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1、流体力学11.1 流体的基本性质1) 压缩性流体是液体与气体的总称； 从宏观上看, 流体也可看成一种连续媒质； 与弹性体相像, 流体也可发生外形的转变,所不同的是静止流体内部不存在剪切应力,这是由于假如流体内部有剪应力的话流体必定会流淌,而对静止的流体来说流淌是不存在的 ；如前所述, 作用在静止流体表面的压应力的变化会引起流体的体积应变,其大小可由胡克定律pkv v描述；大量的试验说明,无论气体仍是液体都是可以压缩的,但液体的可压 缩量通常很小；例如在 500个大气压下,每增加一个大气压,水的体积削减量不到原体积的两万分之一； 同样的条件下, 水银的体积削减量不到原体积的百万分之四；由于液体的
2、压缩量很小,通常可以不计液体的压缩性；气体的可压缩性表现的特别明显, 例如用不大的力推动活塞就可使气缸内的气体明显压缩；但在可流淌的情形下, 有时也把气体视为不行压缩的, 这是由于气体密度小在受压时体积仍将来得及转变就已快速地流淌并快速达到密度匀称；物理上常用马赫数M 来判定可流淌气体的压缩性,其定义为M= 流速/声速,如 M 21,可视气体为不行压缩的；由此看出,当气流速度比声速小很多时可将空气视为不行压缩的,而当气流速度接近或超过声速时气体应视为可压缩的；总之在实际问题中如不考虑流体的可压缩性时,可将流体抽象成不行压缩流体这一抱负模型；2) 粘滞性为明白流淌时流体内部的力学性质,设想如图
3、10.1.1所示的试验；在两个靠得很近的大平板之间放入流 体,下板固定,在上板面施加一个沿流体表面切向的力 F；此时上板面下的流体将受到一个平均剪应力 F/A的作用,式中 A是上板的面积；试验说明,无论力 F多么小都能引起两板间的流体以某个速度流淌,这正是流体的特点,当受到剪应力时会发生连续形变并开头流淌；通过观看可以发觉,在流体与板面直接接触处的流体与板有相同的速度；如图10.1.1中的上板以速度 u 沿x方向运动下板静止,那么中间各层流体的速度是从0（下板）到 u（上板）的一种分布,流体内各层之间形成流速差或速度梯度；试验结果说明,作用在流体上的切向力 F正比与板的面积和流体上表面的速度u
4、反比与板间流体的厚度 l,所以F可写成FAul,因而流体上表面的剪应力可以写成ul ；u式中 l是线段 ab绕a点的角速度或者说是单位时间内流体的角形变；如用微分形式表示更具有普遍性,这时上式可以改写成du dl ,dF或du dAdl；上式就是剪应力所引起的一维流体角形变关系式, 比例系数 称为流体的粘滞系数,上式叫做牛顿粘滞性定律 ； 为常数的流体称为牛顿流体,它反映了切应力与角形变是线性关系,不是常数的流体称为非牛顿流体；流体的粘滞系数 是反映流体粘滞性的大小的物理量,在国际单位制中,粘滞系数的单位是牛顿 秒/米2；所谓粘滞性是指 当流体流淌时,由于流体内各流淌层之间的流速不同,引起各流
5、淌层之间有障碍相对运动的内“摩擦”,而这个内摩擦力就是上式中的切向力, 物理学中把它称为粘滞阻力 ；因此上式实际上是流体内部各流淌层之间的粘滞阻力；试验说明,任何流体流淌时其内部或多或少的存在粘滞阻力；例如河流中心的水流淌的较快,而靠近岸边的水却几乎不动就是水的粘滞性造成的；在实际处理流体的流淌问题时,如流淌性是主要的粘滞性作用影响不大,就可认为流体是完全没有粘滞性的,这种抱负的模型叫做非粘滞性流体；3）压力与压强从前面的争论知道静止流体表面上没有剪应力,所以容器壁作用在静止流体表面上的力是与液体表面正交的,按牛顿第三定律流体作用在容器壁上的力也与容器壁表面正交,这一点对静止液体内部也成立；在
