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1、. .函数专题之值域与最值问题一观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+(23x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出(23x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知(23x)0， 故3+(23x)3。函数的知域为 . 点评：算术平方根具有双重非负性，即：1被开方数的非负性，2值的非负性。 此题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=x(0x5)的值域。答案：值域为：0，1，2，3，4，5 二反函数法 当函数的反函数存在时，那么其反函数的定义域就是原函数的值域
2、。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(12y)/y1,其定义域为y1的实数,故函数y的值域为yy1,yR。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法表达逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x10-x)的值域。答案：函数的值域为yy1 三配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=(x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二
3、次函数的最值求。 解：由x2+x+20,可知函数的定义域为x1，2。此时x2+x+2=x1/229/40，9/40x2+x+23/2,函数的值域是0,3/2 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y=2x5154x的值域.(答案:值域为yy3) 四判别式法 假设可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x22x+3)/(x2x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为y2x2(
4、y2)x+(y-3)=0 当y2时,由=(y2)24y2x+(y3)0，解得：2x10/3 当y=2时,方程()无解。函数的值域为2y10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b(cx2+dx+e)的函数。 练习：求函数y=1/(2x23x+1)的值域。答案：值域为y8或y0。 五最值法 对于闭区间a,b上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间a,b内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比拟,求出函数的最值,可得到函数y的值域。 例5(2x2
5、-x-3)/(3x2+x+1)0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨：根据条件求出自变量x的取值X围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 解：3x2+x+10，上述分式不等式与不等式2x2-x-30同解，解之得1x3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1x3/2),z=-(x-2)2+4且x-1,3/2,函数z在区间-1,3/2上连续，故只需比拟边界的大小。 当x=-1时，z=5；当x=3/2时，z=15/4。函数z的值域为z5z15/4。 点评：此题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，假设存在最值，也可通过求出最值而获
6、得函数的值域。 练习：假设x为实数，那么函数y=x2+3x-5的值域为 A， B7， C0， D5， 答案：D。 六图象法 通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。 例6求函数y=x+1+(x-2)2 的值域。 点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。 解：原函数化为 2x+1 (x1) y= 3 (-12) 它的图象如下图。 显然函数值y3,所以，函数值域3，。 点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，表达数形结合的思想。是解决问题的重要方法。 求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。 七单调法
7、 利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。 例1求函数y=4x1-3x(x1/3)的值域。 点拨：由的函数是复合函数，即g(x)= 1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。 解：设f(x)=4x,g(x)= 1-3x ,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x1-3x 在定义域为x1/3上也为增函数，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为y|y4/3。 点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区
8、间端点的函数值，进而可确定函数的值域。 练习：求函数y=3+4-x 的值域。(答案：y|y3) 八换元法 以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。 例2求函数y=x-3+2x+1 的值域。 点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。 解：设t=2x+1 t0,那么 x=1/2(t2-1)。 于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-41/2-4=-7/2. 所以，原函数的值域为y|y7/2。 点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解
9、题的方法表达换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习：求函数y=x-1 x的值域。答案：y|y3/4 九构造法 根据函数的构造特征，赋予几何图形，数形结合。 例3求函数y=x2+4x+5+x2-4x+8 的值域。 点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。 解：原函数变形为f(x)=(x+2)2+1+(2-x)2+22 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=x,那么ek=2-x,KF=2+x,AK=(2-x)2+22 ,KC=(x+2)2+1 。 由三角形三边关系知，AK+KCAC=5。当A、K、C三点共线时取等号。原函数的知域为y|
10、y5。 点评：对于形如函数y=x2+a (c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的表达。 练习：求函数y=x2+9 +(5-x)2+4的值域。答案：y|y52 十比例法 对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。 例4x,yR，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。 点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。 解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)x=3+4k,y=1+3k,z=x2+y2=(3+
11、4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。 当k=3/5时，x=3/5,y=4/5时，zmin=1。 函数的值域为z|z1. 点评：此题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法表达诸多思想方法，具有一定的创新意识。 练习：x,yR，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。答案：f(x,y)|f(x,y)1 十一利用多项式的除法 例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。 点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。 解：y=(3x+2)/(x+1)=31/(x+1)。1/(x+1)0
12、，故y3。函数y的值域为y3的一切实数。 点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。 练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x1)的值域。答案：y2 十二不等式法 例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值X围，构造不等式。 解：易求得原函数的反函数为y=log3x/(1-x), 由对数函数的定义知 x/(1-x)0 1-x0 解得，0x1或y0的值域为-1，4，那么,b的值为_17 函数 的最大值是18a,b为常数，假设那么三、解答题：19. 求以下函数的值域1； 2； 320 函数的值域为1，3，XX数b、c的
13、值。21设函数，1假设定义域为0，3，求的值域；2假设定义域为时，的值域为，求的值.22. 函数： 1证明：对定义域内的所有都成立. 2当的定义域为 时，求证：的值域为； *3设函数, 求的最小值 .函数的值域与最值参考答案三例题讲评例1例2，最大值18；最小值例3；例4，当且仅当时取等号；即时，y的最小值是2。没有最大值。另外方法同上，即时，y的最大值是。没有最小值。说明：此题不能用判别式法。因为。假设用判别式法得，当时，求得，不合。例5；以上各小题考虑了各种方法的顺序，有的方法给出2个小题，有的题目可以多种方法导数法暂不考虑。四练习题一、 选择题题号12345678910111213答案B
14、CBAABDCCCACC9.提示：令，实际是将原函数图象的点的横坐标缩短变为原来的二分之一，纵坐标不变。故最值不变。10. 提示：由，二、填空题14.7； 15.4012； 16.=4, b=3； 17. 4； 18.2。15.提示：用赋值法或令三、解答题19 解析先确定函数的定义域，正确选择方法，并作出相应的数式变换.1函数的定义域为，令，即或，函数的值域为；注这里运用了不等式性质：；解法二原函数等价于，当时，得4=0，矛盾，解得函数的值域为.2函数的定义域为.作换元，令，上为增函数，函数的值域为；解法二令，原函数，在定义域内都是减函数，原函数在定义域是减函数，而当时，函数的值域为.3函数的
15、定义域为，由二次函数性质知函数的值域为0，1；解法二令， ，即函数的值域为0，120由y= 得 (2y)x2+bx+cy=0,(*)当y20,由xR,有=b24(2y)(cy)0即4y24(2+c)y+8cb20，由得2+c=1+3且=13b=2,c=2又b0,b=2,c=2, 而y2=0,b=2,c=2代入*式得x=0b=2,c=2为所求21解：，对称轴为， 1，的值域为，即； 2对称轴，区间的中点为，当时，不合；当时，不合；综上，.22.1证明：结论成立 2证明：当 即3解：当如果 即时，那么函数在上单调递增 ，如果而当时，在处无定义，故最小值不存在当如果如果当综合得：当时 gx最小值是当时 gx最小值是当时 gx最小值为当时 gx最小值不存. .word.