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1、精品学习资源微分学部分综合练习一、单项挑选题欢迎下载精品学习资源1. 函数 yxlg x的定义域是（）1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A. x1B. x0C. x0D. x1 且x0欢迎下载精品学习资源分析；求定义域得关键是记住求定义域的三条原就！欢迎下载精品学习资源lg x10x0, 答案选 D,作业四的第一小题这类型要会做；欢迎下载精品学习资源x10x1欢迎下载精品学习资源2. 以下各函数对中，（）中的两个函数相等x21欢迎下载精品学习资源A. f xx 2 ， g xxB. fx， g xx1x + 1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源C. yln x 2，g x2 ln
2、 xD. f xsin2 xcos2x ， g x1欢迎下载精品学习资源分析：解答此题的关键是要留意先看定义域，后看对应关系，只有定义域相同时，才能化简后再看对应关系；只有两者都相同，两个函数猜是相同的函数；欢迎下载精品学习资源3. 设f x1，就 f fx x（）欢迎下载精品学习资源A 1B 1xx 2C xD x2欢迎下载精品学习资源、 解：由于 f 1, 所以， f f x1x 1x欢迎下载精品学习资源4. 以下函数中为奇函数的是（）欢迎下载精品学习资源A. yx2x B yexe xC yln x x1 D y1x sin x欢迎下载精品学习资源分析：留意利用奇偶函数的运算性质（见讲课
3、笔记），然后利用排除法知，答案是 C.欢迎下载精品学习资源5. 已知f xx tan x1 ，当（）时，f x为无穷小量 .欢迎下载精品学习资源A. x0B. x1 C. xD. x欢迎下载精品学习资源分析：lim f xlimx10 ，应选 A. 考试当然可以改成欢迎下载精品学习资源x0x0 tan x欢迎下载精品学习资源f xsin x x1，此题涉及到了重要极限 1.欢迎下载精品学习资源6. 当 x时，以下变量为无穷小量的是（）欢迎下载精品学习资源x 2A. B ln1x1C e x2D sin x欢迎下载精品学习资源x分析：1limsin xlim1 sin xx0 ，由“无穷小量与有
4、界变量的乘积，结果欢迎下载精品学习资源x+xx+x是无穷小量”这一性质得出结果，答案选D.欢迎下载精品学习资源7. 函数f xsin x , x x0 在 x = 0 处连续，就 k = c欢迎下载精品学习资源k, x0A-2B-1C1D 2欢迎下载精品学习资源8. 曲线 y1在点（ 0, 1）处的切线斜率为（）x1欢迎下载精品学习资源A 1B 1C1D1欢迎下载精品学习资源222 x1 32 x13欢迎下载精品学习资源分析：此题考导数的几何意义，导数是曲线切线的斜率，求切线的斜率就是求导数 .欢迎下载精品学习资源9. 曲线ysinx 在点0, 0处的切线方程为（）欢迎下载精品学习资源A. y
5、 = xB. y = 2xC. y =1 xD. y = -x2欢迎下载精品学习资源分析： ycos x, y 0cos01, y01x0, 故yx欢迎下载精品学习资源记住点斜式直线方程：yy0kxx0, 其中的kf x0 是斜率 ，作业一有着类欢迎下载精品学习资源题要会做；10. 设 ylg2 x ，就 d y（）欢迎下载精品学习资源A. 1 2 xdxB1dx x ln10C ln10 dxxD 1 dxx欢迎下载精品学习资源11. 以下函数在指定区间 , 上单调增加的是（）A sinxB e xCx 2D3 - x欢迎下载精品学习资源12. 设需求量 q 对价格 p 的函数为q p32p
6、 ，就需求弹性为 Ep=（）欢迎下载精品学习资源pA32ppB32p32pCp32pDp欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源二、填空题x2,5x0欢迎下载精品学习资源1. 函数 f xx21,0x的定义域是2欢迎下载精品学习资源分析：分段函数的定义域就是把连段x 的取值并起来；欢迎下载精品学习资源2. 函数f xln x51的定义域是2x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源分析：x50x5函数定义域（-5.2）欢迎下载精品学习资源2x0x2欢迎下载精品学习资源3. 如函数f x1x 22x5 ，就f x欢迎下载精品学习资源解：令x1t就xt1,欢迎下载精品学习资源于是ft t122t1
7、5t22t12t25t 26,故f xx26欢迎下载精品学习资源此题是重点考题类型；欢迎下载精品学习资源4. 设f x10 x10 x2，就函数的图形关于对称欢迎下载精品学习资源分析：要知道奇偶函数的图像特点（见讲课笔记），此题是偶函数；欢迎下载精品学习资源x5. limxsin x.x欢迎下载精品学习资源分析：lim xxsin x xlim1xsinxx 101 留意与作业题的区分欢迎下载精品学习资源lim xsin xlim1sinx110欢迎下载精品学习资源x0xx0x欢迎下载精品学习资源6. 已知f xsin1xx，当时，f x为无穷小量欢迎下载精品学习资源分析：同前单项题 57.
