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1、2021 北京西城区高三二模数学理科一、挑选题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分.在每题给出的四个选项中，选出符合要求的一项学习文档 仅供参考1. 设集合 U1,2,3,4,5 ， A1,2,3 ， B3,4,5，就 CU AB 等于A 1,2,3,4,5B 1,2, 4,5C 1,2,5D 32. “ ln x1 ”是“ x1 ”的A 充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3. 假设 ba0 ，就以下不等式中正确的选项是11baA B abC2ababD abab4. 如图，三棱柱ABCA1B1C1 的侧棱长和底面C1边长均为 2 ，且侧棱AA1底面 AB
2、C ，其正主11A1B1视图是边长为 2 的正方形，就此三棱柱侧左视图的面积为A 3B 23C 22D 42CAB正主视图5. 数列 an 满意a11， a23 ， an12nan n1,2,，就a3 等于A 15 B 10C 9D 56. 在 数 列 an 中 ，a11 ， anan 1n ，开头n2 为运算这个数列前10 项的和， 现给出该问题算法的程序框图如以下图，就图中判定i0, a0, s0框 1处合适的语句是1是A i8B i9否ii1输出 sC i10D i11aai终止ssa7. 设集合 S1，2， ，9 ，集合 A a1, a2 , a3 是 S 的子集，且a1, a2 ,a
3、3 满意 a1a2a3 ，a3a26 ，那么满意条件的子集A 的个数为A 78B 76C 84D 838. 如图， 在等腰梯形 ABCD 中， AB / CD ，且 AB2 AD .DC设DAB，0, ，以 A ，B 为焦点且过点 D 的2双曲线的离心率为e1 ，以 C ，D 为焦点且过点 A 的椭圆的离AB心率为e2 ，就A 随着角度 的增大， B 随着角度 的增大， C随着角度 的增大， D 随着角度 的增大，e1 增大， e1 减小， e1 增大， e1 减小，e1e2 为定值e1e2 为定值e1e2 也增大e1e2 也减小二、填空题：本大题共6 小题，每题 5 分，共 30 分.9.
4、某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取200 名同学的成果， 成果全部在 50 分至 100 分之间， 将成果按如下方式分成 5 组：第一组，成果大于等于50 分且小于 60 分；其次组，成果大于等于60 分且小于 70 分；第五组，频率/组距成果大于等于 90 分且小于等于 100 分，据此绘制了如以下图的频率分布直方图 .0506070分数8090 100就这 200 名同学中成果大于等于80 分且小于 90 分的同学有名.10. 在 x21 6 的绽开式中，常数项是 .结果用数值表示xBC11. 如图，ABC 是圆的内接三角形，PA 切圆于点 A ， PB 交圆于点 D .假设ABC60
5、，PD1，BD8，就PAC , PA .DAPx12. 圆 C :y1 2 cos, 为参数的半径为,假设圆 C 与直线2 2 sinxym0 相切，就 m .13. 设 a, b, c 为单位向量，a, b 的夹角为 60 ，就 abcc 的最大值为.14. 已知函数f xexa ln x 的定义域是 D ，关于函数f x给出以下命题：对于任意 a0, ，函数f x 是 D 上的减函数；对于任意 a,0，函数f x 存在最小值；存在 a0, ，使得对于任意的xD ，都有f x0 成立；存在 a,0，使得函数f x 有两个零点其中正确命题的序号是 写出全部正确命题的序号、三、解答题：本大题共6
6、 小题，共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. 本小题总分值 13 分如图，在四边形ABCD 中， AB求 sinABD 的值；求BCD 的面积 .3 ， ADBCCD2 ， AD60 .CAB16. 本小题总分值 13 分一个盒子中装有5 张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片 .假设从盒子中有放回的取3 次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率；假设从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，否就连续抽取卡片，求抽取次数X 的分布列和期望 .17. 本