6、静止液体内过某一点作一假想平面,平面一方流体作用该平面的力也总是垂直于该假想平面；流体表面与流体内各点的压力一般是不一样的,在流体表面压力的方向只能是垂直于液体表面,而流体内部某点的压力沿各个方向都有,由于过流体内部一点我们可以取任意方向的平面；在流体力学中为了描述流体内部的作用力,引入一个叫做压强的物 理量,规定压强是作用于流体内单位面积上垂直力的数值,它是一标量；为了计 算流体内某一点的压强,我们应当设想通过该点的假想平面s是无限小的,如该面上的正压力为 F,就定义该点的压强plimFs0s ；在国际单位制中压强的单位是牛顿 /米2,也称为帕用 Pa表示；在实际应用中压强也有用等价的流体柱
7、高表示的, 如医用测量血压的仪器就是用水银柱高作为压强的单位；流体力学中压强是标量但力是矢量,面元的法向也是矢量；既然流体 内部的力总是垂直于假想平面, 因此可定义流体内某点力的方向与它所作用平面的内法线方向一样, 这样作用流体内任一面元上的力F可写成 dF=pds ；由于流体内部每一点都有压强所以说流体内每一点都存在压力,至于压力的方向由所考虑平面的法线打算, 可以是任何的方向, 当流体流淌时压强与压力的关系不变；4）流体的密度和比重在流体力学中常用密度来描述流体的动力学规律,其定义和固体定义一样为单位体积流体的质量,即流体内某点的密度为limmdmv0vdv ；对匀称不行压缩的流体密度是常
8、数, 一般情形下流体内部各点的密度是不相同的；单位体积流体的重量称为流体的比重；设想在流体内部取一小体积v, v 中包含流体的质量为m,因而 v内流体的重量为 mg,由定义该流体的比重limmggv0v；11.2 流体静力学方程1 ）静止流体内任一点的压强静止流体内过一点可以沿很多不同的方向取面元,现在来争论这些不同取向的面元上压强有什么关系；在静止的流体内部取一个很小的四周体ABC 包围该点,如图 10.2.1所示；设面元 ABC 法线的方向余弦为、 、 ,四周流体对该点作用力（压力）可以用压强 P1、P2、P3和P表示,当流体静止时所受到的合外力为零,即由于由上式得到P1SCOBP2SOA
9、CP3SOABSABC SABC SABCP SABC0P SABC0P SABC0SCOB SOAC SOABP = P1= P2 = P3 ；由于四周体是任意选取的,于是我们可以得出结论：静止流体内部任一点上沿各个方向的压强都相等, 与过这点所取面元法线的方向无关； 正由于如此, 流体力学中压强只与流体内的点对应而不必强调压强是对哪一个面的；2 ）流体静力学方程处理流体静力学问题时,常常取流体内部一个小流体元作为争论对象；作 用在小流体元上的力大致可分为两类；一类是作用在小流体元外表面上的压力, 我们称之为面力,如液体表面的正压力Pds；另一类是作用在整个小流体元上与流体元的体积成正比的力
10、,如重力gdv、惯性力等,我们称为体力；下面从牛顿定律动身推导流体静力学满意的普遍方程； 当流体处于静止状态时, 流体内任一小流体元受到的面力与体力之和必定为零,即平稳条件为F面F体0 ；dF体f与压强类似,我们引入一个体力密度dv,它表示作用在单位体积流体上的体力；例如在只有重力作用下,体力密度 f的大小就是比重 g,方向沿重力方向,而在惯性力的作用下,体力密度就是f = a；为了建立流体静力学方程,我们在静止流体内部取如图10.2.2所示的立方体流体元,依据平稳条件有pxsyzpyszxpxpypx py syzszxf xv0f yv0pzsxypzpz sxyf zv0整理后得pxsy
