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函数专题之值域与最值问题
一．观察法:通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域.
例1:求函数的值域.
点拨：根据算术平方根的性质，先求出的值域.
解：由算术平方根的性质，知≥0， 故3+≥3。 ∴函数的值域为 .
点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算
术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）
二．反函数法:当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域.
例2:求函数y=(x+1)/(x+2)的值域.
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,
故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）
三．配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域.
例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域.
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]
∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]
点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})
四.判别式法:若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
例4:求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域.
点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。
解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊）当y≠2时,
由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，
解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。
点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。
常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b√(cx2+dx+e)的函数。
练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。
五．最值法:对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
例5:已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域.
点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
解：∵3x2+x+1＞0上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，
将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],
函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。
∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。
点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，
也可通过求出最值而获得函数的值域。
练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为（ ）
A．（－∞，＋∞） B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞） D．[－5，＋∞）（答案：D）。
六．图象法:通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域.
例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域.
点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。
解：原函数化为－2x+1(x≤1)
y=3(-12)
它的图象如图所示。 显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。
点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。
七．单调法:利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域.
例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域.
点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。
解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x 在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，
求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)
八．换元法:以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。
例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。
点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。
解：设t=√2x+1 （t≥0）,则x=1/2(t2-1)。于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.
所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。
练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝
九．构造法:根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合.
例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域.
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，
再切割成12个单位正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,KC=√(x+2)2+1 。
由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。
点评：对于形如函数y=√x2+a √(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。
练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）
十．比例法:对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，
进而求出原函数的值域.
例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域.
点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。
解：由3x-4y-5=0变形得(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)∴x=3+4k,y=1+3k,
∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。
函数的值域为｛z|z≥1｝.
点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。
练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）
十一．利用多项式的除法
例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域.
点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。 ∵1/(x+1)≠0，故y≠3。∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。
练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）
十二．不等式法.
例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域.
点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。
解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)], 由对数函数的定义知x/(1-x)＞0 1-x≠0
解得，0＜x<1。 ∴函数的值域（0，1）。
点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。
以下供练习选用：求下列函数的值域
1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）
2.Y=2x/(2x－1)。 （y>1或y<0）
训练例题
例1．求下列函数的值域
（1）（2）（3）（4）
例2．已知，求的最值。
例3．求下列函数的值域
（1）（2）（3）
例4.如何求函数的最值？呢？
例5．求下列函数的值域
（1）（2）（3）（4）
课后练习题
选择题
1. 已知函数=，则［（）］的值是( )
A.9 B. C. -9 D. -
2. 若集合,，则等于( )
A．{0} B． C．S D．T
3. 下列函数中值域是（0，+∞）的函数是( )
A. B. C. D.
4. 定义在R上的函数的值域为［，b］,则的值域为( )
A.［,b］ B.［+1,b+1］ C.［－1,b－1］ D.无法确定
5. 函数y =的定义域是(-，1)[2,5]，则其值域是( )
A.(-,0)[,2] B.(-,2) C.(-,)[2,+] D.(0,+)
6. 函数的值域为R，则实数k的取值范围是( )
A． B．或 C． D．或
7. 已知函数的最小值是( )
A．2 B． C． D．
8. 函数( )
A.最小值为0，最大值为4 B.最小值为-4，最大值为0
C.最小值为-4，最大值为4 D.没有最大值，也没有最小值
9. 已知的最大值为2，的最大值为，则的取值范围是( )
A． B． C． D．以上三种均有可能
10.已知、b的等差中项是的最小值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
11. 已知,,则(=( )
A．15 B．1 C．3 D．30
12. 设函数，则的值为( )
A. B. b C.、b中较小的数 D.、b中较大的数
13．函数的最小值为( )
A．190 B．171 C．90 D．45
二、填空题：
14. 定义在R上的函数满足关系式:,则 的值等于________
15. 已知函数对一切实数,均满足，且．则
16. 设（>0）的值域为[-1，4]，则,b的值为_________
函数 的最大值是
18．已知a,b为常数，若则
三、解答题：
19. 求下列函数的值域（1）； （2）； （3）
20． 已知函数的值域为［1，3］，求实数b、c的值。
21．设函数，（1）若定义域为[0，3]，求的值域；
（2）若定义域为时，的值域为，求的值.
22. 已知函数：
（1）证明：对定义域内的所有都成立.
（2）当的定义域为 时，求证：的值域为；
*（3）设函数, 求的最小值 .
函数的值域与最值参考答案
（三）例题讲评例1．例2．
，最大值18；最小值
例3．；；；
例4．，当且仅当时取等号；
即时，y的最小值是2。没有最大值。另外方法同上，即时，y的最大值是。没有最小值。说明：本题不能用判别式法。因为。若用判别式法得，当时，求得，不合。
例5．；
（四）练习题
选择题: 答案:B C B A A B D C C C A C C
9.提示：令，实际是将原函数图象的点的横坐标缩短变为原来的二分之一，纵坐标不变。故最值不变。
10. 提示：由，
二、填空题:14.7； 15.4012； 16. =4, b=3； 17. 4； 18.2。15.提示：用赋值法或令
三、解答题
19． [解析]先确定函数的定义域，正确选择方法，并作出相应的数式变换.（1）函数的定义域为，
令，即或，
∴函数的值域为；（注）这里运用了不等式性质：；
[解法二]原函数等价于，当时，得－4=0，矛盾，，
，，解得函数的值域为.
（2）函数的定义域为.作换元，令，
上为增函数，，∴函数的值域为；
[解法二]令，∴原函数，∵在定义域内都是减函数，
∴原函数在定义域是减函数，，而当时，，
∴函数的值域为.
（3）函数的定义域为，，
由二次函数性质知函数的值域为[0，1]；
[解法二]令,，，即函数的值域为[0，1]
20．由y= 得 (2－y)x2+bx+c－y=0,(*) 当y－2≠0,由x∈R,有Δ=b2－4(2－y)(c－y)≥0
即4y2－4(2+c)y+8c－b2≤0，由已知得2+c=1+3且=13
∴b=2,c=2又b<0,∴b=－2,c=2, 而y－2=0,b=－2,c=2代入（*）式得x=0 ∴b=－2,c=2为所求
21．解：，∴对称轴为，
（1），∴的值域为，即；
（2）对称轴，，
∵区间的中点为，
①当时，，
不合）；
②当时，，
不合）；综上，.
22.（1）证明：
∴结论成立
（2）证明：
当
即
（3）解： ①当
如果 即时，则函数在上单调递增 ，
如果而当时，在处无定义，
故最小值不存在
②当 如果
如果
当
综合得：当时 g（x）最小值是当时 g（x）最小值是
当时 g（x）最小值为 当时 g（x）最小值不存
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