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1、. .高考数学总复习第一讲：函数与方程函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系 在解决某些数字问题时，先设定一些未知数，然后把它们当作已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想 函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以分
2、别看成函数，方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决总之，在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想，用它来指导解题在解题中，同时要注意从不同的角度去观察探索，寻求多种方法，从而得到最佳解题方案 一、例题分析例1已知F(x)=x-x在x(0,1)时函数值为正数，试比较,的大小 分析：一般情况下，F（x）可以看成两个幂函数的差已知函数值为正数，即f1(x)=x的图象在x(0,1)上位于f2(x)=x的图象的上方，这时为了判断幂指数,的大小，就需要讨论,的值在（1，+）上，或是在（0，1）上，或
3、是在（0，1）内的常数，于是F（x）成为两个同底数指数函数之差，由于指数函数y=at(00，所以得例2已知0a1，试比较 的大小 分析：为比较a与(a) 的大小，将它们看成指数相同的两个幂，由于幂函数 在区间0,+上是增函数，因此只须比较底数a与a的大小，由于指数函数y=ax(0aa，所以aa，从而aa，得到a(a) 由于aa，函数y=ax(0a(a) 综上， 解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数，函数选得恰当，解决问题简单 例3关于x的方程 有实根，且根大于3，XX数a的X围 分析：先将原方程化简为ax=3，但要注意0x3且x1现将ax看成以a为底的指数函数，考虑底数a为何值时，函
4、数值为3如图（1），过（3，3）点的指数函数的底 ，现要求0x3时，ax=3，所以 ，又因为x1，在图（1）中，过（1，3）点的指数函数的底a=3，所以 若将ax=3变形为 ，令 ，现研究指数函数a=3t，由0x0， 所以y=3-|x+1|, x-2,0解法三、当x-2,-1时，x+42,3， 函数周期是2， f(x+4)=f(x) 而f(x+4)=x+4， x-2,-1时，f(x)=x+4=3+(x+1) 当x-1,0时，-x0,1， 且-x+22,3 函数是偶函数，周期又是2， ， 于是在2，0上， 由于x-2,-1时，x+10，x(-1,0)时，x+10， 根据绝对值定义有x-2,0时，
5、f(x)=3-|x+1| 本题应抓住“偶函数”“周期性”这两个概念的实质去解决问题 例5已知y=loga(2-ax)在0，1上是x的减函数，则a的取值X围是（ ） （A）（0，1） （B）（1，2） （C）（0，2） （D）2，+ 分析：设t=2-ax，则y=logat， 因此，已知函数是上面这两个函数的复合函数，其增减性要考查这两个函数的单调性，另外，还要考虑零和负数无对数以及参数a对底数和真数的制约作用 解法一、由于a1，所以（C）是错误的 又a=2时，真数为22x，于是x1，这和已知矛盾，所以（D）是错的当0a0，所以t=2-ax是x的减函数， 因此，只有当a1，y=logat是增函数时
6、，y=loga(2-ax)在0，1上才是减函数； 又x=1时，y=loga(2-a)， 依题意，此时，函数有定义，故2a0 综上可知：1a2， 故应选（B） 例6已知 ，函数y=g(x)的图象与函数y=f-1(x+1)的图象关于y=x对称，则g(5)=_- 解法一、由 去分母，得 ，解出x，得 ， 故 ，于是 ， 设 ，去分母得， ，解出x，得 ， 的反函数 解法二、由 ，则 ， ， 即 的反函数为 ， 根据已知： 解法三、如图，f(x)和f-1(x)互为反函数，当f-1(x)的图象沿x轴负方向平移一个单位时，做为“镜面”的另一侧的“象”f(x)的图象一定向下平移1个单位，因此f-1(x+1)
7、的图象与f(x)-1的图象关于y=x对称 故f-1(x+1)的反函数是g(x)=f(x)-1， 本解法从图象的运动变化中，探求出f-1(x+1)的反函数，体现了数形结合的优势出二、巩固练习（1） 已知函数 在区间 上的最大值为1，XX数a的值 （1）解：f(x)在区间 上最大值可能在端点外取得，也可能在顶点外取得， ， ，而顶点横坐标 ，最大值在顶点外取得，故此解舍去 当最大值为f(2)时，f(2)=1， ，顶点在应在区间右端点取得最大值，此解合理 当最大值在顶点处取得时，由 ，解得 ，当 ，此时，顶点不在区间内，应舍去 综上， （2）函数 的定义域是a，b，值域也是a，b，求a.b的值2）解
8、：y=f(x)的图象如图，分三种情况讨论 当a0，应舍去 当0ab时，f(x)为递减函数， 有 ，解得：a=1，b=2 当a0b时，f(x)最大值在顶点处取得，故 ， ，所以最小值应在a处取得（2）解：y=f(x)的图象如图，分三种情况讨论 当a0，应舍去 当0ab时，f(x)为递减函数， 有 ，解得：a=1，b=2 当a02 设 ，则 ， 由于该方程有实根，且实根大于2， 解之，8 当=8时，x=4，故等号能成立 于是log20且x=4时，等号成立，因此 的最小值是3 解法二： ，x2 设 ，则 = 8且 ，即x=4时，等号成立， log23且x=4时，等号成立 故 的最小值是3 （4）已知
9、a0,a1，试求方程 有解时k的取值X围 4）解法一：原方程由可得： ， 当k=0时，无解，原方程无解； 当k0时，解为 ，代入式， 解法二：原方程 ， 原方程有解，应方程组 ， 即两曲线有交点，那么ak-a或0ak0) k-1或0k0， 原不等式 即 当0a1时，所给不等式解集为 ， 当a1时，所给不等式解集为x|x0 （）在区间0,+)上任取x1,x2，使得x1x2， （）当a1时， 又 所以，当a1时，函数f(x)在区间0,+)上是单调递减函数 （）当0a1时，在0,+)上存在两点 满足f(x1)=1,f(x2)=1 ，即f(x1)=f(x2)，函数f(x)在区间0,+)上不是单调函数. .jz.