7、小题总分值 13 分如图，四棱柱侧棱 AA12 .ABCDA1B1C 1D1 中，A1D平面 ABCD ，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，A1D1求证：求直线C1D / 平面BD1 与平面ABB1 A1 ；A1C1D 所成角的正弦值；B1C1求二面角DA1C1A的余弦值 .ADBC18. 本小题总分值 13 分已知 a0 ，函数f xx2ax设 x,a ，记曲线 yf x 在点 M x , f x 处的1112切线为 l ， l 与 x 轴的交点是Nx2,0， O 为坐标原点证明： x22x1；2x1a假设对于任意的x1,a ，都有2OMON9 a成立，求 a 的取值范畴1619. 本
8、小题总分值 14 分y2如图， 椭圆C : x21 短轴的左右两个端点分别为4A, B ，直线 l :ykx1 与 x 轴、 y 轴分别交于两点E, F ，与椭圆交于两点C, D.y，lD假设 CEFD ，求直线 l 的方程； 设 直 线AD, CB 的 斜 率 分 别 为k1, k2， 假 设Fk1 : k22:1 ，求 k 的值 .ABxEOC20. 本小题总分值 14 分n在数列 a 和 b 中，aa ，b a1nb ，n1,2,3,，其中 a2 且 aN* ，bR .n假设 a1nnb1 ， a2nb2 ，求数列 bn的前 n 项和；证明：当 a2,b2 时，数列 bn 中的任意三项都
9、不能构成等比数列；设A a1, a2 , a3, ， B b1,b2, b3 ,，试问在区间1,a 上是否存在实数b 使得C AB. 假设存在，求出b 的一切可能的取值及相应的集合C ；假设不存在，试说明理由.北京市西城区 2021 年抽样测试参考答案高三数学试卷理科2021.5一、挑选题： 本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分.题号12345678答案BACBACDB二、填空题： 本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分.9.4010. 1511. 60 ， 312.2 ， 3 或 113.3114. 注：两空的题目，第一个空2 分，其次个空 3 分.14 题选对一个命题得两
10、分，选出错误的命题即得零分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 假设考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15、解：已知 A60 ，DC由余弦定理得BD 2AB2AD 22 ABAD cos A7 ，解得 BD7 ， 3 分由正弦定理，sinADBD，ABABDsin AAD所以 sinABDsinBDA . 5 分2321727. 7 分在BCD 中，BD 2BC 2CD 22 BC CD cos C ，所以 744222cos C ， cos C1， 9 分8由于 C0,，所以sin C37， 11 分8所以，BCD 的面积 S1BC CDsin C37. 13
11、分2416、解：设 A 表示大事“有放回地抽取3 次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数”，由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为22 23 33655125就 P A2， 2 分5C. 5 分依题意，X 的可能取值为 1,2,3, 4 . 6 分P X12， 7 分5P X23235410， 9 分P X322135435， 10 分P X4321154310， 11 分所以 X 的分布列为12342311510510X PE X 12233141 12 分2 . 13 分51051017、 证明： 四棱柱ABCDA1B1C 1D1 中，BB1 / CC1 ，又 CC1面
12、ABB1 A1 ，所以CC1 / 平面ABB1A1 ， 2 分ABCD 是正方形，所以CD /AB ，又 CD面ABB1A1 ，所以CD / 平面ABB1A1 ， 3 分所以平面CDD1C1 / 平面ABB1A1 ，所以 C1D / 平面 ABB1 A1 . 4 分 解： ABCD 是正方形， ADCD ，由于 A1D平面 ABCD ，所以 A1DAD ， A1DCD ，如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz ， . 5 分在 ADA1 中，由已知可得 A1D3 ，所以 D 0,0,0,A10,0,3,A1,0,0, C1 1,1,3 ，B10,1,3, D1 1,0,3, B1,1,
