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1、平面对量学问点总结 精华 一、向量的基本概念必修 4平面对量学问点小结1、向量的概念 :既有大小又有方向的量 ,留意向量与数量的区分、 向量常用有向线段来表示、uuura留意: 不能说向量就就是有向线段 , 为什么？提示: 向量可以平移、举例 1已知A1,2 ,B4,2, 就把向量 AB 按向量 r 1,3 平移后得到的向量就是 、结果: 3,0r2、零向量:长度为 0 的向量叫零向量 ,记作: 0 ,规定:零向量的方向就是任意的 ;uuur3、单位向量 :长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与 AB 共线ABuuur的单位向量就是uuur;| AB |4、相等向量 :长度相等且方向相同的两
2、个向量叫相等向量,相等向量有传递性 ;rr5、平行向量 也叫共线向量 :方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做ab平行向量 ,记作: r r ,规定: 零向量与任何向量平行、注: 相等向量肯定就是共线向量 , 但共线向量不肯定相等 ;r两个向量平行与与两条直线平行就是不同的两个概念: 两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合 ;平行向量无传递性！ 由于有 0 ;uuur uuur三点 A、B、 C 共线 AB、AC 共线、r6、相反向量 :长度相等方向相反的向量叫做相反向量、r 的相反向a量记作 a 、rrrr举例 2如以下命题 :1 如| a | | b | , 就
3、ab 、(2) 两个向量相等的充要条件就是它们的起点相同, 终点相同、uuuruuuur(3) 如 ABDC , 就ABCD 就是平行四边形、uuuruuuur(4) 如 ABCD 就是平行四边形 , 就ABDC 、rrrrrr(5) 如ab , bc , 就ac 、rrrrrr(6) 如a / /b , b / / c 就a / / c 、其中正确的就是、结果:45二、向量的表示方法uuur1、几何表示 :用带箭头的有向线段表示 ,如 AB ,留意起点在前 ,终点在后;rrr2、符号表示 :用一个小写的英文字母来表示 ,如a ,b , c 等;3、坐标表示 :在平面内建立直角坐标系 ,以与
4、x 轴、 y 轴方向相同的rrrrrr两个单位向量i ,j为基底,就平面内的任一向量 a 可表示为axiyj x, y ,称x, y 为向量r 的坐标 , r叫做向量r 的坐标表示、aax, ya结论:假如向量的起点在原点 ,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同、三、平面对量的基本定理rrra1 e12 e2定理设 e1, e2 同一平面内的一组基底向量 , a 就是该平面内任一向量 ,就存在唯独实数对, ,使rrr 、12rrrr(1) 定理核心 : a1e12 e2 ;2从左向右瞧 ,就是对向量 a 的分解,且表达式唯r一;反之,就是对向量 a 的合成、r rrrr3向量的正交分解 :当 e
5、1 ,e2 时,就说a1 e12e2 为对向量 a 的正交分解 .r22rrrr1 r3 r、举例 3 1如a1,1 , b1, 1 , c 1,2 , 就c、结果:ab(2) 下 列 向 量 组中 , 能 作 为 平 面 内 所 有向 量 基 底 的 就 是C、eBA、e,rr10,0e21, 2rrB、e,1 1,2e25,7r3,5 , r6,10D、1e2e1e2r2, 3 , r1 , 324uuur uuuruuurruuurruuur(3) 已知AD, BE分别就是 ABC的边 BC , AC 上的中线 , 且ADa, BEb , 就BCr r2 r4 r、可用向量 a , b
6、表示为、结果:ab33uuuruuuruuuruuuruuur(4) 已知 ABC中, 点 D 在 BC 边上, 且 CD2DB, CDrABsAC, 就 rs的值就是、结果:0 、四、实数与向量的积rr实数与向量 a 的积就是一个向量 ,记作 a ,它的长度与方向规定如下:1模: |rr;a | | | a |0rar0arar(2) 方向:当时,a 的方向与的方向相同 ,当时,的方向与0的方向相反 ,当0 时, arr ,留意:r0 、a五、平面对量的数量积rruuurruuurr1 、 两 个向量的 夹角: 对于 非零向量 a , b, 作 OAa, OBb, 就把abAOB0 称为向量
