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1、精品学习资源2021 年一般高等学校统一考试试卷（江苏卷）一、填空题：本大题共14 小题，每道题 5 分，共计 70 分；请把答案填写在答题卡相印位置上；欢迎下载精品学习资源1. 函数 y3 sin 2 x 的最小正周期为4欢迎下载精品学习资源【答案】 | |【解读】 T | 222 | 欢迎下载精品学习资源22. 设 z2i（ i 为虚数单位），就复数z 的模为【答案】 5【解读】 z3 4i， i2 1， | z | 5x2y 23. 双曲线1的两条渐近线的方程为169【答案】 y3 x 4欢迎下载精品学习资源2【解读】令： x2y0 ，得 y9x3 x 欢迎下载精品学习资源2169164
2、欢迎下载精品学习资源4. 集合 1,0,1共有个子集欢迎下载精品学习资源【答案】 8【解读】 23 8 5右图是一个算法的流程图，就输出的n 的值是【答案】 3运动员第一次其次次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892【解读】 n1， a 2， a4 ，n 2； a 10， n3； a 28， n 4 6抽样统计甲、乙两位设计运动员的5 此训练成果（单位：环），结果如下：就成果较为稳固（方差较小）的那位运动员成果的方差为【答案】 2欢迎下载精品学习资源【解读】易得乙较为稳固，乙的平均值为：8990x918892590 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源方差为： S
3、28990 2909029190 258890 2929022 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源7. 现在某类病毒记作X mYn ，其中正整数 m， n （ m7 ， n9 ）可以任意选取，就m，n欢迎下载精品学习资源都取到奇数的概率为【答案】 2063【解读】 m取到奇数的有1， 3， 5，7 共 4 种情形； n 取到奇数的有1， 3， 5， 7，9 共 5 种情形，就m，n 都取到奇数的概率为4520 7963欢迎下载精品学习资源8. 如图，在三棱柱A1B1C1ABC 中，D， E， F分别是AB， AC， AA1 的中点，设三棱锥FADE欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源
4、的体积为V1 ，三棱柱A1B1C1ABC 的体积为V2 ，就V1 :V2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源【答案】 1 ：24【解读】三棱锥F之比为 1： 8ADE与三棱锥 A1ABCC1的相像比A1B1为 1： 2，故体积欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又因三棱锥 A1以，三棱锥 FABCADE与三棱柱与三棱柱A1B1C1 A1B1C1ABC ABC的体积之FC的体积之EAD比 为 1 ： 3 所B比为 1： 24欢迎下载精品学习资源9. 抛物线 yx2 在 x1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D 包含三欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源角形内部和边界 如点P x,
5、 y 是区域 D 内的任意一点，就x2 y的取值范畴是欢迎下载精品学习资源1【答案】 2， 2欢迎下载精品学习资源【解读】抛物线 yx2 在 x1处的切线易得为 y 2x 1，令 z1zx2 y ， y x 欢迎下载精品学习资源1画出可行域如下，易得过点0， 1时， zmin 2，过点 2221， 0时， zmax 2欢迎下载精品学习资源yy2 x 1Ox欢迎下载精品学习资源10. 设D， E分别是ABC 的边AB， BC1y 2 x上的点， AD1 AB ， BE22 BC ，3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源如 DE1 AB2 AC （1， 2 为实数），就12 的值为欢迎下载精品
6、学习资源欢迎下载精品学习资源1【答案】 2【解读】 DEDBBE1 AB22 BC31 AB22 BA3AC欢迎下载精品学习资源所以，1 AB612，2 AC311 AB2 AC欢迎下载精品学习资源1623122欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源11. 已知f x 是定义在 R 上的奇函数；当x0 时，f xx24x ，就不等式f xx 的解集用区欢迎下载精品学习资源间表示为【答案】 5， 0 5， 欢迎下载精品学习资源【解读】做出f xx24x x0 的图像，如下图所示；由于f x是定义在 R 上的奇函数，利用奇欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源函数图像关于原点对称做出x 0 的
7、图像；不等式f xx，表示函数 yf x 的图像在 y x 的上方，欢迎下载精品学习资源观看图像易得：解集为 5，0 5， ；yP5,5y xxy 2 4 xxQ 5, 5欢迎下载精品学习资源212. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C 的标准方程为 xa 22y1a b20,b0 ，右焦点为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源F ，右准线为 l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为d1 ， F 到 l 的距离为d2 ，如欢迎下载精品学习资源d 26d1 ，就椭圆 C 的离心率为【答案】3yl3B欢迎下载精品学习资源a 2【解读】如图，l ： xcbca 2， d2 c c
