是的最大公因子那么且假设那么那么即是单位故 假定在一个唯一分解环里 证明当而且只当是的一个最大公因子的时候，互素证假定是的一个最大公因子假设不互素那么有而不是单位那么这就是说是的公因子所以即 故是单位 矛盾假定互素 令是的最大公因子 那么有 即是的公因子于是是单位那么是的最大公因子3 假定是一个整环，和是的两个主理想证明当而且只当是的相伴元的时候证假定是单位所以是的相伴元假定单位故主理想假定是一个主理想环，并且证明是和的一个最大公因子，因此和的何最大公因子都可写成以下形式：证由于有是的公因子 仍由知故有 设是的任一公因子由知即是的最大公因子又单位一个主理想环的每一个最XX想
4、都是由一个元素所生成的。证设是主理想环的最XX想，并设假设是单位，那么假设不是素元那么， 是的真因子最XX想是单位，矛盾。我们看两个主理想环和是的子环，假定和是的两个元，是这两个元在里的一个最大公因子。证明：也是这两个元在里的一个最大公因子。证是主理想环的子环，所以在里由本节习题知是的最大公因子，而且最大公因子有以下形式：也是在里的公因子。设是在里任意公因子那么那么故是在里的最大公因子。4欧氏环 1. 证明:一个域一定是一个欧氏环.证设是域,那么一定是整环 是某一个固定的整数,这符合条件对的任何元都有 这里2. 我们看有理数域上的一元多项式环理想等于怎样的一个主理想?证我们说互素 即 因而3.
5、 证明由所有复数是整数)所作成的环是一个欧氏环取()证整数 令 设 那么 任取整数 其中 故是有理数取是有理数,且满足条件 令 那么 因为的实部与虚部系数均为整数,所以的实部与虚部系数亦均为整数设即注意:取使的整数是可以做到的例如只要取或即可使5多项式环的因子分解1. 假定!是一个唯一分解环,是的商域,证明,的一个多项式假设是在里可约,它在里已经可约. 证 假设在里不可约,令是本原多项式显然,在里也不可约,由引理3在里不可约,这与在里可约的假设矛盾.2. 假定是整环上的一元多项式环.!属于但不属于,并且的最高系数是的一个单位,证明在里有分解. 证 的最高系数是的单位,所以的系数的最大公因子是单位,也就是说是本原多项式. 而即次数根据本节引理4证明的前一局部在里有分解。6因子分解与多项式的根1. 假定是模16的剩余类环,的多项式在里有多少个根? 证在里的所有根是 这里因为是的根,那么需2. 假定是模3的剩余类环,我们看的多项式证明,不管是的哪一个元.证 不管是的或!均使 3. 证明本节的导数计算规那么证) = +故有 现在证明 用数学归纳法证时,利用使有 假设时 看的情形 = 故有() . .word.