13、0 ，BD1 2, 1,3， 6 分zA1由于 A1D平面 ABCD ，D 1所以 A1D平面A1B1C1D1 ，B1C1A1DB1D1 ，又 B1D1A1C1 ，所以 B1D1所以平面平面 A1C1D ， 7 分x ADA1C1D 的一个法向量为By Cn1,1,0 ， 8 分设 BD1 与 n 所成的角为，就 cosn BD133， 9 分n BD12843所以直线BD1 与平面A1C1D 所成角的正弦值为. 10 分4 解： 设平面A1C1 A的法向量为m = a, b,c ，就 m A1C10,mA1A0 ,所以ab0 ， a3c0 ，令 c3 ，可得 m = 3,3,3 ， 12 分
14、设二面角D A1C1A的大小为，就 cosm n642.m n2217所以二面角DA1C1A的余弦值为42. 13 分718、解：对f x 求导数，得f x2 xa ，故切线 l 的斜率为2 x1a ， 2 分由此得切线 l 的方程为 yx2ax12 x1a xx1 4 分1x2axx2x令 y0 ，得 x21111. 5 分2x1a2x1a由M x , x2ax , N2x1,0 ，得OMON3x1. 6 分1112x1a2x1a所以 a0 符合题意， 7 分当 a0 时，记gx13x11， x2x1a,a 211对 g x 求导数，得g x x24 x3a, 8 分1112xa2令 g x
15、10 ，得 x13aa, .42当 x1,a 时，2g x1 的变化情形如下表：x1,3a 3a3a ,a g x1 44420所以，函数gx1 在 ,3a 上单调递减，在3a ,a 上单调递增， 10 分从而函数4g x1 的最小值为 g3a 4227 a 2 . 11 分依题意27 a24329a， 12 分解得 a32162，即 a 的取值范畴是32, 3. 13 分, 或综上， a 的取值范畴是23a 0 .19、解：设Cx1, y1,D x2 , y2 ，4x2由y24,得 4k 2 x22kx30 ，ykx14k2124k 2 16k248 ，x1x22k4k 21， x1x234
16、k 2， 2 分由已知E,0,kF 0,1 ，又 CEFD ，所以 1x ,y x , y1 4 分1122k11所以x1kx2 ，即 x2x1， 5 分k2k所以21，解得 k2 ， 6 分4kk符合题意，所以，所求直线 l 的方程为 2 xy10 或 2 xy10 . 7 分 ky2， ky1， k : k2:1 ，1x21212x11所以 y2 x1y1 x212 ， 8 分11平方得y2 x2112y2 x12124 ， 9 分y 2又 x211，所以 y241x2 ，同理 y241x2 ，代入上式，111224运算得 112x21x11x1 4 ，即x2 3x1x25x1x230 ，
17、 12 分1所以 3k10k30 ，解得 k3 或 k， 13 分3由于 y2 x112 ，x , x 1,1 ，所以y , y 异号，故舍去 k1 ，y1 x21212113所以 k3 . 14 分20、解：由于 a1b1 ，所以 aa1b， b1 ， 1 分由 a2b2 ，得a 22a10 ，*所以 12a12 ， 3 分由于 a2 且 aN ，所以 a2 ， 4 分所以 bn3n1 ， bn 是等差数列，所以数列 b 的前 n 项和 Sn bb 3 n 21 n . 5 分nn1n222由已知b3n2 ，假设 3m2 ， 3n2 ， 3t2 成等比数列，其中m, n,tN* ，且彼此不等
18、，就 3n2 23m23t2， 6 分所以 9n262n29mt32m32t2 ，所以3n23mtmt2n2 ，n假设 mt2n0 ，就3n 23mt0 ，可得 mt ，与 mt 冲突； 7 分假设 mt2n0 ，就 mt2n 为非零整数， mt2n2 为无理数，所以 3n23mt 为无理数，与3n23mt 是整数冲突 . 9 分所以数列 bn 中的任意三项都不能构成等比数列.设存在实数b 1, a ，使 CAB，0设 m0C ，就 m0A，且 m0B ，0设 mat tN* ， m a1sbsN* ，就 at a1sb ，所以 satb，a1由于 a,t, sN* ，且 a2 ，所以 atb
19、 能被 a1 整除. 10 分1当 t1 时，由于 b1,a ， ab0, a1 ，所以 sabN* ； 11 分a12当 t2n nN* 时，a2 nb a112nb a12n111b，Ca2 n由于 b1,a ，所以 b10, a1 ， 0b1a1 ，所以，当且仅当 b1时， atb 能被 a1 整除. 12 分13当 t2n1nN* 时，a2 n 1b a11 2n 1ba12n 12n 1 a11b ，C由于 b1,a ，所以 b12, a1 ，所以，当且仅当 b1a1 ，即 ba 时， atb 能被 a1 整除 . 13 分综 上 ， 在 区 间 1,a上 存 在 实 数 b ， 使 CAB成 立 ， 且 当 b1 时 ，C y ya 2n , nN* ；当 ba 时， C y ya 2n1,nN* . 14 分