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1、平面向量基础知识复习1 平面向量知识点小结一、向量的基本概念1. 向量的概念 ： 既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别. 向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移. 举例 1 已知(1,2)A，(4,2)B，则把向量ABu uu r按向量( 1,3)ar平移后得到的向量是_. 结果：(3,0)2. 零向量 ：长度为0 的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的方向是任意的；3. 单位向量 ： 长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与 ABuu u r共线的单位向量是|ABABuuu ruuu r） ；4. 相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫
2、相等向量，相等向量有传递性；5. 平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量ar、 br叫做平行向量，记作：ar br，规定： 零向量和任何向量平行. 注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！ （因为有0r) ；三点ABC、 、共线ABACuuu ru uu r、共线. 6. 相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量. ar的相反向量记作ar.举例 2 如下列命题：（1）若| |abrr，则abrr. （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相
3、同，终点相同. （3）若ABDCuu u ruu u u r，则ABCD是平行四边形 . （4）若ABCD是平行四边形，则ABDCu uu ruuu u r. （5）若abrr， bcrr，则acrr. （6）若/ /abrr，/ /bcrr则/ /acrr. 其中正确的是 . 结果：（4） （5）二、向量的表示方法1. 几何表示 ：用带箭头的有向线段表示，如ABuu u r，注意起点在前，终点在后；2. 符号表示 ：用一个小写的英文字母来表示，如ar， br， cr等；3. 坐标表示 ：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、 y 轴方向相同的两个单位向量,ijrr为基底， 则平面内的任一向量ar
4、可表示为( , )axiyjx yrrr，称 ( , )x y 为向量 ar的坐标，( , )ax yr叫做向量 ar的坐标表示 . 结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理定理设12,e err同一平面内的一组基底向量，ar是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(,) ，使1 122aeerrr. （1）定理核心：1 12 2a e errr； （2）从左向右看，是对向量ar的分解，且表达式唯一；反之，是对向量ar的合成 .（3）向量的正交分解：当12,e err时，就说1 122a eerrr为对向量ar的正交分解举例 3 （1）若(1,1)
5、ar，(1, 1)br，( 1,2)cr，则cr . 结果：1322abrr. （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 B A.1(0,0)er，2(1,2)er B.1( 1,2)er，2(5,7)er C.1(3,5)er，2(6,10)er D.1(2, 3)er，213,24er（3）已知,AD BEu uu r uu u r分别是ABC的边BC，AC上的中线 ,且ADau uu rr， BEbuu u rr,则BCuuu r可用向量,a brr表示为 . 结果：2433abrr. （4）已知ABC中，点D在BC边上，且2CDDBu uu ru uu r，CDrABsACuu
6、 u ruu u ruu ur，则rs的值是 . 结果： 0. 四、实数与向量的积实数与向量 ar的积是一个向量，记作ar，它的长度和方向规定如下：（ 1）模：| | |aarr；（ 2）方向：当0 时，ar的方向与 ar的方向相同，当0时，ar的方向与 ar的方向相精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页平面向量基础知识复习2 反，当0时，0arr，注意：0ar. 五、平面向量的数量积1. 两个向量的夹角：对于非零向量ar，br，作 OAau uu rr，OBbuuu rr，则把(0)AOB称为向量 ar， br的夹角