11、z pyszxf xv0 f yv0pzsxyf zv0利用pxsy zpxsxy zpyxpxv, xpy可将前式简化成pyszxpzsxyszxyypzsxyzzv,ypzv, zpxxpyf x v0ypzz明显体积 v0,所以只能是f y v0f z v0xpxf0,pyxy；f y0,pzf0 z在上面的式子中取极限x任一点都必需满意的方程0,y0,z0 ,就可得静止流体内xpf0, xpf0, ypf0zz；y借助梯度算符ix上式可以改写成更简洁的形式jkyz,fp；这就是流体静力学的普遍方程,它说明如流体内任一点的总体力密度等于该点处压强的梯度就流体肯定处于静止状态；3 ）重力场
12、中流体内部压强分布i) 液体 ：我们先来争论静止液体内部的压强分布；设液体的密度为放置在一长方形的容器内,液面的柱面高为 z0,液体表面的压强为 P0如图10.2.3所示；在重力场中液体受到的体力密度为gk,由流体静力学普遍方程得p0, xp0,pgy z；z由上述方程知液体内部压强与坐标 x、y无关,只是深度的函数；积分第三式得p =gz + c,当z=z0时P=P0.故c=P0+ gz0,所以液体内部压强随深度变化的关系为P =gz0 z + P0 =gh + P0 ,式中h为液面下的深度；上式说明静止液体内部的压强只与距离液面下的深度有关与液体内部水平位置无关 ；ii) 气体：现在来争论
13、重力场中空气压强随高度变化的规律；为简洁起见,假定空气的温度是不随高度变化的而且空气可以看成抱负气体；假如在地面处空气的压强为 P0、密度为 0,就抱负气体的状态方程可表示成PP00 ；以地面为坐标系原点所在处,z轴垂直地面对上,由流体静力学方程dp=gdz,；将抱负气体状态方程代入上式排除得到dppp0gdz0,分别变量后p dpp0 pLn pg zdzp0 0,0 g z完成上面的积分得p0p0；所以压强随高度的变化pp0expgz /0 ,这说明空气压强随高度的变化满意波尔兹曼分布；4 ）帕斯卡原理假如将不行压缩液体放在一个密闭的容器内,容器上端与一个可移动的活塞相连；当活塞对液体表面
14、施加的压强为P0时,依据重力场中液体内部压强公式,在液面下深度为 h处的压强为P = P0+ g h ；假如把活塞对液体表面的压强增大至 P0+ P0,液面下 h深处的压强也会变化,依据液体内部压强公式,此时液体下 h深处的压强变为PP0P0ghPP0 ；这就是说当液体表面压强增加P0时液体内任一点 h是任意 的压强也增大了P0,因此可以形象地说不行压缩液体可将作用在其表面的压强传递到液体内的各个部份包括存放液体的器壁, 这一结论称之为帕斯卡原理 ,是早期由帕斯卡从试验中总结出来的, 从现代观点看它是流体静力学方程的一个推论；5 ）阿基米德定律任何外形的物体置于密度为的液体中都会受到液体的浮力
15、,浮力的大小等于物体排开液体的重量；这是一个试验规律称为阿基米德定律；从现代观点看,它也是流体静力学方程的推论；如图10.2.4所示,物体完全浸没在密度为的液体中；由于物体在液体中处于平稳状态,因此它受到的浮力与同体积的液体所受到合外力相同,这样我们可以将此物体用同体积的液体置换,置换部份液体 受到的重力是gdv；要使液体保持平稳, 四周的液体必定对它有一个向上的面力（浮力）作用于它；由流体静力学方程gkgdp得dzp, dFdxdydzdF dv ,或者 dFgdv ；积分后得 F合=F2F1=gv. ,于是得到浮力大小F浮=F1F2=gv这就是说浮力是铅直向上的其大小等于物体排开液体的重量