8、曲线 yx 在点 1, 1 处的切线斜率是分析：求斜率就是求导数欢迎下载精品学习资源8. 函数 y3 x12 的驻点是 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源分析：导数为零的点称函数的驻点，令y6x10,解得驻点 x1欢迎下载精品学习资源9. 需求量 q 对价格 p 的函数为q p100pe 2 ，就需求弹性为 Ep欢迎下载精品学习资源pp1pp欢迎下载精品学习资源解：Epq p100e 2 欢迎下载精品学习资源pq p2100e 22欢迎下载精品学习资源三、运算题（ 通过以下各题的运算要娴熟把握导数基本公式及复合函数求导法就！这是考试的 10 分类型题 ）欢迎下载精品学习资源1已知 y2
9、 xcos x ，求xy x 2已知f x2x sin xln x ，求欢迎下载精品学习资源f x 欢迎下载精品学习资源3已知 ycos2x 2 cos xsin x2 ，求y x 4已知 ycos2 xln 3 xe 5x ，求y x 欢迎下载精品学习资源5已知 y5，求y e532；6设 yexx ，求 dy欢迎下载精品学习资源7设 ysin xcosx ，求 dy 8设 ytanx2 x ，求 dy 欢迎下载精品学习资源2四、应用题（ 以下的应用题必需娴熟把握！这是考试的20 分类型题 ）欢迎下载精品学习资源1设生产某种产品 x个单位时的成本函数为：C x1000.25x6x （万欢迎下
10、载精品学习资源元） ,求：（ 1）当 x10 时的总成本、平均成本和边际成本；欢迎下载精品学习资源（ 2）当产量 x 为多少时，平均成本最小？ 2某厂生产一批产品，其固定成本为2000 元，每生产一吨产品的成本为 60元，对这种产品的市场需求规律为 q100010 p （ q 为需求量， p 为价格）试求：（ 1）成本函数，收入函数；（ 2）产量为多少吨时利润最大？3. 某厂生产某种产品 q 件时的总成本函数为 Cq = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为 p = 14-0.01q（元/件），试求：2（1） ）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？欢迎下载精品学习资源
11、4. 某厂每天生产某种产品 q 件的成本函数为C q0.5q36 q9800（元） .为欢迎下载精品学习资源使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？欢迎下载精品学习资源25. 已知某厂生产 q 件产品的成本为 C q25020qq（万元）问：要使平欢迎下载精品学习资源10均成本最少，应生产多少件产品？最低的平均成本是多少？参考解答一、单项挑选题1D2 D3C4C5A6 D7C8 A9 A10B11 B12B二、填空题欢迎下载精品学习资源1 5,2 2-5, 2 3 x26 4y 轴欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源516 x07py 10.5 8 x192欢迎下载
12、精品学习资源三、运算题欢迎下载精品学习资源1. 解：y x2 xcos x2x ln 2xsin xcos x2 x ln 2xsin xcos x欢迎下载精品学习资源xx2x2欢迎下载精品学习资源2. 解 f x2 x ln 2sin x2 x cos x1 x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3. 解y xsin 2x 2x cosx 2 x2 2 x sin 2 x ln 22x cos x 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2 cos x4. 解：y x3ln 2xln xe 5 x 5x3 ln 2 x x5e 5 x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源55. 解：
13、 由于 y2 cos x5ln 52 cosx2sin x5ln 5欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 y 22 sin2 cos 522ln 52 cos x2 ln 5欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源6. 解： 由于 y2ecos2 x sin 2 x13 x 2 所以 dy 2 2ecos 2x sin 2x13 x 2 dx2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源47. 解： 由于 yesin x sin x5cos4xcos xesin x cos x5 cos 4xsin x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 dyesin x cosx5cosxsin
