《2022年士研究报告生入学统一考试数学试题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年士研究报告生入学统一考试数学试题及答案.docx（17页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品学习资源2004年全国硕士争论生入学统一考试数学三试卷及答案一、 填空题 如，就 a =， b =.【分析 】此题属于已知极限求参数的反问题.【详解 】由于，且，所以，得 a = 1. 极限化为，得 b =4.因此， a = 1， b =4.2 设函数 f u , v由关系式 f xg y , y = x + gy确定，其中函数 g y可微，且 gy0， 就.【分析 】令u = xgy， v = y，可得到 f u , v的表达式，再求偏导数即可.【详解 】令u = xgy， v = y，就f u , v =，所以，.3 设，就.【分析 】此题属于求分段函数的定积分，先换元：x1 = t，
2、再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可 .【详解 】令x1 = t，.4 二次型的秩为 2 .【分析 】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案.欢迎下载精品学习资源【详解一 】由于于是二次型的矩阵为,由初等变换得,从而, 即二次型的秩为 2.【详解二 】由于,其中.所以二次型的秩为2.5 设随机变量听从参数为的指数分布 , 就.【分析 】 依据指数分布的分布函数和方差立刻得正确答案.【详解 】 由于,的分布函数为故.6 设总体听从正态分布, 总体听从正态分布,和分别是来自总体和的简洁随机样本 , 就欢迎下载精品学习资源.【分析 】利用正态
3、总体下常用统计量的数字特点即可得答案.【详解 】由于,故应填.二、挑选题 函数在以下哪个区间内有界.A 1 , 0.B 0 , 1.C 1 , 2.D 2 , 3. A 【分析 】如 f x在a , b内连续，且极限与存在，就函数 f x在a , b内有界 .【详解 】当x0 , 1 , 2时， f x连续，而， 所以，函数 f x在 1 , 0 内有界，应选 A.8 设f x在, +内有定义，且，就A x = 0必是 gx的第一类间断点 .B x = 0 必是 g x的其次类间断点 . C x = 0必是 gx的连续点 .D g x在点x = 0处的连续性与 a的取值有关 . D 【分析 】
4、考查极限是否存在，如存在，是否等于g0 即可，通过换元， 可将极限转化为.欢迎下载精品学习资源【详解 】由于= a令，又g0 = 0 ，所以， 当a = 0 时，即 gx在点 x = 0处连续，当 a0时，即x = 0 是gx的第一类间断点，因此，gx在点x = 0 处的连续性与a的取值有关，应选D. 9 设f x = |x1x|，就A x = 0是f x的极值点，但 0 , 0 不是曲线 y = f x的拐点 .B x = 0不是 f x的极值点，但 0 , 0是曲线 y = f x的拐点 . C x = 0是f x的极值点，且 0 , 0 是曲线 y = f x的拐点 .D x = 0不是
5、 f x的极值点， 0 , 0 也不是曲线 y = f x的拐点 . C 【分析 】由于 f x在x = 0 处的一、二阶导数不存在，可利用定义判定极值情形，考查 f x在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判定拐点情形.【详解 】设 0 0 ,时， f x 0 ，而f 0 = 0 ，所以 x = 0 是f x的微小值点 .明显， x = 0 是f x的不行导点 . 当x, 0 时， f x =x1x，当x0 ,时， f x = x1x，所以 0 , 0 是曲线 y = f x的拐点 .应选 C. 10 设有以下命题：1 如收敛，就收敛 .2 如收敛，就收敛 .3 如，就发散.4 如收敛，
6、就，都收敛 .就以上命题中正确选项A 1 2.B 2 3.C 3 4.D 1 4. B 【分析 】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性 .【详解 】1 是错误的，如令，明显，分散，而收敛. 2是正确的，由于转变、增加或削减级数的有限项，不转变级数的收敛性.欢迎下载精品学习资源3是正确的，由于由可得到不趋向于零 n，所以发散 .4是错误的，如令，明显，都发散，而收敛 . 应选 B.11 设在a , b 上连续，且，就以下结论中错误选项A 至少存在一点，使得 f a.B 至少存在一点，使得 f b.C 至少存在一点，使得.D 至少存在一点，使得= 0. D 【分析 】利用介值定理与极限
7、的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项.【详解 】第一，由已知在a , b 上连续，且，就由介值定理， 至少存在一点，使得；另外，由极限的保号性，至少存在一点使得，即. 同理，至少存在一点使得. 所以， A B C 都正确，应选 D. 12 设 阶矩阵与等价 , 就必有A 当时,.B 当时,.C 当时,.D 当时,. D 【分析 】 利用矩阵与等价的充要条件 :立刻可得 .【详解 】由于当时, 又与等价 , 故, 即, 应选 D.欢迎下载精品学习资源13 设 阶矩阵的相伴矩阵如是非齐次线性方程组的互不相等的解，就对应的齐次线性方程组的基础解系A 不存在 .B 仅含一个非零解向量