16、；例一；在密闭的容器内盛满密度为1的液钵, 在液体中浸放一长为 L 、密度为2的物体,如图 10.2.5所示；设 2 1,就它必定浮于液体表面,当容器以加速度a向前运动时物体相对液体向哪一方向运动？解：为了弄清物体向哪个方向运动, 先用同体积的液体置换物体；容器运动时,置换部分的液体必定与其它部份 保持平稳；如将容器取为参照系,可利用流体静力学方程 求出液体整体运动时内部压力分布；由f=p,fdp ,得惯dxdpfdy重力由于无沿 y方向运动的可能性,故只争论上式的第一个方程,其中f惯= 1a所以液体内部沿 x轴压强分布为 p= 1ax+c（ c为常量）,置换液体相对其它部份液体静止时两端的压
17、强差为p=1 La,相应的压力差为 F= 1avv为置换部份的体积 ,在所挑选的参照系看来,合外力F = F+F惯= 1av1av=0,液体相对静止；对实际物体来说,受到的惯性力为F惯=2av,而物体两端的压力差不变仍旧为 F,因此实际物体受到的合外力 F = F+F惯= 1av2av 0,由此可知,实际物体必定会相对液体沿 x轴方向运动；例二；密度为 的不行压缩液体置于一开口的圆柱形容器内,如此容器绕对称轴作高速旋转,求液体内压强分布和液体表面的外形；解：以容器为参照系, 此时流体内任一流体元都受到重力与惯性力的作用,相应的体力密度为 gk和a；由流体静力学方程pgka得到所以有gk2 xi
18、p2 x,x2 yjp y,2 y,pgz；dpp dx xp dy yp dz z2 xdx2 ydygdz12积分后得2 dx 2y 2 gdz12p122 dr 22 r 2gdz,gzc；如附图 10.2.6所示,当 r=0时,z=h ,p=p0p0是液体表面的压强 ,所以c = p0+ gh,最终求得液体内压强分布pp 02r 2gzh2；又取液体表面上任一点为争论对象,由于流体相对坐标系处于静止状态,液体表面上任一点的合力必定沿曲线的法线方向或者说曲线的斜率满意下式dztg dr2 r2 rgg ；积分后2 r2z c2g,当r=0时z=h,故c=h；最终得到液体表面的曲线方程2
19、r2zh2g,由此式知道液体表面为一旋转抛物线；11.3 流体运动学描述1 ）流体运动分类流体流淌的分类有很多种,这里介绍常常遇到的几种；抱负流体 ；流体流淌过程中不计流体的内摩擦力,不计流体的体积压缩,把流体看成是无粘滞性、 不行压缩的抱负模型, 因此抱负流体的流淌过程是无能耗的可逆过程； 稳固流淌 ；流体内任何一点的物理量不随时间变化的流淌称为稳固流淌,这意味着稳固流淌过程中,流体内任一点的流速、密度、温度等物理量不 随时间变化；例如在稳固流淌时,假如流体内某点的速度是沿x轴方向,其量值为 3cm/s,就在流体以后的流淌中该点的流速永久保持这个方向与量值；如用v、 、T分别表vT0示流体内
20、部速度、 密度以及温度的分布, 就稳固流淌时满意ttt；反之如流体内任一点的速度不满意喷出的水流就是如此；v0t就说流淌不是稳固的,例如变速水泵匀称流淌 ：流体流淌过程中假如任意时刻流体内空间各点速度矢量完全相v同,不随空间位置的变化就称流淌是匀称的； 用公式表示可写成l0,其中 l表示沿任意方向求导数； 反之,如某一时刻流体内部各点的速度不全相同的流淌称为非匀称流淌；例如流体以恒定速率通过一匀称长管的流淌是稳固的匀称流动,而流体以恒定速率通过一喇叭形长管的流淌是稳固的非匀称流淌,流体加速通过一喇叭形长管的流淌是不稳固的非匀称流淌；层流与湍流 ；在流体流淌过程中假如流体内的全部微粒均在各自的层