14、 xdx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源8. 解： 由于 y1cos2 x3 x3 2 x ln 2x3 x2cos 2 x32 x ln 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 dy3x 22 x ln 2 dx欢迎下载精品学习资源cos2 x 3欢迎下载精品学习资源四、应用题1. 解（1）由于总成本、平均成本和边际成本分别为：欢迎下载精品学习资源Cx1000.25x26x C x100x0.25x6 ， C x0.5 x6欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以，C101000.25102610185欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源C10100100.25106
15、18.5 ， C100.510611欢迎下载精品学习资源（2） ） 令 Cx100x 20.250 ，得 x20 （ x20 舍去）欢迎下载精品学习资源由于 x20 是其在定义域内唯独驻点，且该问题的确存在最小值，所以当x20 时，平均成本最小 .2解（1）成本函数 C q = 60q +20001欢迎下载精品学习资源由于 q100010 p ，即 p100q ， 10欢迎下载精品学习资源1所以收入函数 Rq = pq =10010q q =100q1 q2 10欢迎下载精品学习资源（2）利润函数 L q = R q - C q =100 q20001 q 2- 60 q +2000 = 40
16、q - 11010q 2 -欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1且 L q =40 q -10q 2 -2000 =40-0.2 q欢迎下载精品学习资源令 L q = 0，即 40- 0.2 q = 0，得 q = 200，它是 L q 在其定义域内的唯独驻点所以， q = 200 是利润函数 L q 的最大值点，即当产量为 200 吨时利润最大欢迎下载精品学习资源3. 解（ 1）由已知 Rqpq140.01q14q0.01q 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源利润函数 LRC14q0.01q2204q0.01q210q200.02q2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源就
17、L100.04q ，令 L100.04q0 ，解出唯独驻点 q250 .欢迎下载精品学习资源由于利润函数存在着最大值，所以当产量为250 件时可使利润达到最大，（2）最大利润为欢迎下载精品学习资源L25010250200.02250225002012501230（元）欢迎下载精品学习资源4. 解由于C qCq0.5 q369800 q0欢迎下载精品学习资源qq欢迎下载精品学习资源C q0.5 q369800 0.598002欢迎下载精品学习资源qq9800令C q0 ，即 0 .5q 2=0，得 q1 =140， q2 = -140（舍去） .q1 =140 是Cq 在其定义域内的唯独驻点，且
18、该问题的确存在最小值.所以 q1 =140 是平均成本函数 Cq 的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量欢迎下载精品学习资源应为 140 件. 此时的平均成本为C 1400.5140369800140176 （元/件）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5解（1）由于 Cq = C q = 25020q ， Cq = 25020q =2501欢迎下载精品学习资源qq10q10q10欢迎下载精品学习资源22令C q =0，即 25010 ，得 q150 ， q2=-50（舍去），欢迎下载精品学习资源q10q1 =50 是C q 在其定义域内的唯独驻点所以， q1 =50 是 Cq 的最小值
19、点，即要使平均成本最少，应生产50 件产欢迎下载精品学习资源品（2） C 50250205030 元/ 件）欢迎下载精品学习资源5010积分学部分综合练习题一、单项题1. 以下等式不成立的是（） 正确答案： A欢迎下载精品学习资源A. exdxdex B. sinxdxdcosx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源C. 1dxdx2xD. lnxdx1d x欢迎下载精品学习资源分析；解答此题的关键是记住几类常见的凑微分（见讲课笔记）x欢迎下载精品学习资源2. 如f xdxe 2c ，就 f x =（） .正确答案： D欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源xA. e 2B. 1 e2x2
