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1、名师归纳总结名师总结精品学问点概率论学问点总结第一章随机大事及其概率第一节 基本概念随机试验 ：将一切具有下面三个特点： （ 1）可重复性（ 2）多结果性（ 3）不确定性的试验或观看称为随机试验,简称为试验,常用E 表示；随机大事 ：在一次试验中,可能显现也可能不显现的事情（结果）称为随机大事,简称为大事；不行能大事 ：在试验中不行能显现的事情,记为；必定大事 ：在试验中必定显现的事情,记为；样本点 ：随机试验的每个基本结果称为样本点,记作.样本空间 ：全部样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用 表示 .一个随机大事就是样本空间的一个子集；基本领件 单点集,复合大事 多点集一个随机大事发生
2、,当且仅当该大事所包含的一个样本点显现；大事的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系 ：如大事 A 发生必定导致大事B 发生,就称 B 包含 A,记为 BA 或 AB ；精品学习资料第 10 页,共 6 页相等关系 ：如 BA且 AB ,就称大事 A 与大事 B 相等,记为 A B；大事的和 ：“大事 A 与大事 B 至少有一个发生 ”是一大事,称此大事为大事A 与大事 B 的和大事；记为 A B；大事的积 ：称大事 “大事 A 与大事 B 都发生 ”为 A 与 B 的积大事,记为 A B 或 AB ；大事的差 ：称大事 “大事 A 发生而大事 B 不发生” 为大事 A 与大事 B 的差大
3、事 ,记为 A B ；用交并补可以表示为ABAB ；互斥大事 ：假如 A, B 两大事不能同时发生,即AB ,就称大事 A 与大事 B 是互不相容大事或互斥大事；互斥时A B 可记为 A B；对立大事 ：称大事 “A不发生 ”为大事 A 的对立大事（逆大事） ,记为 A ；对立大事的性质：AB, AB；大事运算律：设 A, B, C 为大事,就有（1） 交换律： A B=B A , AB=BA（2） 结合律： A B C=A B C=A B CABC=ABC=ABC（3）安排律： A BC A BA CAB CAB AC= AB AC（4）对偶律（摩根律） ： AB ABABAB其次节 大事的
4、概率概率的公理化体系：（1）非负性： PA 0；（2） 规范性： P 1（3） 可数可加性： A1A2An两两不相容时P A1A2AnP A1 P A2 P An 概率的性质：（1） P 0（2）有限可加性： A1A2An 两两不相容时P A1A2An P A1P A2P An 当 AB= 时 PA B PA PB（3）P A1P A（4） PA B PA PAB（5） P（A B） PA PB PAB第三节 古典概率模型1、设试验 E 是古典概型 , 其样本空间 由 n 个样本点组成 ,大事 A 由 k 个样本点组成 .就定义大事 A 的概率为P Akn2、几何概率：设大事A 是 的某个区域
5、,它的面积为 A,就向区域 上随机投掷一点,该点落在区域A 的概率为P A A假如样本空间 可用一线段,或空间中某个区域表示,就大事A 的概率仍可用上式确定, 只不过把 懂得为长度或体积即可.第四节 条件概率条件概率：在大事B 发生的条件下,大事A 发生的概率称为条件概率,记作PA|B.P AB P A | BPB乘法公式： PAB=PBPA|B PAPB|A全概率公式：设A1 , A2 , An 是一个完备大事组,就PB= PAi PB|Ai 贝叶斯公式：设A1 , A2 , An 是一个完备大事组 ,就P Ai| BP Ai BP BP Ai P B | Ai P Aj PB | Aj 第
6、五节 大事的独立性两个大事的相互独立：如两大事A 、B 满意 PAB= PA PB,就称 A 、 B 独立,或称 A 、B 相互独立 .三个大事的相互独立：对于三个大事A 、B、C,如 PAB= PA PB,PAC= PAPC ,PBC= PB PC , PABC= PA PBPC ,就称 A 、B、C 相互独立三个大事的两两独立：对于三个大事A 、B、C,如 PAB= PA PB,PAC= PAPC ,PBC= PB PC ,就称 A 、 B、C 两两独立独立的性质：如 A 与 B 相互独立,就 A 与 B , A 与 B , A 与 B 均相互独立总结： 1.条件概率是概率论中的重要概念,
7、其与独立性有亲密的关系,在不具有独立性的场合,它将扮演主要的角色； 2.乘法公式、 全概公式、 贝叶斯公式在概率论的运算中常常使用, 应坚固把握； 3.独立性是概率论中的最重要概念之一,应正确懂得并应用于概率的运算；其次章 一维随机变量及其分布其次节 分布函数分布函数：设 X 是一个随机变量,x 为一个任意实数,称函数F xP Xx 为 X 的分布函数；假如将X 看作数轴上随机点的坐标,那么分布函数Fx 的值就表示 X 落在区间, x 内的概率分布函数的性质： （ 1）单调不减； （ 2）右连续；（ 3） F 0, F 1第三节 离散型随机变量离散型随机变量的分布律：设xk k=1,2,是离散