21、面上作定向运动就叫做层流； 由于各流淌层之间的速度不一样, 所以各流淌层之间存在阻碍相对运动的内摩擦, 这个内摩擦力就是粘滞力它满意牛顿粘滞性定律；层流在低粘滞性, 高速度及大流量的情形下是不稳固的,它会使各流淌层之间的微粒发生大量的交换从而完全破坏流淌层,使流体内的微粒运动变得不规章, 这种现象叫做湍流,湍流发生时流体内有很大的纵向力（垂直流淌层的力）,引起更多的能量损耗；有旋流淌 ：在流体的某一区域内,假如全部微粒都围着某一转轴作旋转就称流体是作有旋流淌；最直观的有旋流淌是涡流,但不是仅仅只有涡流才是有旋流淌,物理上判定流体是否作有旋流淌是用所谓的环量来刻画的；设想在流体内取一任意的闭合回
22、路 C,将流速 v沿此回路的线积分定义为环量 ,用公式表示就是cvdlcv cos dlc；流体内部环量不为零的流淌叫做有旋流淌,环量到处为零的流淌称为无旋流淌；依据上面的定义,层流也是有旋流淌,参见图10.3.0；2) 流线与流管争论流体的运动, 可以观看流体内微粒经过空间各点时的流速； 一般情形下,流体内各点的速度是随时间和空间位置变化的,因此流体内各点的速度分布是时间与空间的函数,即v = v x, y, z, t ；物理学中常把某个物理量的时空分布叫做场,所以流体内各点流速分布就可以看成速度场；描述场的几何方法是引入所谓的场线, 就像静电场中引入电力线, 磁场中引入磁力线一样, 在流速
23、场中可以引入流线； 流线是这样规定的, 流线为流体内的一条连续的有向曲线, 流线上每一点的切线方向代表流体内微粒经过该点时的速度方向 ,图10.3.1（ a）给出了几种常见的流线；一般情形下空间各点的流速随时间 t变化,因此流线也是随时间变化的；由于流线分布与肯定的瞬时相对应（参见图 10.3.1（c）,所以在一般情形下,流线并不代表流体中微粒运动的轨道, 只有在稳固流淌中, 流线不随时间变化, 此时流线才表示流体中微粒实际经过的行迹；另外,由于流线的切线表示流体内微粒运动 的方向,所以流线永久不会相交, 由于假如流线在空间某处相交就表示流体中的微粒经过该点时同时具有两个不同的速度,这当然是不
24、行能的；假如在流体内部取一微小的封闭曲线,通过曲线上各点的流线所围成的细管 就称为流管 ,如图 10.3.1（b）所示；由于流线不会相交,因此流管内、外的流体都不具有穿过流管的速度,也就是说流管内部的流体不能流到流管外面,流管外的流体也不能流入流管内；3) 流量流体力学中用流量来描述流体流淌的快慢, 工业上也称流量为排泄量； 设想在流体内部截取一个面 A ,定义单位时间内通过截面 A流体的体积为通过截面 A的（体积）流量 ；如图 10.3.2.所示,在流体内部取一小面元 dA 通过它的边界作一流管, 在流管上截取长度为流速 v的一段体积,由于单位时间内该体积内的流体会全部通过面元 dA,所以通
25、过面元 dA的流量就是 dQ = vcosdA ；假如把面元定义为矢量,取其外法线方向为面元的正方向即dA=dA n, 那么通过面元 dA 的流量可以表示成dQ=vdA,而通过整个截面 A的流量就可以表示成更简洁的形式QdQv cosdAvdAAAA；11.4 流体力学基本方程1）一般方程在流体内沿流管截取一小流体元,设在 t时刻小流体元占有体积为 V,边界为 S；依据它的体形在速度场中选取一假想体积,使得在t时刻假想体积与截取流体元的体积完全一样如图 10.4.（1 a）所示；图中虚线表示实际的流体元, 实线表示假想的体积；流体会流淌,其 体积与假 想体积之间 会发生 相对运动变 成图10.
