2022年特殊的平行四边形.docx

《2022年特殊的平行四边形.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年特殊的平行四边形.docx（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、精品学习资源【本讲主要内容 】特别的平行四边形欢迎下载精品学习资源特别平行四边形：矩形、菱形、正方形的概念、性质和判定【学问把握】【学问点精析 】平行四边形与各种特别的平行四边形之间的联系和区分，是本章的难点，由于各种特别平行四边形图形交叉，概念简单混淆，常会显现“张冠李戴”的现象，也会显现用错、多用或少用条件的错误.突破这一难点的关键是学好概念，分清这些特别平行四边形和一般平行四边形之间及特别平行四边形之间的从属关系.1. 学概念：抓“限制”，画树图课本上，矩形、菱形、正方形都是在平行四边形的前提下定义的，也就是说，对平行四边形增加不同的限制条件、就分别产生了矩形、菱形和正方形的概念.下面我

2、们把对平行四边形的限制，画成简明的“树图”（外形象树枝分杈那样的图），把矩形、菱形的定义、性质和判定条件都综合在树图上（而把矩形、菱形的定义、性质、判定条件综合起来，就得到正方形的定义、性质和判定条件），一目了然.矩形欢迎下载精品学习资源有一个角是直角两条对角线相等有一组邻边相等欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源平行四边形有一组邻边相等并且有一个是直角正方形欢迎下载精品学习资源有一组邻边相等对角线相互垂直有一个角是直角菱形2. 学性质：抓“特性”，识共性由于矩形、菱形和正方形都是特别的平行四边形，所以它们具有平行四边形的一切性质（即共性），除此之外，仍具有自己的特性.四个角都是直角欢迎下

3、载精品学习资源矩形的特性对角线相等欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源菱形的特性四条边都相等 对角线相互垂直每一条对角线平分一组对角欢迎下载精品学习资源由于正方形是特别的矩形和特别的菱形，所以它具有矩形和菱形的一切性质：欢迎下载精品学习资源正方形的特性四个角都是直角四条边都相等 对角线相等对角线相互垂直每条对角线平分一组对 角欢迎下载精品学习资源这里提示同学们留意：学习矩形、菱形和正方形的性质时，要抓住“特性”，否就，就无法应用“特性”去解决矩形、菱形和正方形的问题，但也不要忽视了它们是平行四边形，仍具有一般平行四边形的性质（即共性），忘了“共性”，它们的性质也就不全了，如菱形的对角线性质

4、，应是“特性+ 共性”；“对角线相互垂直平分，并且每一条对角平分一组对角”；如正方形的对角线的性质，由“特性+共性”，就得到：“对角线相等，并且相互垂直平分，每条对角线平分一组对角”.在解题时，也要强调“共性”，否就简单造成思维障碍；3. 学判定：抓“起点”，凑条件矩形、菱形、正方形最基本的判定方法是它们各自的定义，其它的判定方法都是在定义的基础上推导出来的.由于矩形、菱形、正方形，作为特别的平行四边形，它们可以在平行四边形的前提下定义，同时，矩形、菱形、正方形，也可以作为特别的四边形，在四边形的前提下定义，不过，要把平行四边形的条件“溶化”进去.所以，矩形、菱形的判定方法由于“起点”不同可以

5、分成两类：一类的“起点”是平行四边形，另一类的“起点”是四边形，而正方形的“起点”有四个矩形、菱形、平行四边形和四边形.在应用判定方法时切勿搞错了“起点”，而“起点”不同，判定所需的条件也不同.（ 1）矩形的判定方法：欢迎下载精品学习资源有一个角是直角对角线相等有三个角是直角的四边形条件结论的平行四边形（是）矩形欢迎下载精品学习资源（2） 菱形的判定方法：条件结论欢迎下载精品学习资源有一组邻边相等对角线相互垂直的平行四边形（是）菱形欢迎下载精品学习资源四条边都相等的四边形对角线相互垂直平分（3） 正方形的判定方法：条件结论欢迎下载精品学习资源有一组邻边相等对角线相互垂直有一个角是直角对角线相等

6、有一个角是直角，且有一组邻边相等对角线相等，且相互垂直四条边都相等，且四个角都相等对角线相等且相互垂直平分的矩形的菱形的平行四边形的四边形（是）正方形欢迎下载精品学习资源矩形、菱形、正方形的“掌中宝典”矩形菱形正方形欢迎下载精品学习资源定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 .四个角都是直角；对角线相等；矩形是轴对称图形 .性质定理有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 .四条边都相等；对角线相互垂直平分；每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形 .有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形四条边都相等；四个角都相等；对角线相等；对角线相互垂直平分；每一条对角线平分一组对角；正方形是