20、 C.x1 e 24x1D.e 24欢迎下载精品学习资源xxxx解： f x e 2ce 2 1 1 e 2 ; f x1 e 2224留意：主要考察原函数和二阶导数，但考试关键是要知道fx 怎么求，即fx 的不定积分是 fx 的全体原函数，如下面的第 4 题；3. 以下不定积分中，常用分部积分法运算的是（）正确答案： C欢迎下载精品学习资源A cos2x1dx B x 1x 2 dx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源C xsin 2 xdx D1xdx1x 21欢迎下载精品学习资源4. 如f xe x dxe xc ，就 f x =（） 正确答案： C欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学
21、习资源A 1 B-x1 C 1xx 2D-1x 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1111111欢迎下载精品学习资源解： fxex（exc） =- ex ex ; f x欢迎下载精品学习资源x2x2x2欢迎下载精品学习资源5. 如F x 是f x的一个原函数，就以下等式成立的是 正确答案： B欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源xA. f xdxaF xxB. f xdxaF xF a欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源bC F xdxaf bf abD f xdxaF bF a欢迎下载精品学习资源6. 以下定积分中积分值为0 的是（） 正确答案： A欢迎下载精品学习资源1 e
22、xA1e xdx B21 exe xdx12欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源C x3cosxdx Dx 2sin xdx欢迎下载精品学习资源7. 以下定积分运算正确选项（） 正确答案： D欢迎下载精品学习资源1A2xdx162 Bdx15欢迎下载精品学习资源11欢迎下载精品学习资源2Csin2x dx0 Dsin xdx0欢迎下载精品学习资源分析：以上两题主要考察“奇函数在对称区间的定积分知为0”，这一点要记住！8. 以下无穷积分中收敛的是（） 正确答案： C欢迎下载精品学习资源A. ln1xdxB. ex dx01C1x 2 dxD1dx13 x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资
23、源解：11x2dx=- 1x11,故无穷积分收敛欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源9. 无穷限积分11x3 dx=（） 正确答案： C欢迎下载精品学习资源A0B1C21D.2欢迎下载精品学习资源解： 112113 dx=-x21x22 x12二、填空题欢迎下载精品学习资源1. de x 2 dx 应当填写：e x2 dx欢迎下载精品学习资源留意：主要考察不定积分与求导数（求微分）互为逆运算，肯定要留意是先积分后求导（微分） ,仍是先求导（微分）后积分；此题是先积分后微分，别忘了dx.欢迎下载精品学习资源2. 函数f xsin 2x 的原函数是 应当填写： -1 cos2x + c2欢迎下
24、载精品学习资源解： sin 2xdx1 cos 2 xC2欢迎下载精品学习资源3. 如 fx存在且连续，就 df x 应当填写：f x欢迎下载精品学习资源留意：此题是先微分再积分最终在求导；欢迎下载精品学习资源4. 如f xdxx1 2c ，就f x.应当填写：2 x1欢迎下载精品学习资源5. 如f xdxF xc ，就e x f ex dx =.应当填写：Fe x c欢迎下载精品学习资源留意：f dF C, 凑微分 exdxde x欢迎下载精品学习资源6. ddxeln x 211) dx.应当填写： 0欢迎下载精品学习资源留意：定积分的结果是“数值”，而常数的导数为0欢迎下载精品学习资源1
25、7积分21 xx1) 2 dx应当填写： 0欢迎下载精品学习资源留意：奇函数在对称区间的定积分为0欢迎下载精品学习资源08无穷积分1dx 是 应当填写：收敛的x12欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：0x112dx=-1x+1 01,故无穷积分收敛；欢迎下载精品学习资源三、运算题（ 以下的运算题要娴熟把握！这是考试的10 分类型题）欢迎下载精品学习资源x 241x2dx 解：x 24x2dx =x2dx = 1 x222xc欢迎下载精品学习资源2. 运算sin 1x dx 解：sin 1x dx1 1cos 1c欢迎下载精品学习资源3. 运算x22 x dx解：xx22 x dxxsi
