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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 微分学部分综合练习一、 单项挑选题1函数yx1的定义域是（）x0 Dx1且x0lg xAx1 Bx0 C分析；求定义域得关键是记住求定义域的三条原就！lgx10x0 , 1答案选 D,作业四的第一小题这类型要会做；x10x2以下各函数对中,（）中的两个函数相等Afxx2,gxx Df Bfxxx21,gxx+ 1 x1Cyln x2,gx2lnxx sin22 cosx,gx1分析：解答此题的关键是要留意先看定义域,后看对应关系,只有定义域相 同时,才能化简后再看对应关系；只有两者都相同,两个函数猜是相同的函 数；3设fx1,就ffx（）x2x
2、A1 Bx11 C x Dx2,所以,ff x 1x、解：由于f1x4以下函数中为奇函数的是（）Ayx2xByx eex Cylnx1Dyxsinxx1分析：留意利用奇偶函数的运算性质（见讲课笔记）,然后利用排除法知,答案是 C. 5已知fx xx1,当（）时,fx 为无穷小量 . tanA. x0 B. x1C. x D. x分析：lim x 0f x lim x 0xx10,应选 A.考试当然可以改成tan1 / 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - f x sinx1,此题涉及到了重要极限1. x6当 x
3、时,以下变量为无穷小量的是（）2 1Ax Bln 1 x Ce x Dsin xx 1 x分析：x lim + sinx xx lim + 1x sin x 0,由“ 无穷小量与有界变量的乘积,结果是无穷小量” 这一性质得出结果,答案选 D. sin x7函数 f x x , x 0 在 x = 0 处连续,就 k = c k , x 0A-2 B-1 C1 D2 8曲线y11在点（ 0, 1）处的切线斜率为（）2131xA1 B21 C2211 3 Dxx分析：此题考导数的几何意义,导数是曲线切线的斜率,求切线的斜率就是求导数 . 9曲线ysinx在点0, 0处的切线方程为（）故 yx 0x
4、A. y = x B. y = 2xC. y = 2 1 x D. y = -x 分析：ycos , x y0cos01,y01 x0,记住点斜式直线方程：yy 0k xx 0,其中的kf 是斜率 ,作业一有着类题要会做；10设 ylg2x,就 d y（）Ep=（）A1 2 xd x Bx1dx Cln10 xd D1 d xxln1011以下函数在指定区间, 上单调增加的是（）Asinx Be x Cx 2 D3 - x 12设需求量 q 对价格 p 的函数为q p32p,就需求弹性为2 / 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 20 页精选学习资料 - - - -
5、- - - - - A3pp B32pp C32p D32p2pp二、填空题1函数fx x2,05xx20的定义域是f x x26x 2,1分析：分段函数的定义域就是把连段x 的取值并起来；2函数fxlnx5 1x的定义域是2分析：x50x5函数定义域（ 5 ）2x0x23如函数fx1x22 x5,就fx解：令x1t 就xt1,于是f t t2 12 t1 5t22 t12 t25t26,故此题是重点考题类型；4设fx10x10x,就函数的图形关于对称2分析：要知道奇偶函数的图像特点（见讲课笔记）,此题是偶函数；5lim xxsinx. sinxlim1 xsinx101留意与作业题的区分x分
6、析：lim xxxxlim x 0xsinxlim1 x 0sinx1 10xx 6已知fx 1sinx,当时,fx 为无穷小量x分析：同前单项题5 7.曲线 yx 在点 ,11 处的切线斜率是分析：求斜率就是求导数8函数 y3 x2 1 的驻点是 . 令y6x10,解得驻点x1分析：导数为零的点称函数的驻点,3 / 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - p9. 需求量 q 对价格 p 的函数为qp 100e2,就需求弹性为 Ep解：Epq p p100 ep1 2ppp2q p100 e22三、运算题（ 通过以
7、下各题的运算要娴熟把握导数基本公式及复合函数求导法就！这是考试的10 分类型题 ）f x x 2 sinxlnx ,求1已知 y2xcosx,求yx 2已知xfxln3xe5x,求yx3已知ycos2xsinx2,求yx 4已知y5已知y52cosx,求y；6设yecos2xxx,求dyd 232x,求tanx7设yesinx5 cosx,求d 8设y四、应用题（ 以下的应用题必需娴熟把握！这是考试的20 分类型题 ）1设生产某种产品 x个单位时的成本函数为：Cx 1000 . 25 x26x（万元） , 求：（ 1）当x10时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量 x 为多少时,平均成本