7、轴对称图形.欢迎下载精品学习资源（ 1 ）有一组邻边相等的（ 1 ）有一组邻边相等的矩（ 1 ）有一个角是直角的平行四边形是菱形；形是正方形；判定平行四边形是矩形；（ 2 ）对角线相等的平行（ 2 ）对角线相互垂直的平行四边形是菱形；（ 2 ）对角线相互垂直的矩形是正方形；定理四边形是矩形；（ 3 ）有三个角是直角的（ 3 ）四条边都相等的四边形是菱形；（ 3 ）有一个角是直角的菱形是正方形；四边形是矩形 .（ 4 ）对角线相互垂直平分的四边形是菱形.（ 4 ）对角线相等的菱形是正方形 .判定定理的表述句型：具有什么特别性质的某大类图形，是这类图形.典例分类剖析（矩形） 如下列图，延长矩形的边

8、CB 至 E，使 CE CA ， F 是 AE 的中点，求证： BFFD.ADFEBC2分析： 由 ABE 90， F 为 AE 中点，得BF 1AE AF，易证 ADF BCF，有AFD BFC ，又 CA CE，所以 CF AE ，即可证得 BF FD.2证明： 由于四边形 ABCD 是矩形，所以DAB ABC 90， AD BC， 由于 F 是 AE 的中点，所以 BF 1AE AF ，所以 BAF ABF ，所以 DAF CBF.在 ADF 和 BCF 中， AD BC ， DAF CBF ， AF BF.所以 ADF BCF ，所以 AFD CFB ， 又 CA CE，AF BF，所

9、以 CF AE ，欢迎下载精品学习资源所以 AFD DFC 90， CFB DFC 90，所以 BF FD.评析： 已知条件中有直角三角形斜边中点，要考虑运用直角三角形斜边中线等于斜边一半构成等腰三角形求解或证明.（菱形）例 . 已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3 4，求菱形的面积分析： 如下列图，由菱形的性质可得OAB是直角三角形，它的两条直角边之比等于菱形的两条对角线之比，再由勾股定理列方程求解ABODC解： 由于菱形 ABCD 的周长是 40cm，所以 AB 10cm由于 OA 1AC ， OB 1BD ， AC BD 4 3，所以 OA OB 4 322AC BD 设 OA

10、4x， OB 3x，由勾股定理，得（ 4x） 2（ 3x）2 102，解得 x 2 那么 OA 8， OB6欢迎下载精品学习资源所以 AC 16， BD 12， S 菱形ABCD 12116 12 96cm22欢迎下载精品学习资源评析： 由四边形的两条对角线和一边组成的三角形（如图中OAB ）是我们常常考查的对象特别的四边形对应特别的三角形矩形、菱形、正方形对应的三角形分别是等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形把握这一点，对于解决四边形的问题是大有好处的（正方形）例 . 如下列图，正方形ABCD ，对角线AC 、BD 相交于点 O，菱形 AEFC ，1EH AC ，垂足为 H ，求证： EH

11、 2FC.FDCHOEAB欢迎下载精品学习资源分析： 要证 EH1FC， EH 在矩形 OBEH 中，得 EH OB 1，而 FC 是菱形 AEFC欢迎下载精品学习资源BD222的边， CF AC BD ，所以 EH 1FC，问题的关键是要证四边形OBEH 是矩形 .证明： 由正方形 ABCD 得 AC BD ，AC BD ， BOC 90 .又由于 EH AC ，所以 EH OB.又由于四边形AEFC 是菱形，得 AC CF， AC EF，所以 OH BE.因此四边形 OBEH 是矩形，因此EH OB 1112BD 2AC 2FC.评析： 综合考查了正方形、菱形的性质和矩形的判定方法.【解题

12、方法指导 】例 1. 已知： ABC 中， AB=AC ， M 为 BC 的中点， MG AB ， MD AC ， GF AC ， DE AB ，垂足分别为G、D 、F、 E， GF、DE 相交于 H. 试判定四边形HGMD 的外形，并证明你的结论.解： 如下列图， MG AB ， DE AB欢迎下载精品学习资源AEFHGDBMCMG/DE同理 MD/GF 四边形 HGMD 为平行四边形又 AB=AC ，M 为 BC 的中点， B= C， BM=CM欢迎下载精品学习资源RtBMGRtCMDMG=MD 四边形 HGMD 是菱形 .欢迎下载精品学习资源例 2. 在四边形ABCD中， AB=CD ，

