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1、模块一数学思想与解题技法篇第一讲函数与方程思想思想方法诠释函数的思想：是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想2方程的思想：是建立方程或方程组或者构造方程或方程组，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想.要点一函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用解析(1)当ya时，2(x1)a，所以x1.设方程xlnxa的根为t，则tlnta，则|AB|.设g(t)1(t0)，则g(t)，令g(t)0，得t1，当t(0,1)时，g(t)0，所以g(t)ming(1)，所以|AB|，所以|AB|的最小值为，
2、故选D.(2)因为函数f(x)log3(9xt2)是定义域R上的增函数，且为“优美函数”，则f(x)x至少有两个不等实根，由log3(9xt2)x，得9xt23x，所以(3x)23xt20有两个不等实根令3x(0)，则2t20有两个不等正实根，所以解得t0，所以a10，所以2 2，当且仅当和1同时成立，即ab3时等号成立，所以的最小值为2，故选A.答案A2(2017豫南九校联考)若关于x的方程22|x2|2a有实根，则实数a的取值范围是_解析令f(x)22|x2|，要使方程f(x)2a有实根，只需2a是f(x)值域内的值，又可知f(x)的值域为1,2)，12a2，解得1a0)，则f(x)1.令
3、f(x)0，得x，易知当x(0，)时，f (x)0，f(x)在区间(0，)上递减，在区间(，)上递增，又5f(6)，当n6时，有最小值.(2)构造函数f(x)x52016x，则f(x)是奇函数，且在R上递增，依题意得， f(1a1008)f(1a1009)，又f(1a1009)f(a10091)，则f(1a1008)f(a10091)，所以1a1008a10091，即a1008a10092，所以S2016201620162016，排除B，D；由f(1a1008)f(1a1009)，得1a10081a1009，所以a10080，S160，得a1a150，则a80，由S160，得a1a160，则a
4、8a90，a90，公差d0，0，0，0，0，0，且S1S2a2a8，所以在，中最大的是.故选A.答案A4(2017西安一模)设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_解析设等比数列an的公比为q，则由a1a310，a2a4q(a1a3)5，知q.又a1a1q210，a18.故a1a2aaaq12(n1)23n22.记t(n27n)，结合nN*可知n3或4时，t有最大值6. 又y2t为增函数，从而a1a2an的最大值为2664.答案64要点三函数与方程思想在解析几何中的应用解(1)设直线AP的斜率为k，kx，因为x0)与直线l1：xy40相切，设点A为圆上一动点，AB
5、x轴于B，且动点N满足2，设动点N的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)直线l与直线l1垂直且与曲线C交于P，Q两点，求OPQ(O为坐标原点)面积的最大值解(1)设动点N(x，y)，A(x0，y0)，因为ABx轴于B，所以B(x0,0)，由题意得，r2，所以圆M的方程为M：x2y24.因为2，所以(0，y0)2(x0x，y)，即将A(x,2y)代入圆M：x2y24中，得动点N的轨迹方程为y21.(2)由题意，设直线l：xym0，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立直线l与椭圆C的方程得消去y，得13x28mx4m240，192m2413(4m24)16(m213)0，解得m213，x
6、1x2，x1x2.又点O到直线l的距离d，|PQ|2|x1x2|，所以SOPQ1，当且仅当m213m2，即m时，等号成立故OPQ面积的最大值为1.1函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)0，就是求函数yf(x)的零点，再如方程f(x)g(x)的解的问题可以转化为函数yf(x)与yg(x)的交点问题，也可以转化为函数yf(x)g(x)与x轴的交点问题，方程f(x)a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域2当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想3借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解