26、4.1.b所示的情形；流体元的一部分会穿出假想体积元的边界,而四周的流体会流入假想的体积元, 使假想体积内有流体流入也有流体流出；设N是流体元所携带的某种物理量的总量,它可以是质量、动量,或者是能量；是单位体积流体中这种物理量的含量或者说是 N的密度；我们来考查流体流淌时,物理量 N随时间的变化规律；留意到在 t+ t时刻流体元占据的体积是 II+ ,而在 t时刻占据的体积是 I或 +,因此在 t到t+ t时间内流体元所携带物理量 N的变化量Ntt在上式右侧加上零因子NtdVIIIVdV t dtdV tI；重新组合,然后除以 dt得IIIdV ttIIIdV ttdNdtIdVdtdtI上式
27、的第一部分dVIVtt；dVIIItdVItdtdV/ dtItdVt I,是单位时间内假想体积内流体所携带 N量的变化率；其次部分的第一、二项分别为dV tdt IVdt流出边界vdA,IIIdV tdtdt流入边界vdA,表示单位时间内流入流出假象边界的物理量N,它们可以用密度 对流量的积分给出；挑选假想体积边界面 的 外 法 线 为 正 方 向 , 如 图 10.4.2 , 上 两 式 合 起 来 就 是假 象 边 界 vdA；将 上 面 的 结 果 代 回 方 程 得 到dNdtt假想体积dv假想边界vdA；上式说明流体元的某个物理量 N随时间的变化可以化为假想体积内流体的物理量N随时
28、间的变化,即等于假想体积内 N对时间的变化率（偏导数）加上从该体积边界流入 N量的净增加值 ；这是流体动力学的一个普遍规律,由此可以推出流体动力学的几个重要方程；2 ）连续性方程如考查流体流淌过程中质量变化规律,取 N=m ,这时；由于流体流淌dm过程中质量不变 dt0,一般方程式化为t 假想体积dV假想边界vdA0；这就是流体力学的连续性方程（积分形式） , 它是以质量守恒动身得到的, 其意义为在一个假想体积中, 流体的质量随时间的变化等于单位时间从其边界流入该体积的净质量；利用体积分化为面积分的公式 vdVv dAVS,连续性方程可化为dVVtV vdV0,即Vt vdV0；由于dV0,所
29、以只能 v0t上式就是连续性方程的微分形式,它对流体内任一点都成立；3 ）能量方程假如我们争论流体的能量变化,可取 N=E,此时e,式中e为单位质量流体的能量；由一般方程式得dEdtt假想体积edV假想边界evdA,上式就是流体内部能量满意的方程； 它表示流体能量随时间的变化可由假想体积内流体能量随时间的变化与单位时间从边界流入假想体积内的净能量确定；4 ）动量方程假如我们争论的是流体动量如何随时间变化,可取N=P,此时v ；将此关系代入一般方程可得流体力学的动量方程dpdtt假想体积v dV假想边界v vdA ；其意义为 流体的动量随时间的变化率等于假想体积内流体的动量随时间的变化加上从假想
30、体积边界流入该体积中的净动量；5 ）方程的应用i) 作为连续性方程的应用,考虑在流管中稳固流淌的流体；由于流淌是稳定的,流线的位置不随时间变化,沿流管截取一假想体积如图10.4.3所示,该体积由流管的边界与上、 下两个面 1和2包围；对稳固流淌退化成0t,这时连续性方程假想边界v dA0；这说明单位时间内通过假想体积边界流入流出的净质量为零,由于管内外的流体均不能穿过管壁,所以流体只能通过下截面 1流入,上截面 2流出；这意味着从截面1流入的流体质量必定等于通过截面 2流出假想体积的质量,即S11v1dA 12 v 2dA 2S2；假如用 1及 2分别表示截面 1与截面 2处的平均密度,用 Q