7、. 当0时，ar，br同向；当时，ar，br反向；当2时， ar，br垂直 .2. 平面向量的数量积：如果两个非零向量ar，br，它们的夹角为，我们把数量| cosabrr叫做 ar与 br的数量积（或内积或点积），记作： a brr，即| |cosa babrrrr. 规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量. 举例 4 （1）ABC中，|3ABuu u r，|4ACuu ur，| 5BCuu u r，则AB BCu uu ru uu r_. 结果：9. （2）已知11,2ar，10,2br，cakbrrr，dabrrr，cr与dr的夹角为4，则k _. 结果
8、： 1. （3）已知|2ar，|5br，3a brr，则|abrr_. 结果：23. （4）已知,a br r是两个非零向量，且| | |ababrrrr，则ar与abrr的夹角为 _. 结果：30o. 3. 向量 br在向量 ar上的投影：| cosbr，它是一个实数，但不一定大于0. 举例 5 已知|3ar，|5br，且12a brr，则向量ar在向量br上的投影为 _. 结果：125. 4. a brr的几何意义 ：数量积 a brr等于 ar的模 |ar与 br在 ar上的投影的积 .5. 向量数量积的性质：设两个非零向量ar， br，其夹角为，则：（ 1）0aba brrrr；（ 2
9、）当 ar、 br同向时，| |a babrrrr，特别地，222|aa aaaarrrrrr；| |a babrrrr是 ar、 br同向的 充要分条件 ；当 ar、 br反向时，| |a babrrrr，| |a babrrrr是 ar、 br反向的 充要分条件 ；当为锐角时，0a brr，且 ar、 br不同向，0a brr是为锐角的 必要不充分条件；当为钝角时，0a brr，且 ar、 br不反向；0a brr是为钝角的 必要不充分条件.（ 3）非零向量ar， br夹角的计算公式：cos|a babrrrr；|a babrrrr.举例 6 （1）已知( ,2 )ar，(3,2)br，如
10、果ar与br的夹角为锐角，则的取值范围是 _. 结果：43或0且13；（2）已知OFQ的面积为S，且1OFFQu uu ru uu r，若1322S，则OFuuu r，FQuuu r夹角的取值范围是 _. 结果：,43；（3）已知(cos ,sin )axxr，(cos ,sin)byyr，且满足|3 |kabakbrrrr（其中0k）. 用k表示a brr；求a brr的最小值，并求此时ar与br的夹角的大小 . 结果：21(0)4ka bkkrr；最小值为12，60o. 六、向量的运算1. 几何运算（ 1）向量加法运算法则：平行四边形法则；三角形法则. 运算形式：若ABauu u rr，
11、BCbuu u rr，则向量ACu u u r叫做 ar与br的和，即 abABBCACuu u ru u u ruuu rrr；作图：略 .注：平行四边形法则只适用于不共线的向量. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页平面向量基础知识复习3 （ 2）向量的减法运算法则：三角形法则. 运算形式：若ABau u u rr， ACbuu u rr，则 abABACCAu u u ru uu ru u u rrr，即由减向量的终点指向被减向量的终点 . 作图：略 . 注：减向量与被减向量的起点相同. 举例 7 （1） 化简：
12、ABBCCDuu u ruuu ru uu r；ABADDCuu u ruu u ruuu u r；()()ABCDACBDuu u ruuu ruuu ruuu r . 结果：ADuuu r；CBuu u r；0r；（2）若正方形ABCD的边长为 1，ABauu u rr，BCbu uu rr，ACcu uu rr，则|abcrrr . 结果：22；（3）若O是ABC所在平面内一点，且满足2OBOCOBOCOAu uu ru uuru uu ruu u ru uu r，则ABC的形状为. 结果：直角三角形；（4）若D为ABC的边BC的中点，ABC所在平面内有一点P，满足0PABPCPuu u
13、 ruu u ruu u rr，设|APPDu uu ruu u r，则的值为 . 结果： 2；（5）若点O是ABC的外心，且0OAOBCOu uu ruu u ruuu rr，则ABC的内角C为 . 结果：120o. 2. 坐标运算 ：设11(,)ax yr，22(,)bxyr，则（ 1）向量的加减法运算：1212(,)abxxyyrr，1212(,)abxxyyrr.举例 8 （1）已知点(2,3)A，(5,4)B，(7,10)C，若()APABACRuuu ru uu ruu u r，则当_时，点P在第一、三象限的角平分线上 . 结果：12；（2）已知(2,3)A，(1,4)B，且1(s
