2022年工程数学期末复习.docx

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1、精品学习资源工程数学（本）期末复习指导第一部分课程考试的有关说明（一） 考核对象中心广播电视高校理工类开放训练专升本土木工程专业及水利水电工程专业的同学；（二） 命题依据本课程的命题依据是中心广播电视高校工程数学（本）课程教案大 纲要求；内容包括 线性代数 和概率论与数理统计两部分；教材是由李林曙等编高校数学-线性代数，高校数学-概率论与数理统计（均由中心广播电视高校出版社出版）； 三命题原就本课程的考试命题在教案大纲规定的教案目的、教案要求和教案内容的范畴之内； 四试卷类型及结构1、期末考试卷型：试卷类型分为单项挑选题、填空题和解答题单项挑选题的形式为 四选一，即在每题的四个备选答案中选出一

2、个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不 必写出运算过程和推理过程；解答题包括运算题、应用题或证明题等，解答题要求写出文 字说明，演算步骤或推证过程三种题型分数的百分比为：单项挑选题15%，填空题15，解答题 702、考核形式 : 闭卷笔试，考试时不得携带除书写用具以外的任何工具3、答题时限 : 期末考试的答题时限为90 分钟；其次部分 题型讲解一单项挑选题应试单项挑选题是电大考试的常见题型，特别是注册视听生的考试，单项挑选题占40， 所以，熟悉，学会解单项挑选题是挺重要的单项挑选题的特点是题量大，学问的掩盖面宽，信息量多，答案也告知了大家，应试时间短目的是考核同学的基本概念、基本的学问和极简

3、洁的运算的把握程度和娴熟程 度常用方法有1. 直接推导法 就是根据题目的已知条件或结论，采纳常规的解题程序，运用概念、定理、法就等，经过分析或运算，得出正确结果，推出正确选项如欢迎下载精品学习资源120242364122矩阵 A A 0 B 1 C 2 D 3的秩是 欢迎下载精品学习资源求矩阵的秩，就是将矩阵化为阶梯形矩阵，数一数有几个非0 行简洁看出，矩阵的第 1 行的 2倍加到第 2 行上，第 2 行变为 0 行，可见矩阵的阶梯形有2 个非 0 行应选项（ C）正确2. 排除法 （挑选法或剔除法）由已知条件和选项，通过观测、分析或简洁运算，把不行能成立的选项排除，剩下的选项为应选的选项排除

4、法有完全排除法和部分排除法而常用的是部分排除法，缩小选欢迎下载精品学习资源择范畴，再协作其它方法如某商品的需求弹性为Ep bpb0 那么当价格 p 提高 1时，需求量将会 削减 bp B 增加 bp C 增加 bp% D 削减 bp%需求弹性是需求量的相对变化和价格的相对变化比的极限，带负号而实际意义也是价格提高，需求量会削减故增加的两个选项应当排除，在选项A 和D 中选一又需求弹性是两个相对量的比，因此，当价格p 提高 1时，需求量的削减量也应是百分比选项 A 被排除，选项（ D ）正确3. 验证法把所给选项的结果，一一代入题设条件进行验证，或验算已知条件是否满意选项，从而得到正确选项如欢迎

5、下载精品学习资源22x dx积分 1ln 222 x 1Cln 222x 1C1ln 22 2xC欢迎下载精品学习资源(A) 22x CBCD欢迎下载精品学习资源由于只有ex 的导数或积分才是ex +C ，现在的指数底是“ 2，”应选项 A 排除将选项欢迎下载精品学习资源(B) 求导，得1ln 22 2x12ln 222x，可见应当选 B 欢迎下载精品学习资源线性方程组部分的单项挑选题，判定选项是不是解，用验证法也较好单项挑选题在考试中占有较大比例，也的确是，单项挑选题看来很简洁，只有2 分， 但是解题的方法许多要求大家对单项挑选题引起足够的重视二填空题应试填空题也是考核同学们的基本概念、基本