8、型随机变量X所取的一切可能值,称P Xxk pk 为离散型随机变量X 的分布律,也称概率分布.当离散性随机变量取值有限且概率的规律不明显时,常用表格形式表示分布律；分布律的性质： （ 1） 0pk1；（ 2）pk1离散型随机变量的概率运算：（1） 已知随机变量 X 的分布律,求 X 的分布函数；F xP Xxxk xP xk （2） 已知随机变量 X 的分布律 , 求任意随机大事的概率；（3） 已知随机变量 X 的分布函数,求 X 的分布律P Xxk F xk F xk0三种常用离散型随机变量的分布：1.（ 0 1）分布：参数为 p 的分布律为P X1p, P Xk01p2. 二项分布：参数为
9、n,p 的分布律为P Xkk p k 1p n, k0,1,2, n ；例如Cnn 重独立重复试验中,大事A 发生的概率为 p,记 X 为这 n 次试验中大事 A 发生的次数, 就 X B（ n,p）3. 泊松分布： 参数为 的分布率为P Xkke, kk.0,1,2,；例如记 X 为某段事件内电话交换机接到的呼叫次数,就X P（ ）第四节 连续型随机变量连续型随机变量概率密度fx 的性质（1） fx 0a（2）f x dx1 , P Xaf xdx0a（3）P aXbP aXbP aXbP aXbbf xdxa（4） （4）f xF x, F xxf xdx连续型随机变量的概率运算：（1）
10、已知随机变量 X 的密度函数,求 X 的分布函数；F xxf xdx（2） 已知随机变量 X 的分布函数,求 X 的密度函数；f xF x（3） 已知随机变量 X 的密度函数 , 求随机大事的概率；P aXbbf xdxa（4） 已知随机变量 X 的分布函数,求随机大事的概率；P aXbF bF a三种重要的连续型分布：1. 匀称分布：密度函数f x1axba0elseb ,记为 X Ua , b.2. 指数分布：密度函数f xexx0x0,记为 X E（ ）03. 正态分布：密度函数f x2 x1e2 22,记为X N ,2 N（ 0,1）称为标准正态分布 .标准正态分布的重要性在于,任何一
11、个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布,然后再运算概率.P aXbF bF a ba第五节 随机变量函数的分布离散型：在分布律的表格中直接求出；连续型： 查找分布函数间的关系, 再求导得到密度函数间的关系；留意分段函数情形可能需要争论,得到的结果也可能是分段函数；FY yPYyP g X yP XG yF G y第三章 多维随机变量及其分布第一节 二维随机变量的联合分布函数联合分布函数F x, yP Xx,Yy ,表示随机点落在以（ x ,y）为顶点的左下无穷矩形区域内的概率； 联合分布函数的性质：（1） 分别关于 x 和 y 单调不减；（2） 分别关于 x 和 y 右连续；（3
12、） F - , y = 0,F x ,- =0,F- ,- = 0 F + ,+ = 1其次节 二维离散型随机变量联合分布律：P Xxi , Yy j pij联合分布律的性质：p ij0 ；pij1ij第三节 二维连续性随机变量yx联合密度：F x, ydvfu, v du联合密度的性质：f x, y0 ；fR2 x, ydxdy1； P x, yDf x, ydxdyD第四节 边缘分布二维离散型随机变量的边缘分布律：在表格边缘,对应概率相加求出；二维连续性随机变量的边缘密度：先求出边缘分布函数,在求导求出边缘密度第六节 随机变量的独立性独立性判定：（1） 如X ,Y取值互不影响,可认为相互独
13、立；（2） 依据独立性定义判定F x, yFX xFY y离散型可用pijpip j连续型可用f x, yf X xf Y y独立性的应用： （ 1）判定独立性； （ 2）已知独立性,由边缘分布确定联合分布第四章 随机变量的数字特点离散型随机变量数学期望的运算EXxk pkk, E g X g xk pkk连续型随机变量数学期望的运算EXxf xdx , E g X g x f xdx方差的运算： DXE XEX 2 , DXE X 2 E 2 X 数学期望的性质（1） E C = C（2） E CX = CE X （3） E X + Y = E X + E Y （4）当 X ,Y独立时, E X Y = E X E Y 方差的性质（1） D C = 0（2） D CX =C 2 DX（3） 如 X ,Y相互独立,就D XY = D X + D Y 常见分布的数学期望和方差两点分布,二项分布,泊松分布,匀称分布,正态分布,指数分布