8、.C 含有两个线性无关的解向量. D 含有三个线性无关的解向量. B 【分析 】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解 】 由于基础解系含向量的个数=, 而且依据已知条件于是等于或. 又有互不相等的解 ,即解不惟一 , 故. 从而基础解系仅含一个解向量, 即选 B.14 设随机变量听从正态分布, 对给定的, 数满意,如, 就 等于A.B.C.D. C 【分析 】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解 】 由, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得. 故正确答案为 C.三、解答题 此题共 9小题，满分 94分. 解答应写出文字说明、证明
9、过程或演算步骤.15 此题满分 8分求.【分析 】先通分化为 “ ”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法就求解即可.【详解 】=.16 此题满分 8分欢迎下载精品学习资源求，其中 D 是由圆和所围成的平面区域 如图 .【分析 】第一，将积分区域 D分为大圆减去小圆，再利用对称性与极坐标运算即可.【详解 】令，由对称性，.所以，.17 此题满分 8分设f x , gx在 a , b上连续，且满意，x a , b，.证明：.【分析 】令Fx = f xgx，将积分不等式转化为函数不等式即可.【详解 】令Fx = f xgx， 由题设 G x0， x a , b，Ga = Gb = 0 ，.从而，由于
10、 Gx0， x a , b，故有，即.欢迎下载精品学习资源因此.18 此题满分 9分设某商品的需求函数为Q = 1005P，其中价格 P0 , 20 ，Q为需求量 . I 求需求量对价格的弹性 0 ；II推导其中 R为收益 ，并用弹性说明价格在何范畴内变化时， 降低价格反而使收益增加.【分析 】由于 0，所以；由Q = PQ及可推导.【详解 】I.II 由R = PQ，得.又由，得 P = 10.当10 P 1，于是，故当 10 P 此题满分 9分设级数的和函数为 Sx. 求：I Sx所满意的一阶微分方程； II S x的表达式 .【分析 】对 Sx进行求导，可得到 Sx所满意的一阶微分方程，
11、解方程可得S x的表达式 .【详解 】I，易见 S0 = 0 ，欢迎下载精品学习资源.因此 Sx是初值问题的解.II 方程的通解为，由初始条件 y0 = 0 ，得C = 1.故，因此和函数. 20 此题满分 13分设,试争论当为何值时 , 不能由线性表示； 可由唯独地线性表示, 并求出表示式； 可由线性表示 , 但表示式不唯独 , 并求出表示式 .【分析 】将可否由线性表示的问题转化为线性方程组是否有解的问题即易求解.【详解 】 设有数使得.*记. 对矩阵施以初等行变换 , 有欢迎下载精品学习资源. 当时, 有.可知.故方程组 * 无解 ,不能由线性表示 . 当, 且时, 有,方程组 * 有唯
12、独解：此时,可由,唯独地线性表示 , 其表示式为 当时, 对矩阵施以初等行变换 , 有，,方程组 * 有无穷多解，其全部解为,， 其中 为任意常数 可由线性表示 , 但表示式不唯独 ,其表示式为21 此题满分 13分设 阶矩阵欢迎下载精品学习资源. 求的特点值和特点向量； 求可逆矩阵, 使得为对角矩阵 .【分析 】这是详细矩阵的特点值和特点向量的运算问题, 通常可由求解特点方程和齐次线性方程组来解决 .【详解 】 当时，,得的特点值为， 对，解得，所以的属于的全部特点向量为为任意不为零的常数 欢迎下载精品学习资源对，得基础解系为， 故的属于的全部特点向量为是不全为零的常数当时，,特点值为，任意
13、非零列向量均为特点向量 当时，有 个线性无关的特点向量，令，就当时，对任意可逆矩阵, 均有22 此题满分 13分设，为两个随机大事 ,且, 令求 二维随机变量的概率分布； 与的相关系数；欢迎下载精品学习资源 的概率分布 .【分析 】此题的关键是求出的概率分布，于是只要将二维随机变量的各取值对转化为随机大事和表示即可【详解】 由于，于是，就有， 或，即的概率分布为：0101 方法一：由于，所以与的相关系数方法二： X, Y 的概率分布分别为X01Y01PP就， DY=, EXY=,欢迎下载精品学习资源故，从而 的可能取值为： 0，1， 2 ，即的概率分布为：01223 此题满分 13分设随机变量
14、的分布函数为其中参数. 设为来自总体的简洁随机样本 , 当时, 求未知参数的矩估量量； 当时, 求未知参数的最大似然估量量； 当时, 求未知参数的最大似然估量量.【分析】 此题是一个常规题型 ,只要留意求连续型总体未知参数的矩估量和最大似然估量都须已知密度函数,从而先由分布函数求导得密度函数.【详解】当时,的概率密度为 由于欢迎下载精品学习资源令,解得,所以 , 参数的矩估量量为. 对于总体的样本值, 似然函数为当时, 取对数得,对求导数，得，令，解得，于是的最大似然估量量为 当时,的概率密度为对于总体的样本值, 似然函数为欢迎下载精品学习资源时,越大，越大, 即 的最大似然估量值为,的最大似然估量量为当于是欢迎下载