6、理论和基本运算的把握程度填空题的解题方式比较单纯，一般采纳直接摸索的方法填空题相当一个命题，要么填条件，要么填结论，当然，也可能填写中间某个过程要求大家记好定义、定理、公式、法就以及重要结论等如曲线 y=x3 2x+1 在点 0， 1处的切线的斜率切线斜率即导数的几何意义故先求导数，再将值代入导数y 3x2 2，当 x=0时， y=2曲线 y=x3 2x+1 在点 0， 1处的切线的斜率是 2这是个简洁运算题，当然填空题与概念亲密相关三运算题应试运算题是电大考试的重要题型，运算题的分数所占比重也比较大它主要考核同学的基本的运算才能和速度这就需要大家多做习题，提高自己的运算才能当然，在做运算题的

7、过程中，概念清晰、定理和公式记熟是很重要的运算题主要集中在1 求逆矩阵的初等行变换法；2 求正态总体期望的置信区间的方法3 把握用配方法化二次型为标准形的方法；4 概率运算 大事的概率，随机变量取值的概率和正态分布的概率和期望、方差的运算； 5 矩阵的运算 （加法、数乘、乘法、转置、求逆矩阵、求秩等）；6 求解线性方程组 （线性方程组解的情形判别、求线性方程组的一般解）我们学习了四编的内容，各编的运算题都有自己的特点和解题方法辅教材中 “跟我学解题 ”的 分析 、 归纳 基本上是对习题特点的分析和解题方法小结另外，附欢迎下载精品学习资源录的 “解题方法和应答分析 ”对解题方法做了一些归纳，大家

8、应当仔细阅读四应用题应试应用题主要考核同学运用所学的概念、理论、公式和法就，分析和解决实际问题的才能应用题主要指数理统计基础部分的应用题：如求正态总体期望的置信区间的方法，求单正态总体均值的检验方法，作单正态总体方差的检验等；应用题带有综合性，前边讲过的学问和解题方法，都应当是做应用题的前提，把它们把握好五证明题应试证明题考核同学运用概念、性质、定理及重要结论等进行论证和规律推理的才能我们这课所涉及的主要证明题方面有： 1. 大事独立性，随机变量期望、方差的有关证明； 2.矩阵可逆、可交换，特别矩阵的证明； 3. 线性方程组解的证明 .证题方法一般有二：其一：是验证由运算结果，代入看是否满意等

9、式其实是运算题如给定函数，验证函数的导数满意某等式其二，由已知条件动身，分析、推断，最终得到结论；或由结论入手，经过分析，运用已知条件，推出所求结论写出证明过程证明题经常遇见证明 “充分必要条件 ”的问题，必要条件是某结论成立必需具备的条件，但不是充分的；充分条件是某结论的完备条件，即此条件成立，就结论必成立如期末考试，“参与考试 ”是“考试通过 ”的必要条件， 要想 “考试通过 ”就必需参与考试，但参与考试，不肯定就能通过“得 100 分”是“考试通过”的充分条件但 “考试通过 ”不肯定必需得100 分 “考试通过 ”的充分必要条件是 “得 60 分”任何一门学科，解决问题的方法一般没有一成

10、不变的固定方法题目类型五花八门， 解题方法也是各式各样学习方法不能靠登记来，一劳永逸而是懂得实质，要把握好各种解题方法，唯独方法是多做练习，不断总结，增强记忆第三部分复习重点及例题重点 ：把握利用性质运算行列式的方法；娴熟把握求逆矩阵的初等行变换法，会用相伴矩阵法求逆矩阵，把握求解简洁的矩阵方程的方法；娴熟把握用矩阵初等行变换方法判定齐次与非齐次线性方程组解的存在性和惟一性；娴熟把握齐次线性方程组基础解系和通解的求法；把握用配方法化二次型为标准形的方法；娴熟把握概率的加法公式和乘法公式，把握条件概率和全概公式；娴熟把握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差；会参数的矩估量法，

11、把握参数的最大似然估量法；娴熟把握求正态总体期望的置信区间的方法；娴熟把握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验；例题 :一、单项挑选题欢迎下载精品学习资源1. 设1AB1BABAB1A1B1AB1ABD A111B1A1B1A CA, B 均为 n阶可逆矩阵，就以下等式成立的是欢迎下载精品学习资源正确答案： Ax1x2a12方程组x1x2x3x3a 2 相容的充分必要条件是 ，其中 ai0 ，a3i1, 2, 3 欢迎下载精品学习资源A a1a2a3C a1a2a30 B a10 D a2a30a1a2a30欢迎下载精品学习资源正确答案： B11欢迎下载精品学习资源3 设矩阵A的