31、1、Q2表示通过截面 1与截面 2的流量,上式可以表示成更便利的形式对于不行压缩的流体1Q12 Q2 ,12 ,上式退化为Q1=Q2 ；结果说明, 不行压缩的流体在流淌时,沿流管的任意截面上流量均相同, 它是质量守恒的必定结果；ii) 作为动量方程的应用,考虑在一弯管中稳固流淌的流体,如图10.4.4所示；沿载流管截取一假想体积,该体积由载流管内边界与1、2两个截面包围,同样地,对稳固流淌有0t且任意一点流速v=常量, 因此 动量 方程退化成dpdt假想边界v vdA ；由于在载流管的边界处流速 v垂直于载流管的内表面 ,所以上式中对假象体积的外表面积分实际上退化为对 1、2两个截面的面积分d
32、pdtS11 v1 v1dA 2 v 2S2 v 2dA 1 v 1v 1dAS12 v 2v 2d AS 21v1Q12 v 2Q2这里的 1、 2、v1、v2是1、2两个截面上的平均密度与平均速度；假如流体是不可压缩的且流淌过程中质量守恒,这时1= 2= ,Q1=Q2= Q, 结果简化成dpQ vdt2v1 ；从图10.4.4看出, 流体在载流管内动量的转变是由于管壁施加给流体作用力的缘故, 其大小与方向由上式打算, 因此由牛顿第三定律可以得到结论： 流体对载流管的作用力也由上式打算,但作用力的方向相反；11.5 抱负流体的流淌1）沿一条流线的欧拉方程先来介绍流体力学中一个特别重要的方程欧
33、拉方程,它是流体动力学的基本程之一；当无粘滞性的流体稳固流淌时,取流体内一根流线 S,如图 10.5.1所示；沿流线截取一横截面为dA ,长为 ds的一小流体元；该流体元受到来自沿流线前、后两个截面上的正压力（以流线的方向为参照方向） p2p1dAp dAds sp dvs,力的方向沿着流线的切向；这段流体元仍受到重力的作用,其大小为mg = gdv ,方向竖直向下； 设重力与流线之间的夹角为,就重力沿着流线切线方向的 投影为（见图 10.5.1）g cos dvgz dvs；对所取的流体元,按牛顿其次定律写出沿流线切向的动力学方程就是p dv sgz dv sadv,式中a为流体元沿流线切向
34、的加速度； 将 g用比重 表示,并排除上式中 dv得到pzss式中的切向加速度 a可改写成a；1adv dtvsvvvvsttst ,把上面的式子代回前面的式子 1 就可以得到1pg zvvv0ssst,v这就是沿一条流线的欧拉方程；对于稳固流淌t0,欧拉方程退化成1pg zvv0sss；由于此时只有一个变量（空间变量 s）,上式中的偏微分可用全微分代替,去掉微分公因子 ds后得dpgdzvdv0；2）柏努利方程无粘滞性的流体稳固流淌时, 沿任何一条流线必定满意上式； 对抱负流体, 由于不行压缩上式中的密度是常数；将上式沿流线积分, 留意此时密度为常量就可以得到抱负流体沿任何一条流线流淌时必需
35、满意的方程pgz1 v 2常数2 ；上式就是闻名的柏努利方程, 式中的积分常数也称柏努利数, 它是随着不同流线 而变化的；式中每一项的量纲都是单位质量的能量M 2S-2；如将上式除以 g, 每项就成为单位重量的能量,即pv 2z常数2g；对液体来说,用上式比较便利；如用g乘上式就得到pgz1v 2常数2,该式用于气体显得便利一些,由于对气体来说高度 z的变化往往是不很重要的,在精度要求不很高的情形可将其略去,这样方程显得简洁；现在来说明一下柏努利方程中各项的物理意义； 第一项P/ 是单位质量流体流淌时对外做的功或者流功, 也就是单位质量流体对四周环境所做的功； 为了弄清这一点可参见图 10.5