8、最小？2某厂生产一批产品,其固定成本为2000 元,每生产一吨产品的成本为60元,对这种产品的市场需求规律为q100010p（ q 为需求量, p 为价格）试求：（1）成本函数,收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？3某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为Cq = 20+4q+0.01q 2（元）,单位销售价格为 p = 14-0.01q（元 /件）,试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？4某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为Cq05.q236q9800（元） .为使平均成本最低,每天产量应为多少？此时,每件产品平均成本为多少？4 / 20 名师归纳总结 - -
9、- - - - -第 4 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5已知某厂生产 q 件产品的成本为 C q 25020 qq2（万元）问：要使平10均成本最少,应生产多少件产品？最低的平均成本是多少？参考解答 一、 单项挑选题1D2D 3C4C5A6D7C8A9A10B11 B12B 二、填空题15,2 2-5, 2 3x264y 轴p0.58 x19516x07y12三、运算题1解：y x 2xcosxx 2 ln 2xsinx2cosxx 2 ln 2xsinx2cosxxxx2解fx 2xln2sinx2xcosx1x3解yx sin2x2xcosx2 x22
10、xsin2xln22xcosx24解：yx3ln2x lnx e5x5x 3ln2x5e5xx5解： 由于y2 5cosx2 5cosxln5 2cosx 2sinx2 5cosxln5所以y2sin52cosln52ln52226解： 由于y2ecos2xsin2x 3x1所以dy2ecos2xsin2x3x1d x22227解： 由于ysin exsinx54 cosx cosx esinxcosx5cos4xsinx所以d ysin excosx54 cosxsinxd x8解： 由于y1x3x32xln2x3x2x32xln2cos2cos2所以dy3x232xln2 dxcos2x5
11、 / 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 四、应用题 1解 （1）由于总成本、平均成本和边际成本分别为：Cx100.025 x26 xCx 1000.25x6,Cx0.5x61q -x所以,C 10 1000 . 2510 2610185C101000.2510618.5,C 100 .51061110（2）令Cx1000 .250,得x20（x20舍去）x2由于x20是其在定义域内唯独驻点,且该问题的确存在最小值,所以当x20 时,平均成本最小 . 2解 （1）成本函数 C q = 60q +2000由于 q
12、100010p,即 p1001q,10所以收入函数 R q = pq =1001q q =100q1q 1010（2）利润函数 L q = R q - C q =100q1q - 60 q +2000 = 40q -10102000 且 Lq =40 q -1 10q -2000 =40- 0.2qq 在其定义域内的唯独令 Lq = 0,即 40- 0.2q = 0,得 q = 200,它是 L驻点所以, q = 200 是利润函数 L q 的最大值点,即当产量为 200 吨时利润最大23解（1）由已知 R qp q 14 0 . 01 q 14 q 0 . 01 q利润函数 L R C 14
13、 q 0 . 01 q 220 4 q 0 . 01 q 210 q 20 0 . 02 q 2就 L 10 0 . 04 q,令 L 10 0 . 04 q 0,解出唯独驻点 q 250 . 由于利润函数存在着最大值,所以当产量为（2）最大利润为250 件时可使利润达到最大,L250 10250200 . 02250225002012501230（元）6 / 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4解 由于C q C q 0.5q369800q0qq9800 9800C 0.5 q 36 0.5 2q q980
14、0令 C q 0,即 0 5 2 =0,得 q1=140, q2= -140（舍去） . qq1=140 是 C q 在其定义域内的唯独驻点,且该问题的确存在最小值 . 所以 q1=140 是平均成本函数 C q 的最小值点,即为使平均成本最低,每天产量应为 140 件. 此时的平均成本为 C 140 0.5 140 36 9800176（元 /件）1405解 （1）由于 C q =C q = 250 20 q , C q = 25020 q = 2502 1q q 10 q 10 q 10令 C =0,即 2502 10,得 q 1 50, q2=-50（舍去）,q 10q1=50是 C q