26、n2 2 x ddxxxx22 xc ln 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4. 运算x sin xdx 解：xsin xdxx cosxcosxdxx cosxsin xc欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5. 运算 x1ln xdx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解： x1ln xdx = 12ln xd x12= 1 x 212 ln x1 x212xdx =欢迎下载精品学习资源1111x2欢迎下载精品学习资源 x12 ln x x2 dx x12 ln xxln xC =欢迎下载精品学习资源22x24欢迎下载精品学习资源1 x 222xlnxxxc 4211xx
27、11 21欢迎下载精品学习资源6. 运算2 e2 dx 解：2 e2 dx =21e x dexee 2欢迎下载精品学习资源1 xe2171xe2dx 解：1x21dx =e11d1ln x = 2 1e2ln x= 2 3 1欢迎下载精品学习资源1x1ln x1x1ln x11ln x1欢迎下载精品学习资源8. 2 x cos 2xdx 解： 2 xcos 2 xdx = 1 xsin 2x 2 -1 2 sin 2 xdx= 1 cos2x 2 =1欢迎下载精品学习资源00202 0402欢迎下载精品学习资源e 19. ln x01) dx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源e 1解：
28、ln x1dxxln x1 e 1e 1xdxx ln x1 e 1e 1 x11欢迎下载精品学习资源00dx欢迎下载精品学习资源100x10x1欢迎下载精品学习资源= e1e 1 110xdx = e1 x 1ln x1 e欢迎下载精品学习资源0ln e =1欢迎下载精品学习资源留意：娴熟解答以上各题要留意以下两点（1） ）常见凑微分类型肯定要记住欢迎下载精品学习资源112xx111dxd kxC , xdxdx ,e dxde ,dxd,dx2dx,欢迎下载精品学习资源k2x2xx1欢迎下载精品学习资源dxd lnxx,sinxdxd cos x,cos xdxd sin x欢迎下载精品学
29、习资源bbbb（2） ）分部积分：uv dxudvuvvdu，常考有三种类型要清晰；aaaa四、应用题（ 以下的应用题必需娴熟把握！这是考试的 20 分类型题 ）欢迎下载精品学习资源1. 投产某产品的固定成本为 36万元，且边际成本为C x=2x + 40万元/百欢迎下载精品学习资源台. 试求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低 .解： 当产量由 4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为欢迎下载精品学习资源6C 2x440 dx= x2640x= 100（万元）4欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源C x又x0C xdxc0x2t+40d x3
30、60x240x36,欢迎下载精品学习资源3636x2362欢迎下载精品学习资源C xx40, 令Cx x1x 20，即xx236,欢迎下载精品学习资源解得 x6 . x = 6 是惟一的驻点，而该问题的确存在使平均成本达到最小的值； 所以产量为 6 百台时可使平均成本达到最小 .2. 已知某产品的边际成本 C x=2（元/件），固定成本为 0，边际收益 R x=12- 0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50 件，利润将会发生什么变化？欢迎下载精品学习资源解： 由于边际利润L xR xC x =12- 0.02x2 = 10- 0.02x欢迎下载精品学习资源令L x
31、 = 0，得 x = 500；x = 500 是惟一驻点，而该问题的确存在最大值.所以，当产量为 500 件时，利润最大 .当产量由 500 件增加至 550 件时，利润转变量为欢迎下载精品学习资源550L105000.02xdx10x0.01x2 550500=500 -525 = - 25 （元）欢迎下载精品学习资源即利润将削减 25 元.欢迎下载精品学习资源3. 生产某产品的边际成本为 C x=8x万元/百台，边际收入为 R x=100- 2x（万元/百台），其中 x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产 2 百台，利润有什么变化？解： L x = R x - C x = 100 2x 8x =100 10x令 L x=0, 得 x = 10（百台）；又 x = 10 是 Lx的唯独驻点，该问题的确存在最大值，故 x = 10 是 Lx的最大值点，即当产量为 10（百台）时，利润最大 .欢迎下载精品学习资源又 L12L xdx10121001010xdx100x125x 2 2010欢迎下载精品学习资源即从利润最大时的产量再生产 2 百台，利润将削减 20 万元.欢迎下载精品学习资源4. 已知某产品的边际成本为