14、in,cos )2ABxyuuu r，,(,)22x y，则xy .结果：6或2；（3） 已知作用在点(1,1)A的三个力1(3,4)Fu u r，2(2, 5)Fu u r，3(3,1)Fu u r， 则合力123FFFFu u ruu ruu ruu r的终点坐标是 . 结果：(9,1). （ 2）实数与向量的积：1111(,)(,)axyxyr.（ 3）若11(,)A x y，22(,)B xy，则2121(,)ABxxyyuuu r，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 举例 9 设(2,3)A，( 1,5)B，且13ACABuu u ruu u r，3A
15、DABuu uru uu r，则,C D的坐标分别是 _. 结果：11(1,),( 7,9)3. （ 4）平面向量数量积：1212a bx xy yrr. 举例 10 已知向量(sin ,cos )axxr，(sin ,sin)bxxr，( 1,0)cr. （1）若3x，求向量ar、cr的夹角；（2）若3,84x，函数( )f xa brr的最大值为12，求的值 .结果：（1）150o； （2）12或21. （ 5）向量的模 ：222222|aaxyaxyrrr. 举例 11 已知,a brr均为单位向量，它们的夹角为60o，那么|3 |abrr . 结果：13. （ 6）两点间的距离：若11
16、(,)A xy，22(,)B xy，则222121|()()ABxxyy. 举例 12 如图，在平面斜坐标系xOy中，60 xOyo，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OPxeyeuu u rrr，其中12,e err分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为( ,)x y. （1）若点P的斜坐标为(2, 2)，求P到O的距离|PO；（2）求以O为圆心， 1 为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程 . 结果： （1）2； （2）2210 xyxy. 七、向量的运算律1. 交换律： abbarrrr，()()aarr， a bb arrrr；2. 结合律：()abcabc
17、rrrrrr，()abcabcrrrrrr，()()()a ba babrrrrrr；3. 分配律： ()aaarrr，()ababrrrr，()abca cb crrrrrrr. 举例 13 给出下列命题：()abca ba crrrrrrr；()()ab ca bcrrrrrr；222()|2|abaabbrrrrrr；Oxy60o精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页平面向量基础知识复习4 若0a brr， 则0arr或0brr； 若a bcbrrrr则acrr； 22|aarr； 2a bbaarrrrr； 22
18、2()a babrrrr； 222()2abaa bbrrrrrr. 其中正确的是 . 结果： . 说明： （1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除( 相约) ；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()ab ca bcrrrrrr，为什么？八、向量平行( 共线 )的充要条件221212/ /()(|)0aba ba babx yy xrrrrrrrr.举例 14 (1)若向量( ,1)axr，(4,)bxr，当x_时，ar与b
19、r共线且方向相同 . 结果： 2. （2）已知(1,1)ar，(4, )bxr，2uabrrr，2vabrrr，且/ /uvrr，则x . 结果： 4. （3）设( ,12)PAku u u r，(4,5)PBu uu r，(10, )PCku uu r，则k _ 时，,A B C共线. 结果：2或 11. 九、向量垂直的充要条件12120| |0aba bababx xy yrrrrrrrr.特别地|ABACABACABACABACuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r. 举例 15 (1)已知( 1,2)OAuu u r，(3,)OBmu uu r
20、，若OAOBuu u ru uu r，则m .结果：32m；（2）以原点O和(4,2)A为两个顶点作等腰直角三角形OAB，90B，则点B的坐标是 .结果： (1,3) 或（ 3， 1） ） ；（3）已知( , )na br向量nmrr，且| |nmrr，则mr的坐标是 .结果：( ,)ba或(, )b a. 十、线段的定比分点1. 定义：设点P是直线12PP 上异于1P 、2P 的任意一点， 若存在一个实数，使12PPPPuuu ruuur，则实数叫做点P分有向线段12PPuuuu r所成的比，P点叫做有向线段12P Puuuu r的以定比为的定比分点. 2.的符号与分点P的位置之间的关系（