7、 r , r 的夹角、当0 时,r , r 同向;当时, r , r 反向;当时, r , r 垂直、ababab2rr2、平面对量的数量积 :假如两个非零向量 a ,b ,它们的夹角为 ,我们rrrrrr把 数量 | a | b | cos叫做 a 与 b 的数量积 或内积或点积 , 记作: a b , 即rrrrab| a | |b| cos、规定:零向量与任一向量的数量积就是0、注: 数量积就是一个实数 , 不再就是一个向量、uuuruuuruuuruuur uuur举例 4 1果: 9 、ABC中, | AB | 3 , | AC | 4 , | BC | 5 , 就 AB BC 、结
8、,r1r1rrrrrrrr242 已知 a结果:1 、1,b20, cakb , dab, c 与d的夹角为, 就k 、rrr rrr3 已知| a | 2 , | b | 5 , a b3 , 就|ab |、结果:23 、r rrrrrrrr4 已知a, b 就是两个非零向量, 且 | a | | b | | ab | , 就 a与 ab的夹角为 、结果: 30o 、rrr3、向量 b 在向量 a 上的投影 : | b | cos0、,它就是一个实数 ,但不肯定大于rrr rrr举例 5已知 | a | 3, |b | 5 , 且 a b12 , 就向量 a在向量 b上的投影为5 、结果:
9、12 、rrrrrrrr4、 a b 的几何意义 :数量积 a b 等于 a 的模| a |与b 在a 上的投影的积、rr5、向量数量积的性质 :设两个非零向量 a , b ,其夹角为,就:aba b 1 rrrr0 ;rrrrrrr 2rrr 2rr 2a 、 b 同向的充要分条件 ; 2 当a 、 b 同向时, a b| a | | b|,特殊地, aa a| a | a |a;a b| a | | b |rrrr就是 rrrrrrrrrrrrrr当a 、b 反向时, a b| a | |b| , a b| a | | b | 就是 a 、b 反向的充要分条件 ;rrrrrr当 为锐角时
10、, a b0 ,且a 、 b 不同向, a b分条件 ;0 就是 为锐角的 必要不充rrrrrr当 为钝角时 , a b0 ,且a 、 b 不反向; a b0 就是 为钝角的 必要不充分条件 、rrrrrrcosa brr 3 非零向量 a , b 夹角 的运算公式 :rr; a b| a | b |、rrr| a | b |r举例 6 1已知 a ,2 , b3 ,2, 假如 a与b 的夹角为锐角 , 就 的取值范畴就是、结果:4 或 0 且 1 ;, 就 ,FQ3uuur uuur(2) 已知 OFQ 的面积为 S , 且OF FQ3如1 ,1S322uuur OFuuur 夹角 的取值范
11、| kab |3 | akb |k04 3围就是、结果:,;acos x,sin xba bab(3) 已知 r,r, 且满意 rrrr 其中 、cos y,sin ya b用 k 表示r r ; 求r r 的最小值 , 并求此时r 与 r 的夹角 的大小、4 kr rk 211、结果: a bk0 ; 最小值为,60o2六、向量的运算1、几何运算 1 向量加法ab运算法就 :平行四边形法就 ;三角形法就、ABa运 算 形 式 : 如 uuurrrruuuruuuruuuruuurr, BCbuuur, 就 向 量 AC叫 做 r 与 r的 与 , 即abABBCAC ;作图: 略、注: 平行
12、四边形法就只适用于不共线的向量、 2 向量的减法运算法就 :三角形法就、uuurruuurrrruuuruuuruuur运算形式 :如 ABa , ACb被减向量的终点、作图: 略、,就abABACCA,即由减向量的终点指向注: 减向量与被减向量的起点相同、uuuruuurABBCuuur CD; uuurABuuur ADuuuur DCuuuruuurr举 例 71 化 简 : ; uuuruuuruuuruuur ABCD ACBD、结果: AD ; CB ; 0 ;(2) 如正方形 ABCD 的边长为 1,uuurr ,uuurr ,uuurr , 就 rrr、结果: 2 2 ;ABa
13、BCbACc| abc |uuuruuuruuuruuuruuur(3) 如O 就是ABC 所在平面内一点 , 且满意OBOCOBOC2OA, 就ABC 的外形为 、结果: 直角三角形 ;, 就 的值为、结果:2;(4) 如 D 为ABC的边 BC 的中点 ,ABC所在平面内有一点P , 满意uuuruuuruuurruuurPABPCP0 , 设| AP | uuur| PD |uuuruuuruuurr(5) 如点 O 就是结果: 120o 、ABC 的外心, 且OAOBCO0 , 就ABC的内角 C 为、2、坐标运算 :设r, r x , y ,就ax1 , y1 b22 1 向量的加减