12、特点值为 0， 2，就 3A 的特点值为 欢迎下载精品学习资源11A 0， 2 B 0， 6 C 0， 0D 2，6正确答案： B4.设 A， B 是两大事，就以下等式中（）是不正确的A. P ABP A PB ，其中 A， B 相互独立欢迎下载精品学习资源B. P ABP B PA B ，其中P B0欢迎下载精品学习资源C. P ABP A PB ，其中 A， B 互不相容欢迎下载精品学习资源D. P ABP AP B A ，其中P A0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源正确答案： C5如随机变量X 与 Y 相互独立，就方差D 2 X3Y =（）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源

13、A 2 D X 3D Y B 2 D X 3 DY欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源C 4 D X 正确答案： D9 D YD 4 D X 9 DY欢迎下载精品学习资源6设 A 是 mn 矩阵， B 是 st 矩阵，且AC B有意义，就 C 是 矩阵欢迎下载精品学习资源A nsB snC mt D tm欢迎下载精品学习资源正确答案： B7如 X1、X2 是线性方程组 AX=B 的解，而是 AX=B 的解1、 2 是方程组 AX = O的解，就（）欢迎下载精品学习资源1A 1 X23312X 2 B1332 C X 1X 2 D X 1X 2欢迎下载精品学习资源正确答案： A311欢迎下载

14、精品学习资源8 设矩阵 A201112，就 A的对应于特点值2 的一个特点向量=欢迎下载精品学习资源1110A0B 0C1D01101正确答案： C欢迎下载精品学习资源9.以下大事运算关系正确选项（）欢迎下载精品学习资源A BBABA B BBABA C BBAB A D B1B欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源正确答案： A10如随机变量X N 0,1 ，就随机变量 Y3 X2 （）欢迎下载精品学习资源A N 2,3B N 4,3C N4,32 D N2,32 欢迎下载精品学习资源2正确答案： D欢迎下载精品学习资源11. 设x1, x2, x3是来自正态总体N, 的样本，就（）是的无

15、偏估量欢迎下载精品学习资源12A 2 x2 x 552x3 B x1x2x35欢迎下载精品学习资源11Cx1x2553111x3Dx1x2x3 5555欢迎下载精品学习资源正确答案： C12. 对给定的正态总体N,2 的一个样本 x1, x2 , xn ，未知，求的置信欢迎下载精品学习资源2区间，选用的样本函数听从（）A 2 分布B t 分布C指数分布D 正态分布正确答案： B二、填空题112欢迎下载精品学习资源1. 设f x112x 21x22 ，就4f x0 的根是欢迎下载精品学习资源应当填写： 1, 1,2, 2欢迎下载精品学习资源2. 设向量可由向量组1 ,2 ,n 线性表示，就表示方

16、法唯独的充分必要条件是欢迎下载精品学习资源1,2 ,n 欢迎下载精品学习资源应当填写：线性无关3. 如大事 A， B 满意 AB ，就 P（ A -B） = 欢迎下载精品学习资源应当填写： P APBk,0x1欢迎下载精品学习资源4设随机变量的概率密度函数为4应当填写：f x1x 20 ,其它，就常数 k =欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5 如样本x1,x2 , xn来自总体X N 0, 1 ，且 x1 nxin i 1，就 x 欢迎下载精品学习资源应当填写：N 0, 1 n欢迎下载精品学习资源3866行列式512的元素a21 的代数余子式A21 的值为 =107欢迎下载精品学习资源

