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1、. .分数裂项计算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进展适当的变形，或者先进展一局部运算，使其变得更加简单明了。本讲是整个奥数知识体系中的一个精华局部，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的表达，对学生要求较高。知识点拨分数裂项一、“裂差型运算将算式中的项进展拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每
2、项分子分母之间具有的一样的关系，找出共有局部，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间局部消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似局部，让它们消去才是最根本的。(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即，那么有(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：，形式的，我们有：裂差型裂项的三大关键特征：1分子全部一样，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。2分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接3分母上几个因数间的差是一个定值。二、“裂和型运算：
3、常见的裂和型运算主要有以下两种形式：1 2裂和型运算与裂差型运算的比照：裂差型运算的核心环节是“两两抵消到达简化的目的，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消型的，同时还有转化为“分数凑整型的，以到达简化目的。例题精讲【例 1】 。【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【关键词】美国长岛，小学数学竞赛【解析】 原式提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：，计算过程就要变为：【答案】【巩固】【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【解析】 原式【答案】【巩固】【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 原式【答案】【例 2】【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析
4、】 此题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项问题。此类问题需要从最简单的项开场入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开场，对分母进展等差数列求和运算公式的代入有， 原式【答案】【例 3】【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【解析】【答案】【巩固】 计算：【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2021年，迎春杯，初赛，六年级【解析】 原式【答案】【巩固】【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2021年，小学数学竞赛，初赛【解析】 原式【答案】【巩固】 计算：【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式【答案】【例 4】
5、 计算：【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2021年，101中学【解析】 原式【答案】【巩固】 _【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2021年，第六届，走美杯，初赛，六年级【解析】 根据裂项性质进展拆分为：【答案】【巩固】【考点】分数裂项 【难度】6星 【题型】计算 【关键词】2021年，第6届，走美杯，6年级，决赛【解析】 原式【答案】【巩固】 计算：【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2006年，第4届，走美杯，6年级，决赛【解析】 原式【答案】【巩固】 。【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式【答案】【
6、例 5】 计算：【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2005年，第10届，华杯赛，总决赛，二试【解析】 原式【答案】【例 6】【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2007年，仁华学校【解析】 原式【答案】【例 7】 计算：【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】第五届，小数报，初赛【解析】 原式【答案】【巩固】 计算：=。【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 原式【答案】【巩固】 计算：_。【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 原式【答案】【巩固】 计算：【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【
7、解析】 分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：，所以原式【答案】【巩固】 计算： 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2021年，四中【解析】 原式【答案】【例 8】【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 首先分析出原式【答案】【巩固】 计算：【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式【答案】【巩固】 计算：【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式+()()【答案】【巩固】【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】【答案】【巩固】【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式【答案】【
8、例 9】【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式【答案】【巩固】【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式【答案】【例 10】 计算： 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 如果式子中每一项的分子都一样，那么就是一道很常见的分数裂项的题目但是此题中分子不一样，而是成等差数列，且等差数列的公差为2相比拟于2，4，6，这一公差为2的等差数列(该数列的第个数恰好为的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进展计算原式也可以直接进展通项归纳根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为，所以
9、，再将每一项的与分别加在一起进展裂项后面的过程与前面的方法一样【答案】【巩固】 计算：【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2021年，迎春杯，初赛，五年级【解析】 此题的重点在于计算括号内的算式：这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子一样、或分子是分母的差或和的情况所以应当对分子进展适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式观察可知，即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以所以原式法二上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为，其中为公差如果能把分子变成这样的形式，再将与分开，每
10、一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了，所以原式法三此题不对分子进展转化也是可以进展计算的：所以原式法四对于这类变化较多的式子，最根本的方法就是通项归纳先找每一项的通项公式：，3，9如果将分子分成和1，就是上面的法二；如果将分子分成和，就是上面的法一【答案】【巩固】 计算：【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数即：原式现在进展裂项的话无法全部相消，需要对分子进展分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：，原式【答案】【例 11】【考点】分数裂
11、项 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 原式【答案】【例 12】【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 原式【答案】【巩固】 计算：. 【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 原式为阶乘的形式，较难进展分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了原式【答案】【例 13】【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式【答案】【巩固】【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 ，所以原式【答案】【巩固】【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 原式【答案】【例 14】 . 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
12、 【关键词】仁华学校【解析】 这题是利用平方差公式进展裂项：，原式【答案】【巩固】 计算：【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 ，所以，原式【答案】【巩固】 计算：【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式【答案】【巩固】 计算： 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式【答案】【巩固】 计算： 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 ，由于，可见原式【答案】【巩固】 计算： 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为，可以发
13、现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进展计算，得出结果后除以4就得到原式的值了原式【答案】【例 15】【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】【答案】【巩固】【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中【解析】 原式=【答案】【稳固】计算：【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式【答案】【巩固】【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式【答案】【巩固】【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式【答案】【巩固】【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【
14、解析】 原式【答案】【巩固】 计算：【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式【答案】【巩固】【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式【答案】【例 16】【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式【答案】【巩固】【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 原式=【答案】【例 17】 计算：【考点】分数裂项 【难度】5星 【题型】计算 【解析】 原式【答案】【例 18】 计算：【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 原式【答案】【例 19】 计算：【考点】分数裂项 【难度】5星 【题型】计算 【解析】 所以原式【答案】. .word.