36、.2装置,一个由叶片构成的涡轮放置在水槽下端的出水口处,当水流淌时液体会对涡轮施加一个力矩使涡轮旋转；作用在叶片上的力可近似地认为是压强乘以叶片的表面积dA ,如再乘以压力作用中心到涡轮转轴的距离r,就是作用在涡轮转轴上的力矩；假定叶片在 dt时间内转过 d 角度,就力矩对涡轮做功dwNdP d Ar dP d Ad ；s式中ds是压力中心位移的大小, 将上式除以 d t时间内流出液体的总质量dAds, 就是单位质量的液体对涡轮所作的功pdAdspdAds；其次项 gz是单位质量流体的势能； 由于质量为m的流体在重力场中提高 z 高 度时重力所做的功是mgz,这时流体的势能增加了mgz,所以单
37、位质量流体的势能就是 gz；v2/2项是单位质量流体的动能；由于质量为m 的流体以速度 v运动时它具有动能是mv2/2,故单位质量流体的动能为 v2/2；从上面的分析可以知道,柏努利方程实际上是抱负流体沿着流线运动时的能量方程；关于柏努利方程的应用应留意下面几点, a当全部的流线都源于同一流体库,且能量到处相同,这时柏努利方程中的常数不会因流线不同而有所不同； 这时对全部的流线来说柏努力数都相同, 此时柏努力方程不限于对一条流线的应用；b）在通风系统中的气流,如压强变化相对无气流时变化不大,这时气体可以看成不行压缩的,柏努利方程仍可适用,不过气流的密度应取平均密度；c 对渐变条件下的非稳固流淌
38、, 也可用柏努利方程求解, 这时引起的误差不会很大；d对于实际流体的稳固流淌,可先忽视流体的粘滞性,用柏努利方程得到一个理想的结果,然后再用试验作一些修正,也就是说要加入能量损耗项；例题,水正沿着如附图所示的管内流淌, 管上端的直径为 2米,管内流速为3米/秒；管下端的直径为 1米,管内流速为 10米/秒；假定流体可视为抱负流体, 沿着流线压强不变,求管的上端相对地面的落差；解：沿管的中心取一条流线,按柏努利方程在流线的两端 1、2处vp211 1z 2g2vp22 2z2g,由已知 P1=P2所以z1z 2 12 v 22gv1 2；2设管上端与地面的落差为 y,明显 y=z1 z2 0.5
39、,由此得到21y v 22gv 1 0.5；将v1=3米/秒, v2=10米/秒代入上式,解得 y=3.64米；11.6 实际流体的流淌1）斜面上稳固的层流在实际流体的流淌过程中必需考虑流体的粘滞性； 各流淌层之间的内摩擦力使实际流体的流淌变成不行逆过程,也造成流淌过程中能量的损耗；现在考虑平行斜面的稳固层流,如图10.6.1 所示；设上平面的流速为 v,它的流淌平行于斜面,下平面与斜面接触流速为零,整个流淌 层的厚度为 a,各流淌层之间存在速度梯度； 为了分析便利,在流体内沿流淌层隔离出一个高度为dy、长度为 dl 、单位宽度的薄片状流体元, 如图中心的长方块所示； 在稳固流淌条件下此薄片以
40、恒定速度 u沿斜面对下流淌；在流淌过程中,该薄片状流体元一共受到三个力的作用； a 平行于斜面方向的压力,其大小为（以流速方向为正方向）pdy pdydp dy dldl dp dydl dl；b) 粘滞力,薄片流体元上、下两面的剪应力,由牛顿粘滞力定律知其大小为dl dld dydl dyd dydl dy；c) 薄片状流体元受到的重力, 其大小为 rgdldy 方向竖直向下, 设重力与斜面法线的夹角为 q,就重力在沿斜面方向重量就是g sindldyg dh dldy dl；式中dl 是流体元沿斜面的长度, dh是流体元两端距地面的高度差；由于争论的是稳固流淌, 此薄片状流体元沿斜面方向运动的加速度为零,其动力学方程就是dp dydl dl将上式除以 dydl ,整理后得d dydl dyg dh dldy0 dl,d dy另一方面,利用牛顿粘滞性定律d ph dl；d可得dydu dy ,d 2 udph；dy 2dl式中