13、E、 F、G、H 分别为 AD 、BC 、BD 、AC 的中点 .求证： EF GH. 证明： 如下列图，连结EG、GF、FH 、HE.AEDGHBFC在 ABD 中， E、 G 分别为 AD 、BD 的中点，欢迎下载精品学习资源EG/AB ， EG1 AB2（三角形中位线定理）1欢迎下载精品学习资源同理 HF/AB ， HFAB EG/HF ， EG=HF 四边形 EGFH 是平行四边形 .2欢迎下载精品学习资源 EG1AB ，GF21 CD， AB2CD EG=GF，欢迎下载精品学习资源平行四边形EGFH 是菱形 . EF GH （菱形的对角线相互垂直）.留意： 画图时，不要把一般四边形A

14、BCD 画成特别四边形 .例 3. 已知两边长为a 的正方形 ABCD 、OKPQ ， O 为正方形 ABCD 的中心 .求证：不论 OKPQ 在什么位置，两正方形重叠部分为定值.分析： 既然要证明重叠部分面积与OKPQ 位置无关，可将 OKPQ 绕 O 点旋转至特别位置， 求出定值后再证明其面积与在一般位置时面积相等即可.证明： 将正方形 OKPQ 绕 O 点旋转至图中正方形OMSH 位置，欢迎下载精品学习资源2正方形 OMSH 与正方形 ABCD 重叠部分为 OBC ， S OBC= a，4又 OBE= OCF， BOE=90 EOC= COF， OB=OC ，欢迎下载精品学习资源OBEO

15、CF ，S OBCS OBES OECS OCFa 2S OEC ，欢迎下载精品学习资源即正方形 OKPQ 与正方形 ABCD 重叠部分面积为.4点评： 本例是从事物的联系、变化中探究不变量，找到解决问题的关键，使问题迎刃而解，基本思路是“一般问题特别化探究解法解决问题”.【考点突破】【考点指要】特别平行四边形的定义、性质和判定在中考说明中是C 级学问点，它常与平行四边形、梯形、全等三角形综合在一起以挑选题、填空题、解答题和论证题等题型显现在中考题中，大约占有4 8 分左右，近几年，这部分的考题从以往的论证题转向动手操作、发现、猜想和探究的开放题.【典型例题分析 】例 1. （2006 年海南

16、省中考题）如下列图，四边形ABCD是正方形， G 是 BC 上任意一点（点 G 与 B 、C 不重合）， AE DG 于 E， CF/AE 交 DG 于 F，（ 1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明；（ 2）求证： AE=FC+EF.AD欢迎下载精品学习资源（ 1）AEDFEBCGDFC欢迎下载精品学习资源证明： 四边形 ABCD 是正方形 AD=DC ， ADC=90 又 AE DG ， CF/AE AED= DFC=90 欢迎下载精品学习资源 EAD+ ADE= FDC+ ADE=90 EAD= FDCAEDDFC欢迎下载精品学习资源（2）AEDDFCAEDF ， EDFC DF=DE

17、+EF AE=FC+EF欢迎下载精品学习资源例 2. （ 2006 年山东省青岛市中考题）已知：如图，在平行四边形ABCD 中， E、F 分别为边 AB 、CD 的中点， BD 是对角线， AG/DB 交 CB 的延长线于 G.欢迎下载精品学习资源（1）求证：ADECBF；（ 2）如四边形 BEDF 是菱形，就四边形AGBD是什么特别欢迎下载精品学习资源四边形？并证明你的结论.欢迎下载精品学习资源CFD2 34B1EAG（ 1）证明： 四边形 ABCD 是平行四边形， 1= C， AD=CB ， AB=CD欢迎下载精品学习资源点 E、F 分别是 AB 、CD 的中点，AE12AB， CF1 C

18、D2欢迎下载精品学习资源AECFADECBF（ 2）当四边形 BEDF 是菱形时，四边形AGBD 是矩形 .证明： 四边形 ABCD 是平行四边形， AD/BC AG/BD 四边形 AGBD 是平行四边形四边形 BEDF 是菱形 DE=BE AE=BE AE=BE=DE 1= 2， 3=4 1+ 2+ 3+ 4=180 2 2+2 3=180 2+ 3=90即 ADB=90 四边形 AGBD 是矩形 .例 3. （ 2006 年贵州省毕节地区中考题）如下列图，四边形OABC 与 ODEF 均为正方形， CF 交 OA 于 P，交 DA 于 Q.（1）求证： AD=CF. （ 2） AD 与 C