8、b 2bacOFxb，由等面积2cbc欢迎下载精品学习资源得 ： d1 ； 如 d 26d1 ， 就ac6， 整 理a欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源得：6a2ab6b 20 ，两边同除以：2a 2 ，得：6 bbaa60，解之得： b 6 ，a3欢迎下载精品学习资源2所以，离心率为： e1b3 a3欢迎下载精品学习资源13. 在平面直角坐标系xOy 中，设定点Aa,a ， P 是函数y1 （ x x0 ）图象上一动点，欢迎下载精品学习资源如点 P， A 之间的最短距离为 22 ，就满意条件的实数a 的全部值为【答案】 1 或10欢迎下载精品学习资源【解读】14. 在正项等比数列 an
9、 中， a512 ， a6a73，就满意 a1a2ana1a2an 的欢迎下载精品学习资源最大正整数 n的值为【答案】 12a q11欢迎下载精品学习资源【解读】设正项等比数列 an 首项为a1，公比为 q，就：142，得： a132， q 2， an欢迎下载精品学习资源a1q 5 1q3欢迎下载精品学习资源 26n 记 Taa2 n1a，a aan 1 n22 T， 就欢迎下载精品学习资源2 n1 n 1 nn12n1 n225211n 5n12n111nn13121欢迎下载精品学习资源2n252，化简得： 2122，当 nn 2n225 时， n12 当 n2欢迎下载精品学习资源 12 时
10、，T1212 ，当 n 13 时，T1313 ，故 nmax 12欢迎下载精品学习资源二、解答题：本大题共6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分 14 分）欢迎下载精品学习资源已知 acos,sin， bcos,sin ， 0欢迎下载精品学习资源（ 1）如 | ab |2 ，求证： ab ；欢迎下载精品学习资源（ 2）设 c0,1 ，如 abc ，求,的值欢迎下载精品学习资源解： （ 1） a b coscos，sin sin，| a b| 2 cos cos2 sin sin22 2cos cos sin sin 2，所以，
11、 cos cos sinsin 0，欢迎下载精品学习资源（ 2）所以，cos sinab cos0sin12， 2 得： cos 12欢迎下载精品学习资源2所以， 32， 3 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2带入得： sin3sin321cos 2sin sin 3 1，欢迎下载精品学习资源所以， 32所以， 5，66欢迎下载精品学习资源16（本小题满分 14 分）欢迎下载精品学习资源如 图 ， 在 三 棱 锥 SABC中 ， 平 面 SA B平 面 SB C ， ABBC ， ASAB ， 过 A 作欢迎下载精品学习资源AFSB ，垂足为 F ，点E， G分别是棱SA， SC 的
12、中点求证：欢迎下载精品学习资源（ 1）平面EFG / 平面 ABC ；欢迎下载精品学习资源（ 2） BCSA S欢迎下载精品学习资源证： （ 1）由于 SA AB 且 AF SB，EG所以 F 为 SB的中点F又 E， G 分别为 SA， SC的中点，C所以， EF AB， EG ACA又 AB AC A，AB面 SBC，AC面 ABC，欢迎下载精品学习资源所以，平面EFG/ 平面 ABC B欢迎下载精品学习资源（ 2）由于平面 SAB平面 SBC，平面 SAB平面 SBC BC， AF平面 ASB， AFSB所以， AF平面 SBC又 BC平面 SBC， 所以， AF BC又 AB BC，A
13、FAB A， 所以， BC平面 SAB 又 SA平面 SAB，所以， BCSA 欢迎下载精品学习资源17（本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上A0,3 ，直线l : yy2x4 lA欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 1）如圆心 C 也在直线 y求切线的方程；x1上，过点 A 作圆 C 的切线，Ox欢迎下载精品学习资源（ 2）如圆 C 上存在点 M ，使标 a的取值范畴MA2 MO，求圆心 C 的横坐欢迎下载精品学习资源解： （ 1）联立：yxy2 x1，得圆心为： C3， 24欢迎下载精品学习资源设切线为：ykx3 ，欢迎下
14、载精品学习资源| 3kd132 |r k 21，得： k0ork3 43欢迎下载精品学习资源故所求切线为： y0oryx3 4欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 2）设点 Mx，y，由MA2MO，知：x2 y3 22x 2y 2 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2化简得： x y1 24 ，欢迎下载精品学习资源即：点 M 的轨迹为以 0， 1为圆心， 2 为半径的圆，可记为圆D 又由于点 M 在圆 C 上，故圆 C 圆 D 的关系为相交或相切欢迎下载精品学习资源故： 1 | CD| 3，其中 CDa 22a3 212解之得： 0 a 5 欢迎下载精品学习资源18（本小题满分
15、16 分）如图，游客从某旅行景区的景点A 处下山至 C 处有两种路径；一种是从A 沿直线步行到 C ，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ，然后从 B 沿直线步行到 C 现有甲、乙两欢迎下载精品学习资源位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为50 m/ min在甲动身2 min后，乙从欢迎下载精品学习资源A 乘缆车到 B ，在 B 处停留1min后，再从匀速步行到C 假设缆车匀速直线运动的欢迎下载精品学习资源速度为130 m / min ，山路 AC 长为 1260 m ，经测量，cos A12 ， cosC3 135欢迎下载精品学习资源（ 1）求索道 AB 的长；（ 2）问乙动身