14、法运算 : rrab1212 xx, yy , rr xx, yy 、ab1212举例 8 1已知点A 2,3 ,B 5,4 ,uuuruuuruuur, 如C7,10APABACR , 就当 时,22 2或6点 P 在第一、三象限的角平分线上、结果: 1 ;(2) 已知;2A 2,3 ,1 uuur ABB1,4 , 且2sin x,cos y ,x, y, , 就 xy、结果:uuruuruururuuruuruur(3) 已知作用在点A1,1的三个力F13,4 ,F22, 5 ,F 33,1 , 就合力FF1F2F3的终点坐标就是、 结果: 9,1 、aAB 2 实数与向量的积 :rx
15、, y x ,y 、11111122 3 如Ax , y , Bx , y ,就uuur xx , yy ,即一个向量的坐标等于表示2121这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标、举例 9设A2,3 ,uuur, 且B 1,51 uuur ,uuuruuur , 就C, D 的坐标分别就是ACAB 3AD3AB 、结果:1,11, 7,9、3 4 平面对量数量积 : r rx xy y 、a b1 21 2rrr举例 10已知向量 asin x,cos x , bsin x,sin x , c 1,0 、(1) 如x, 求向量 a 、 c 的夹角;rr323r r1(2) 如x,84, 函数
16、f xa b 的最大值为, 求 的值、结果:1 150o ;212或 21 、r 2r 222r22 5 向量的模 : a| a |xyr r| a |xy、rro举例 11已知a, b 均为单位向量 , 它们的夹角为 60, 那么| a3b |、结果:13 、6 两点间的距离 : 如11Ax , y ,Bx , y , 就| AB |xx 2 yy 2 、22举例 12如图, 在平面斜坐标系 xOy 中,斜坐标系2121xOy60o , 平面上y 任一点 P 关于uuurrrr r的斜坐标就是这样定义的 : 如OPxe1ye2 , 其中 e1 ,e2 分别为60o 与 x 轴、 y 轴同方向
17、的单Ox位向量 , 就P 点斜坐标为 x, y 、(1) 如点 P 的斜坐标为 2, 2 , 求P 到O 的距离 | PO | ;(2) 求以O 为圆心,1 为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程、结果:12;2七、向量的运算律x 2y2xy1 0 、rrrrrrrrrr1、交换律 : abba , aa ,a bb a ;rrrrrrrrrrrrr rrrrraaaabab ab ca cb c2、结合律 : abcabc , abca bc , aba b a b ;3、安排律 : rrr ,rrrr , rrrrrrr 、rrrr rr rrr rr rr举 例 13给 出 以下 命题
18、: a bc a ba c ; a b c a bc ; rr 2r 2rr 2r ab| a |2| a |b | b | ;r rrrrrr rr r如a b0,就a0或b0; 如a bc b就rrrrr rrr rrrrrrrrrr 2rac ; | a |2 a 2 ; a bb ; a b 2a 2 b 2 ; ab 2a22a bb 2 、aa其中正确的就是、结果: 、说明:1 向量运算与实数运算有类似的地方也有区分: 对于一个向量等式 , 可以移项 , 两边平方、 两边同乘以一个实数 , 两边同时取模 , 两边同乘以一个向量 , 但不能两边同除以一个向量 , 即两边不能约去一个向
19、量, 切记两向量不能相除 相约;2 向量的“乘法”不满意结合律 , 即rr rr rr , 为什么？八、向量平行 共线 的充要条件a b c a b crrrrrr 2rr2、a / /bab a b| a | b |rx1 y2ry1x20rr举例 14 1如向量 a同、结果:2 、x,1 , b4, x , 当 x 时, a 与b共线且方向相rrrrrrrrrr(2) 已知 a果:4 、1,1 , b4, x , ua2b , v2 ab, 且u / /v, 就 x、结uuur(3) 设PA或 11、k ,12 ,uuur PB4,5 ,uuur PC10,k , 就k 时,A, B, C
20、 共线、结果:2九、向量垂直的充要条件rrrrrrrraba b0| ab | | ab |x1 x2y1 y20 、特殊地uuuruuuruuuruuur、ABACABACuuuruuuruuuruuuruuuruuur;| AB | AC | AB | AC |举例 15 1已知uuur OA 1,2 ,uuur OB3, m , 如OAOB , 就m、结果: m3(2) 以原点 O 与A4,2为两个顶点作等腰直角三角形OAB ,2B90, 就点 B的坐标就是、结果:1,3或3, 1;(3) 已知 na ,b 向量 nm , 且| n | | m | , 就m的坐标就是、结果: b,a 或