15、 在其定义域内的唯独驻点所以, q1=50是 C q 的最小值点,即要使平均成本最少,应生产 50 件产品（2）C50250205030元 / 件）5010积分学部分综合练习题一、单项题1以下等式不成立的是（）正确答案： AdcosxAe x xx de Bsinx dxxd1C21xdxdx Dlnxdx分析；解答此题的关键是记住几类常见的凑微分（见讲课笔记）x2如fxdxe2c,就fx=（） .正确答案： D1xC.1xx D.1exA. e B.ee22224247 / 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - -
16、 解：f x excex11ex;f 1ex2222224留意：主要考察原函数和二阶导数,但考试关键是要知道 fx 怎么求,即fx 的不定积分是 fx 的全体原函数,如下面的第 4题；3以下不定积分中,常用分部积分法运算的是（）正确答案： C2Ac os2 x 1d x Bx 1 x d xCx sin 2 x d x D1 xx 2 d x1 14. 如 f x e x d x e x c,就 f x =（） 正确答案： CA1 B-x 1 Cx x 12 D-x 121 1 1 1解：fxe x（e x c） =-e x 12 12 e ; x f x 12x x x5. 如 F x 是
17、f x 的一个原函数,就以下等式成立的是 正确答案： Bx xAa f x d x F x Ba f x d x F x F a b bCa F x d x f b f a Da f x d x F b F a 6以下定积分中积分值为 0 的是（） 正确答案： Ax x x x1 e e 1 e eA1 2 d x B1 2 d x3 2C x cos x d x D x sin x d x7以下定积分运算正确选项（）正确答案： D1 16A1 2 x d x 2 B1 d x 152Csin x d x 0 Dsin x d x 02分析：以上两题主要考察“ 奇函数在对称区间的定积分知为 0
18、” ,这一点要记住！8以下无穷积分中收敛的是（）正确答案： C8 / 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - A1lnx d x B0e xd x C11 2d xx D131dxx解：1 x 12 d =-1x 1 1, 故无穷积分收敛19无穷限积分 1 x 3d x =（） 正确答案： CA0 B1 C1 D. 2 2解：1 x 13 d =-12 x 22 1x 21 12二、 填空题1dex dx应当填写：ex d x留意：主要考察不定积分与求导数（求微分）互为逆运算,肯定要留意是先积分后求导（微分） ,仍
19、是先求导（微分）后积分；此题是先积分后微分,别忘了dx. 2函数 f x sin 2 x 的原函数是 应当填写： -1 cos2x + c2解：sin 2 xdx 1 cos2 x C23如 f x 存在且连续,就 d f x 应当填写：f x 留意：此题是先微分再积分最终在求导；4如fxdxx12c,就fx.应当填写：2 x1 Fex cx5如fxdxFxc,就exfexdx=.应当填写：留意：f FC,凑微分x e dxde6d1elnx21 dx. 应当填写： 0 d x留意：定积分的结果是“ 数值” ,而常数的导数为0 7积分1x2x1 2dx应当填写： 0 1留意：奇函数在对称区间的
20、定积分为0 9 / 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8无穷积分0x11 2dx是 应当填写：收敛的解：0x1d =-101,故无穷积分收敛；3111 2x+1三、运算题（ 以下的运算题要娴熟把握！这是考试的10 分类型题）1x24d x解：x24dx=x2dx=1x22xc2x2x22运算sin1解：sin1d xsin1d1cos1cx d xxx2x 2xxx3运算2x d x解：2xd x22xd x22xcxxln24运算xsinxdx解：xsinxd xxcosxcosxd xxcos xsinx
21、c5运算x1lnxdx解：x1lnxd x=1lnxd x2 1=1x12lnx1x12dx= 222x1x2 1 lnx1x21dx1x2 1 lnxx2xlnxC=22x241x22x lnxx2xc246运算2e1d x解：21d x=2e1d 1e12ee1xexxx21x21x211x7e 2x11lnxdx解：e 2x11lnxd x=e 211lnxd1lnx=21lnxe 2=2 11118xcos2x d x解：2 0xcos2x dx=1xsin2x2-12 0sin2xdx =1cos2x2=1200402e229e1lnx1 d x0解：e 1lnx1d xxlnx1e