19、F 垂直吗？说说你的理由.（ 3）当正方形 ODEF 绕 O 点在平面内旋转时，（ 1），（ 2）的结论是否有变化（不需说明理由） .CBOPA QDFE（ 1）证明： 四边形 OABC 与 ODEF 均为正方形 AO=CO ， DO=FO ， AOC= DOF=90 DOF+ FOA= AOC+ FOA欢迎下载精品学习资源即： AOD= COFAODCOFAD=CF欢迎下载精品学习资源（ 2）AD CF，理由为：AODCOF OCF= OAD欢迎下载精品学习资源 APQ+ OAD= OCF+ CPO=90 AQP=90 即： AD CF（ 3）当正方形 ODEF 绕 O 点在平面内旋转时，（

20、1）（ 2）的结论不会变化.【综合测试】欢迎下载精品学习资源一、挑选题：1. 菱形的两条对角线长分别为12 和 16，就其周长为（）A. 20B. 25C. 40D. 602. 顺次连接矩形四边中点所成的四边形是（）A. 菱形B. 正方形C. 矩形D. 等腰梯形3. 已知正方形的边长为2a，就它的对角线长是（）欢迎下载精品学习资源A. 2aB.2aC.2aD. 22a欢迎下载精品学习资源4. 能够判定一个四边形是矩形的条件是（）A. 对角线相等B. 对角线相互垂直C. 对角线相等且相互平分D. 对角线相互垂直平分5. 一个四边形的对角线相互垂直，顺次连结它各边中点所得的四边形是（）A. 平行四

21、边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形二、填空题：1. 已知矩形的面积为8cm，一边长为 2cm，就矩形的对角线长为 .2. 如一个正方形的对角线的长为2，就它的面积是.3. 菱形两条对角线之比为3：4，周长为 20，就面积是.4. 菱形是轴对称图形，它的对称轴有 条.5. 两条对角线的平行四边形是矩形 .三、判定题（正确的在括号内打“”，错误的在括号内打“”）（ 1）一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形.（ ）（ 2）两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形.（）（ 3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形.（）（ 4）两条对角线相互垂直的矩形是正方形.（ ）（ 5）等边三角形是中心

22、对称图形.（ ） 四、（ 2006 年朝阳区中考模拟题）已知：如图，正方形ABCD和正方形 AEFG.请你在图中已标明字母的点中，连结出两条新的相等线段，并证明你的结论.（1）连结，就=；（ 2）证明：五、（ 2006 年南宁市中考题）将图（ 1）中的矩形ABCD 沿对角线 AC 剪开，再把 ABC 沿着 AD 方向平移，得欢迎下载精品学习资源到图（ 2）中的A BC，除 ADC与C BA 全等外，你仍可以指出哪几对全等的三角欢迎下载精品学习资源形（不能添加帮助线和字母）？请挑选其中一对加以证明.六、已知：如下列图，正方形ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于 O， AC 上有一点 E，过点

23、A 作 AG EB 于 G，AG 交 BD 于 F.（1）求证： OE=OF；（ 2）如点 E 在 AC 延长线上， AG EB，交 EB 的延长线于点 G， AG 的延长线交DB的延长线于点F，其它条件不变，就结论“OE=OF ”仍成立吗？假如成立，请给以证明； 假如不成立，请说明理由.【综合测试答案】一、挑选题： 1. C2. A3. D4. C5. C二、填空题： 1. 2 5 cm2. 23. 244. 25. 相等三、判定题： 1. 2. 3. 4. 5. 四、（ 1）连结 BE 和DG ，就BE=DG（ 2）证明： 在正方形 ABCD 和正方形 AEFG 中，AB=AD ，AE=A

24、G ， BAD= EAG=90 1+ 2=90 ， 2+3=90 1= 3在 ABE 和 ADG 中ABAD31AEAGABEADGBEDG欢迎下载精品学习资源五、 答：AA EC CF，A DFCBE欢迎下载精品学习资源证明： 四边形 ABCD 是矩形DAC= BCA欢迎下载精品学习资源由平移的性质可知：AA CC 又 A=C ， AA EC CF90AA EC CF六、（ 1）证明： 如下列图四边形 ABCD 是正方形， BOE= AOF=90 ， BO=AO又 AG EB 1+ 3=90 = 2+ 3 1= 2Rt BOERt AOFOE=OF（ 2）答： OE=OF 仍旧成立 .证明： 如下列图四边形 ABCD 是正方形 BOE= AOF=90 ， BO=AO又 AG EB OEB+ EAF=OFA+ FAE=90 OEB= OFARt BOERt AOFOE=OF欢迎下载