21、rrrrrr b, a 、十、线段的定比分点1、定义 : 设点 P 就是直线uuuruuurP1P2 上异于P1 、P2 的任意一点 , 如存在一个uuuur实数 , 使P1PPP2uuuur,就实数 叫做点 P 分有向线段P1 P2所成的比 , P 点叫做有向线段 P1P2 的以定比为 的定比分点、2、 的符号与分点 P 的位置之间的关系uuuur(1) P 内分线段P1P2uuuur,即点 P 在线段 P1P2 上0 ;(2) P 外分线段P1 P2时,点 P 在线段P1P2 的延长线上1 ,点 P 在线段 P1P2 的反向延长线上10 、uuuuruuuur注: 如点 P 分有向线段 P
22、1P2 所成的比为 ,就点 P 分有向线段uuuruuur为 1 、P2P1 所成的比34举例 16如点结果:7 、P 分 AB 所成的比为3 , 就 A 分BP 所成的比为、3、线段的定比分点坐标公式 :111222设 P x , y ,P x , y , 点Px, y 分有向线段uuuur 所成的比为 , 就定比分点P1P2xx1x2 ,坐标公式为11 、y1y2y.1x1x2x,特殊地 ,当1时,就得到线段P1P2 的中点坐标公式2yy12y2 .说明:1 在使用定比分点的坐标公式时 , 应明确 x, y ,意义, 即分别为分点 , 起点, 终点的坐标、 x1, y1 、 x2 , y2
23、 的2 在详细运算时应依据题设条件 , 敏捷地确定起点 , 分点与终点 ,且并依据这些点确定对应的定比、M 3, 2N 6, 1uuuur1 uuuurP举例 17 1如,MPMN 3, 就点的坐标为、结果:7; 6,32 已知Aa ,0 ,B 3,2a , 直 线 1与 线段交于 , 且uuuuruuuur , 就ar、结果: 或 4 、yax2ABMAM2MB十一、平移公式假如点 Px, y 按向量 r平移至Px , y ,就xxh,;曲线f x, y0 按ah, kryyk.向量 ah,k 平移得曲线 f xh, yk0 、说明:1 函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？2 向量平移
24、具有坐标不变性 , 可别忘了啊！举例 18 1按向量 a 把 2, 3 平移到 1, 2 , 就按向量 a 把点 7,2 平移到rrr点、结果: 8,3 ;2 函数 ysin 2x的图象按向量 a平移后 , 所得函数的解析式就是ycos2x1 , 就 r 、结果: 4 ,1 、a十二、向量中一些常用的结论| a | b | ab | | a | b |1、一个封闭图形首尾连接而成的向量与为零向量, 要留意运用 ;2、模的性质 :rrrrrr、rrrrrrrrr 1 右边等号成立条件 : a、b 同向或 a、b 中有 0| ab | | a | b |;rrrrrrrrr 2 左边等号成立条件
25、: a、b 反向或 a、b 中有 0| ab | | a | b |;rrrrrrrr 3 当a、b 不共线| a | b | ab | | a |b |、3、三角形重心公式在 ABC中 , 如Ax1, y1 ,Bx2 , y2 ,Cx3 , y3 , 就 其 重 心 的 坐 标 为G x1x2x3, y1y2y3 、33举例 19如ABC 的三边的中点分别为A2,1 、 B 3,4 、 C 1, 1 , 就 ABC 的重3 3心的坐标为、结果:2 , 4、5、三角形“三心”的向量表示1uuur1 uuuruuuruuur为 ABC 的重心, 特殊地uuuruuuruuurrG 为PG PAP
26、BPCG 3PAPBPC0 ABC 的重心、uuuruuuruuur uuuruuuruuur 2 PA PBPB PCPC PAP 为 ABC 的垂心、uuuuruuuruuuuruuuruuuuruuur 3| ABuuuruuurABAC| PC| BC| PA| CA | PB0P为 ABC的 内 心 ; 向 量uuuuruuuur| AB | AC |0 所在直线过 ABC 的内心、uuuur6、点 P 分有向线段P1P2所成的比 向量形式设点 P 分有向线段uuuur P1 P2所成的比为, 如 M 为平面内的任一点, 就uuuruuuuruuuuruuuuruuuruuuuruuuur中三 终 点MPMP1 1MP2, 特殊地 P 为有向线段P1P2的中点MPMP1MP2 、27 、 向 量uuur uuur uuur PA, PB, PCA, B,C 共 线存 在 实 数 , 使 得且 .1uuuruuuruuurPAPBPC举例 20平面直角坐标系中 , O 为坐标原点 , 已知两点uuuruuuruuurA3,1 ,B 1,3 ,如点 C 满意 OC1 OA2 OB, 其中 1, 2R 且 121 , 就点 C 的轨迹就是、结果: 直线 AB 、