22、 1e 1xxd x1xlnx1e 1e 1xx1 1 d 1x00000=e1e1 1x1 1d x=e1xlnx1 00lne=1 10 / 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 留意：娴熟解答以上各题要留意以下两点（1）常见凑微分类型肯定要记住dx1d kxC,xdx1dx2,x e dxdex,1dxd1,1dx2dx,k2x2xx1dxdlnx,sinxdxdcos ,cosxdxdsinxx,常考有三种类型要清晰；bbvduuvdxbudvuv（2）分部积分：b aaaa四、应用题（ 以下的应用题必
23、需娴熟把握！这是考试的 20 分类型题 ）1投产某产品的固定成本为36万元,且边际成本为Cx =2x + 40万元 /百台. 试求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低 .解： 当产量由 4 百台增至 6 百台时,总成本的增量为C 4 6 2 x 40 d x = x 2 40 x 64 = 100（万元）x x 2C x 0 C d x c 0 0 2t+40d x 36 x 40 x 36,又 2C x x 40 36 , 令 C 1 362 x2 36 0,即x 236,x x x解得 x 6 . x = 6是惟一的驻点,而该问题的确存在使平均
24、成本达到最小的值；所以产量为 6 百台时可使平均成本达到最小 .2已知某产品的边际成本 C x=2（元/件）,固定成本为 0,边际收益R x=12- 0.02x,问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50 件,利润将会发生什么变化？解：令由于边际利润LxRxCx=12- 0.02x2 = 10- 0.02x.Lx= 0,得 x = 500；x = 500是惟一驻点,而该问题的确存在最大值所以,当产量为 500 件时,利润最大 . 当产量由 500 件增加至 550 件时,利润转变量为L550 500 100 . 02 x d x 10x.001 x2550 =500 - 525
25、= - 25 （元）500即利润将削减 25 元. 11 / 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3生产某产品的边际成本为C x=8x万元 /百台 ,边际收入为 R x=100- 2x（万元 /百台）,其中 x 为产量,问产量为多少时,利润最大？从利润最大时的 产量再生产 2 百台,利润有什么变化？解： L x = R x - C x = 100 2x 8x =100 10x令Lx=0, 得 x = 10（百台）；又 x = 10 是 Lx的唯独驻点,该问题的确存在最 大值,故 x = 10是 Lx的最大值点
26、,即当产量为10（百台）时,利润最大 .又L12Lxd x12 10 10010 x d x 100 x5 x212201010即从利润最大时的产量再生产2 百台,利润将削减 20 万元 .4已知某产品的边际成本为Cq4q3万元 /百台 , q 为产量 百台,固定成本为 18万元 ,求最低平均成本 . 解：由于总成本函数为 C q 4 q 3 d q = 2 q 23 q c2当q= 0 时, C0 = 18,得 c =18；即 Cq= 2 q 3 q 18又平均成本函数为 A q C q 2 q 3 18q q令 A q 2 182 0,解得 q = 3 百台 ,该题的确存在使平均成本最低的
27、产q量.所以当 q = 3 时,平均成本最低 . 最底平均成本为A3 233189 万元3/百台 5设生产某产品的总成本函数为Cx3x万元,其中 x 为产量,单位：百吨销售 x 吨时的边际收入为Rx152x（万元 /百吨）,求： 1 利润最大时的产量；2 在利润最大时的产量的基础上再生产1 百吨,利润会发生什么变化？解： 1 由于边际成本为Cx1,边际利润LxRxCx = 14 2x12 / 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 令Lx0,得 x = 7 ；由该题实际意义可知,x = 7为利润函数 Lx的极大值
28、点,也是最大值点 . 因此,当产量为 7 百吨时利润最大 .2 当产量由 7 百吨增加至 8 百吨时,利润转变量为L8 7 142 x d x 14 x2 x8= 7- 1（万元）即利润将削减 1 万元 .线性代数部分综合练习题一、 单项挑选题1设 A 为32矩阵, B 为23矩阵,就以下运算中（）可以进行.正确答案： A AAB BAB T CA+B DBA T 分析：左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数,乘法才有意义；2设A,B为同阶可逆矩阵,就以下等式成立的是（）1正确答案： B A. AB TATBT B.ABTBTATB1TC.ABT1A1BT1 D.ABT1A留意：转置矩阵、逆矩阵的性质要记住3以下结论或等式正确选项（）正确答案： C BOCA如A,B均为零矩阵,就有AB B如ABAC,且AO,就C对角矩阵是对称矩阵 D如AO,BO,就AB4设 A 是可逆矩阵,且 AABI ,就 A1（）. 正确答案： CA. B B. 1B C. IB D. IAB 1留意：由于 AI+B=I, 所以 A1I+B5设A 12,B13 , I 是单位矩阵,就T ABI（）正确答案： D A13 B12 C22 D232636352