21、1）P内分线段12P Puuuu r，即点P在线段12PP 上0；（ 2）P外分线段12P Puuuu r时，点P在线段12PP 的延长线上1，点P在线段12PP 的反向延长线上10 . 注： 若点P分有向线段12PPuu uu r所成的比为，则点P分有向线段2 1P Puu uu r所成的比为1. 举例 16若点P分ABuu u r所成的比为34，则A分BPu uu r所成的比为 . 结果：73. 3. 线段的定比分点坐标公式：设111(,)P x y，222(,)P xy，点( , )P x y 分有向线段12PPuuuu r所成的比为，则定比分点坐标公式为1212,1(1).1xxxyy
22、y. 特别地，当1时，就得到线段12PP 的中点坐标公式1212,2.2xxxyyy说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确( , )x y，11(,)xy、22(,)xy的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标. （2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比. 举例 17（1）若( 3, 2)M，(6, 1)N，且13MPMNu uu u ru uuu r，则点P的坐标为.结果：7( 6,)3；（2）已知( ,0)A a，(3,2)Ba，直线12yax与线段AB交于M，且2AMMBuuuu ru uu u r，则ar . 结果：或4. 精选学习
23、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页平面向量基础知识复习5 十一、平移公式如果点( , )P x y 按向量( , )ah kr平移至(,)P x y， 则,.xxhyyk； 曲线( , )0f x y按向量( , )ah kr平移得曲线(,)0f xh yk.说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例 18 （1）按向量ar把(2,3)平移到(1, 2)，则按向量ar把点( 7,2)平移到点 _. 结果：( 8,3)；（2）函数sin 2yx的图象按向量ar平移后，所
24、得函数的解析式是cos21yx，则ar_. 结果：(,1)4. 十二、向量中一些常用的结论1. 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2. 模的性质：| |abababrrrrrr. （ 1）右边等号成立条件：a brr、 同向或 a brr、 中有 0r| |ababrrrr；（ 2）左边等号成立条件：a brr、 反向或 a brr、 中有 0r| |ababrrrr；（ 3）当 a brr、 不共线| |abababrrrrrr. 3. 三角形重心公式在ABC中 ， 若11(,)A x y，22(,)B xy，33(,)C xy， 则 其 重 心 的 坐 标 为12312
25、3(,)33xxxyyyG.举例 19 若ABC的三边的中点分别为(2,1)A、( 3,4)B、( 1, 1)C，则ABC的重心的坐标为 .结果：2 4,3 3. 5. 三角形“三心”的向量表示（ 1）1()3PGPAPBPCGuu u ru uu ruuu ru u u r为ABC 的重心，特别地0PAPBPCGuu u ru uu ruu u rr为ABC 的重心 . （ 2） PA PBPB PCPC PAPuu u r uu u ru uu r u uu ru uu r u u u r为ABC 的垂心 . （ 3）|0ABPCBCPACAPBPuuuu ruuu ruuuu ruuu
26、ruuu u ruuu r为ABC 的内心； 向量(0)|ABACABACuuu ruuu ruuuu ruuuu r所在直线过ABC 的内心 . 6. 点P分有向线段12P Puuuu r所成的比向量形式设点P分有向线段12PPuuuu r所成的比为，若M为平面内的任一点，则121MPMPMPuu uu ruuu u ruu ur，特别地P为有向线段12P Puuuu r的中点122MPMPMPu uu u ru u uu ru uu r.7.向 量,PA PB PCuuu r uuu r uuu r中 三 终 点, ,A B C 共 线存 在 实 数,， 使 得PAPBPCuuu ruuu ruuu r且1举例20 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点(3,1)A，( 1,3)B，若点C满足12OCOAOBu uuruu u ru uu r, 其中12,R且121, 则点C的轨迹是 . 结果：直线AB. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页