17、应当填写 -567设三阶矩阵 A 的行列式A应当填写： 21 ，就 A 1 =2欢迎下载精品学习资源8 如向量组：1应当填写：221， 2203 ， 31030，能构成 R 一个基，就数kk2欢迎下载精品学习资源9设 4 元线性方程组 AX=B有解且 r （ A） =1，那么 AX=B 的相应齐次方程组的基础解系含有个解向量应当填写： 310 设 A , B 互不相容，且 P A0 ，就 P B A欢迎下载精品学习资源应当填写： 011如随机变量X U 0 , 2 ，就D X 欢迎下载精品学习资源应当填写： 13欢迎下载精品学习资源12 设 .是未知参数的一个估量，且满意应当填写：无偏三、运算

18、题E .，就 .称为的估量欢迎下载精品学习资源2311231设矩阵 A解：（ 1）由于所以 ABA00AB102002 1131011, B1111210121122，求：（ 1） AB ；（ 2） A1（ 2）由于AI200311101100010001123011B112112012012欢迎下载精品学习资源2301010100111000101 / 203 / 2111欢迎下载精品学习资源001001001001欢迎下载精品学习资源所以A 11 / 2003 / 210x11113 x23x32 x4x50欢迎下载精品学习资源2求齐次线性方程组2 x1x16 x23 x29 x33 x3

19、5 x43 x52 x50 的通解0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1332113321解： A=26953003111333231021030016020031100310000010000113欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源一般解为x13x2x1x343x4，其中 x2， x4 是自由元欢迎下载精品学习资源x50欢迎下载精品学习资源令 x2 = 1 ， x4 = 0 ，得 X1 = 3, 1,0, 0, 0 ；欢迎下载精品学习资源x2 = 0 ， x4 = 3 ，得 X2 = 3, 0,1, 3, 0欢迎下载精品学习资源所以原方程组的一个基础解系为X 1， X2 欢迎下载

20、精品学习资源原方程组的通解为：k1 X 1k2 X 2 ，其中 k1，k2 是任意常数欢迎下载精品学习资源3 设随机变量X N 4, 1 （ 1）求P X42 ；（ 2）如欢迎下载精品学习资源P Xk0.9332 ，求 k 的值（已知欢迎下载精品学习资源 20.9775,10.8413,1.50.9332 ）欢迎下载精品学习资源解：（ 1） P X42 1P X42欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源= 1 P 2X42 1（22 ）欢迎下载精品学习资源= 2（ 12 ） 0.045 欢迎下载精品学习资源（ 2）P XkP X4k4欢迎下载精品学习资源 1P X4k4欢迎下载精品学习资源

21、1k40.93321.5欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 k411.5 1.5欢迎下载精品学习资源即k 4 = -1.5， k 2.5 4 某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长听从正态分布，且其平均长度为10.5 cm ，标准差为 0.15cm. 从一批产品中随机地抽取4 段进行测量，测得的结果如下：（单位： cm）欢迎下载精品学习资源10.4 ， 10.6 ， 10.1 ，10.4欢迎下载精品学习资源问：该机工作是否正常0.05 ,u0.9751.96 ？欢迎下载精品学习资源解：零假设H 0 :10.5 . 由于已知0.15 ，应选取样本函数欢迎下载精品学习资源UxnN 0, 1

22、欢迎下载精品学习资源经运算得 x10.375 ，n0.154x0.075 ，10.37510.51.67欢迎下载精品学习资源0.075n欢迎下载精品学习资源由已知条件 u121.96 ，且xn1.671.9612欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故接受零假设，即该机工作正常.01015已知矩阵方程XAXB ，其中A111， B2103510，求 X 3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：由于 IA XB ，且欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源110100110100欢迎下载精品学习资源 IAI 10101001111010200101210110101100即 I1A010

23、0021001012101111001011212111021111301011121202401153330欢迎下载精品学习资源所以 X IA 1 B欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源6. 设向量组11，2，4,1 ， 2 4，8， 16, 4 ， 3 3，1， 5, 2 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源42，3，1,解：由于1 ，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组欢迎下载精品学习资源1428416143213（ 1234 ） =5121欢迎下载精品学习资源14321432005700110077000200110000欢迎下载精品学习资源所以， r 1 ,2 ,3,