16、多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（ 3）为使两位游客在 C 处相互等待的时间不超过3 分钟，乙步行的速度应掌握在什么范畴内？解： （ 1）如图作 BD CA 于点 D，MA设 BD 20k，就 DC25 k，AD 48k，BNAB 52k，由 AC 63k 1260m，知： AB 52k1040m D（ 2）设乙动身 x 分钟后到达点 M，C此时甲到达 N 点，如下列图 就： AM 130x， AN 50x 2，由余弦定理得： MN 2 AM 2 AN22 AM ANcosA 7400 x2 14000 x 10000，35欢迎下载精品学习资源37其中 0 x8，当 xmin 时， MN
17、 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 3）由（ 1）知： BC500m ，甲到 C用时：126050 1265 min 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源如甲等乙 3 分钟，就乙到C 用时：1265 31415min ，在 BC上用时：865 min 欢迎下载精品学习资源此时乙的速度最小，且为：500 86 1250m/min 54312611156欢迎下载精品学习资源如乙等甲 3 分钟，就乙到C 用时：565 36255min ，在 BC上用时：5 min 欢迎下载精品学习资源此时乙的速度最大，且为：5005 14 m/min 欢迎下载精品学习
18、资源欢迎下载精品学习资源故乙步行的速度应掌握在125043 ，62514 范畴内欢迎下载精品学习资源19（本小题满分 16 分）欢迎下载精品学习资源设 an是首项为 a，公差为 d 的等差数列 d0 ， Sn 是其前 n 项和记 bnnSn，n2c欢迎下载精品学习资源nN * ，其中 c 为实数欢迎下载精品学习资源（ 1）如 c0 ，且b，b ，b 成等比数列，证明：Sn2S（ k, nN* ）；欢迎下载精品学习资源124nkk欢迎下载精品学习资源（ 2）如 bn 是等差数列，证明：c0 n n1) d2 an1d2 a欢迎下载精品学习资源证：（ 1）如 c0 ，就 ana n1d ，Sn，
19、bn欢迎下载精品学习资源222当 b1，b2，b4 成等比数列， b2b1b4，欢迎下载精品学习资源2即： ad 2a a3d 2，得： d2k2ad ，又 d0 ，故d2a 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源k由此： Snn 2a ，Snknk 2 an2 k 2a ，n2 Sn2 k 2a欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故： Snkn2S（ k, nN* ）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 2） bnnSnn2cn 2 nn2 n2 n1d 2c1d 22a，2ac n n21) d2a 2cc n1) d2a 2欢迎下载精品学习资源n1d 2c n2a1 d 22
20、nc2a 欢迎下载精品学习资源如bn 是等差数列，就 bnAnBn 型欢迎下载精品学习资源观看 式后一项，分子幂低于分母幂，欢迎下载精品学习资源故有： 故 cc n0 1) d2a 2n2c0，即c n1 d2a 20 ，而 n1d 22a 0，欢迎下载精品学习资源经检验，当 c0 时 bn是等差数列欢迎下载精品学习资源20（本小题满分 16 分）欢迎下载精品学习资源设函数f xln xax ，g xexax，其中 a为实数欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 1）如f x 在 1, 上是单调减函数，且g x在 1, 上有最小值，求 a 的取值范畴；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资
21、源（ 2）如g x 在 1, 上是单调增函数，试求f x 的零点个数，并证明你的结论欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解： （ 1） f x1a 0 在 1, x 上恒成立，就 a 1 ， x x1， 欢迎下载精品学习资源故： a 1g xexa ，欢迎下载精品学习资源如 1 a e，就g xexa 0 在 1, 上恒成立，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源此时，g xexax在 1, 上是单调增函数，无最小值，不合；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源如 a e，就gxexax 在1，ln a 上是单调减函数，在ln a， 上是单调增函数，欢迎下载精品学习资源g min xg
22、lna ，满意，故 a 的取值范畴为： a e欢迎下载精品学习资源（ 2）g xexa 0 在 1, 上恒成立，就 a x欢迎下载精品学习资源e1故： a e欢迎下载精品学习资源f x1a1axx xx10 1欢迎下载精品学习资源 如 0 a e，令f x 0 得增区间为 0， a；1欢迎下载精品学习资源令 f x 0 得减区间为 a， 欢迎下载精品学习资源 lna 1 0，当且仅当 a当 x 0 时， fx；当 x时， fx；欢迎下载精品学习资源1当 x a时，f1 a1时取等号e欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故：当 a1a时， fx有 1 个零点；当 0 e1e时， fx有 2 个零点欢迎下载精品学习资源 如 a0，就 fx lnx，易得 fx有 1 个零点欢迎下载精品学习资源 如 a0，就f x1a0 在 0，x 上恒成立，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即： f xln xax 在 0， 上是单调增函数，欢迎下载精品学习资源当 x 0 时， fx；当 x时， fx 此时， f x有 1 个零点欢迎下载精品学习资源综上所述：当a1e或a 0 时， fx有 1 个零点；当 0 1时，aefx有 2 个零点欢迎下载精品学习资源欢迎下载