24、4 = 3欢迎下载精品学习资源它的一个极大线性无关组是x113x2,3 ,2x34 （或02 ,3 ,4 ）欢迎下载精品学习资源7. 设齐次线性方程组2 x1 3x15 x28 x23 x3 x30 ，为何值时方程组有非零解？在有非零0欢迎下载精品学习资源解时，求出通解解：由于132132101A =25301101138016005欢迎下载精品学习资源当50 即5 时，r A3 ，所以方程组有非零解x1x3欢迎下载精品学习资源方程组的一般解为：x2x3，其中x3 为自由元欢迎下载精品学习资源令 x3 =1 得 X1= 1, 1, 1 ，就方程组的基础解系为 X1 通解为 k1X1，其中 k1

25、 为任意常数8罐中有 12 颗围棋子，其中 8 颗白子， 4 颗黑子如从中任取3 颗，求：（ 1）取到3 颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到 3 颗棋子颜色相同的概率欢迎下载精品学习资源解：设A1 =“取到 3 颗棋子中至少有一颗黑子”，A2 =“取到的都是白子”，A3 =“取到欢迎下载精品学习资源的都是黑子”， B = “取到 3 颗棋子颜色相同”，就欢迎下载精品学习资源（ 1） P A1 1P A1 C 31PA2 欢迎下载精品学习资源C11380.255120.745 欢迎下载精品学习资源（ 2）PBP A2A3 P A2 P A3 欢迎下载精品学习资源0.2553C34C120.

26、2550.0180.273 欢迎下载精品学习资源9设随机变量X N（ 3， 4）求：（ 1）P（ 1 X 7 ）；（ 2）使 P（X a） =0.9 成欢迎下载精品学习资源立的常数 a 1.00.8413，1.280.9 ， 2.00.9973 欢迎下载精品学习资源解：（ 1） P（ 1 X 7 ） = P 132X373 22欢迎下载精品学习资源=P1X32 =221欢迎下载精品学习资源= 0.9973 + 0.8413 1 = 0.8386欢迎下载精品学习资源（ 2）由于 P（ X a） = P X32a3 =2 a3 = 0.92欢迎下载精品学习资源所以a321.28 ， a = 3 +

27、21.28 =5.56欢迎下载精品学习资源10从正态总体N（， 9）中抽取容量为 64 的样本，运算样本均值得x = 21 ，求欢迎下载精品学习资源的置信度为 95%的置信区间 已知u0.9751.96 欢迎下载精品学习资源解：已知3 ，n = 64 ，且 uxN 0 , 1n欢迎下载精品学习资源由于 x = 21 ， u121.96 ，且欢迎下载精品学习资源u1 2n1.9630.73564欢迎下载精品学习资源所以，置信度为 95%的的置信区间为：欢迎下载精品学习资源 xu12, xun1 220.265 , 21.735 n欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源四、证明题1. 设 A是

28、n 阶矩阵，如A3 = 0 ，就 IA 1IAA2 欢迎下载精品学习资源证明 ：由于 IA IAA2 欢迎下载精品学习资源=IAA2AA2A3=IA3 =I欢迎下载精品学习资源所以 IA 1IAA2欢迎下载精品学习资源2. 设 n 阶矩阵 A 满意 AI AI 0 ，就 A 为可逆矩阵欢迎下载精品学习资源证明 ： 由于 AI AI A2I0 ，即 A2I欢迎下载精品学习资源所以， A 为可逆矩阵欢迎下载精品学习资源3. 设向量组1 ,2 ,3 线性无关，令112 2 ， 23 22 3 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3431 ，证明向量组1 ,2 ,3 线性无关；欢迎下载精品学习资

29、源证明 ：设 k11k22k330 ，即欢迎下载精品学习资源k1 k112k3 2 k 2 312k1223k2 23k3 42k 23104k330k1k30欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由于 1 ,2 ,3 线性无关，所以2k1 2k23k204k30欢迎下载精品学习资源解得 k1=0,k2=0,k3=0，从而1 ,2 ,3 线性无关欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4. 设 A, B 为随机大事，试证：P A证明 ：由大事的关系可知P ABP AB欢迎下载精品学习资源AAUA BBABAB ABAB欢迎下载精品学习资源而 ABAB，故由概率的性质可知欢迎下载精品学习资源P AP ABP AB欢迎下载精品学习资源欢迎下载