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1、北京市西城区 2021 年高三一模试卷 数学文科第一卷 挑选题共 40 分一、挑选题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分. 在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 .1. 已知集合 A x | x1 ， B x | x24 ，那么 AB A 2, 2B 1,2C 1,2D 1,42. 执行如下图的程序框图，假设输入x3 ，就输出 y 的值为 A 5 B 7 C15 D 313. 假设 alog2 3 ， blog3 2 ， clog 41，就以下结论正确的选项是3 A acbB cab C bcaD cba4. 如图，在复平面内，复数z1 ， z2 对应的向量分别是OA ， OB
2、，就复数z1 对应的点位于z2 A第一象限B其次象限 C第三象限D第四象限225. 已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm ，其三视图中的俯视图如下图，就其左视图的面积是 A4 3 cm2B2 3 cm2C 8cmD 4cm学习文档 仅供参考6. 假设实数 x ， y 满意条件xy0,xy10,就 | x3 y | 的最大值为0x1, A 6B 5C 4D 37. 设等比数列 an 的前 n 项和为Sn 就“a10 ”是“ S3S2 ”的 A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分又不必要条件8. 已知集合 A x | xaa2a22a23 ，其中 a0,1k0,1,2,3
3、，且0123ka30 . 就 A 中全部元素之和是 A 120B 112C 92D 84第二卷非挑选题共 110 分二、填空题共6 小题，每题 5 分，共 30 分.9. 已知向量 a1,2 ， b,2 . 假设ab, a90 ，就实数 .10. 某年级 120 名同学在一次百米测试中，成果全部介于13 秒与 18 秒之间将测试结果分成5 组： 13 ,14 ， 14 ,15 ，15 ,16， 16 ,17， 17 ,18，得到如下图的频率分布直方图假如从左到右的5 个小矩形的面积之比为1: 3: 7 : 6 : 3 ，那么成果在 16,18 的同学人数是11. 函数 ysin2 x3cos2
4、 x 的最小正周期为12. 圆 x2y24x30 的圆心到直线x3y0 的距离是.13. 已知函数f x1x2 ,0x9,就 f x 的零点是； f x 的值域是x2x,2x0.14. 如图， 已知抛物线 y2x 及两点 A 0, y 和 A 0, y ，其中 yy0 . 过 A ， A 分1122别作1212y 轴的垂线， 交抛物线于B1，B2 两点，直线B1B2 与 y 轴交于点A3 0, y3 ，此时就称A1 ，A2 确定了A3 . 依此类推，可由A2 ，A3 确定A4 ，. 记An 0, yn ， n1,2,3,.给出以下三个结论： 数列 yn是递减数列；n 对 nN* ， y0 ；学
5、习文档 仅供参考 假设 y14 ， y223 ，就 y5.3其中，全部正确结论的序号是 三、解答题共6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 本小题总分值 13 分在 ABC 中，已知 2sinB cos Asin AC 求角 A ；假设 BC2 ， ABC 的面积是3 ，求 AB 16. 本小题总分值 13 分某校高一年级开设讨论性学习课程， 1班和 2 班报名参与的人数分别是 18 和27 现用分层抽样的方法，从中抽取假设干名同学组成讨论性学习小组，已知从 2 班抽取了 3 名同学求讨论性学习小组的人数；规划在讨论性学习的中、后期各支配1次沟通活动，每次随机
6、抽取小组中1名同学发言求 2 次发言的同学恰好来自不同班级的概率17. 本小题总分值 14 分如图，矩形 ABCD 中， AB3 ， BC4 E ， F 分别在线段 BC 和 AD 上， EF AB ，将矩形 ABEF 沿 EF 折起记折起后的矩形为MNEF ，且平面 MNEF平面ECDF 求证：NC 平面 MFD ；假设 EC3，求证： NDFC ；求四周体 NFEC 体积的最大值AFD学习文档 仅供参考BEC18. 本小题总分值 14 分x2y26学习文档 仅供参考已知椭圆C :221 abab0 的离心率为，一个焦点为3F 22,0 求椭圆 C 的方程；设直线圆心l : ykx5交椭圆
7、C 于 A ， B 两点， 假设点 A ，B 都在以点2M 0,3 为的圆上，求 k 的值19. 本小题总分值 13 分如图，抛物线yx29 与 x 轴交于两点A, B ，点C , D 在抛物线上点 C 在第一象限， CD AB 记 | CD |2 x ，梯形 ABCD 面积为 S 求面积S 以 x 为自变量的函数式；假设 | CD |k ，其中 k 为常数，且 0k1 ，求 S 的最大值| AB |20. 本小题总分值 13 分对于数列A: a1, a2 ,a3aiN,i1,2,3，定义“ T 变换”：T 将数列 A 变换成数列B : b1 ,b2, b3 ，其中 bi| aiai 1 |
8、i1,2，且 b3| a3a1 | .这种“ T 变换”记作BT A. 连续对数列 B 进行“ T 变换”，得到数列C : c1, c2 ,c3 ，依此类推，当得到的数列各项均为0 时变换终止 试问A : 2,6, 4 经过不断的 “ T 变换” 能否终止？假设能， 请依次写出经过 “ T 变换”得到的各数列；假设不能，说明理由；设A: a1,a2 , a3 ， BT A假设B : b,2, aab ，且 B 的各项之和为 2021 求 a ， b ；假设数列 B 再经过 k 次“ T 变换”得到的数列各项之和最小，求k 的最小值，并说明理由北京市西城区 2021 年高三一模试卷数学文科 参考
9、答案及评分标准一、挑选题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分.1. C；2. D ；3. D；4. B；5. A；6. B；7. C；8. C .二、填空题：本大题共6 小题，每题 5 分，共 30 分.9.9 ；10.54 ；11.；12.1；13.1 和 0 ， 1 ,34；14. .注： 13 题第一问 2 分，其次问 3 分; 14 题少选 1 个序号给 2 分.三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分. 假设考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分 .15. 本小题总分值 13 分 解：由3 分ABC，得 sin ACsin BsinB 所以原式化为4 分2 si
10、n B cos Asin B由于 B6 分由于 A0, ，所以0, ， 所以sin BA0 ， 所以cos A12 7 分解：由余弦定理，3得 BC2AB 2AC 22 ABACcos AAB 2AC 2ABAC 9 分由于 BC2 ， 1 ABAC sin 3 ，所以 AB 223AC 28 11 分由于AB AC4 ，所以 AB2 .13 分16. 本小题总分值 13 分解：设从 1班抽取的人数为m ，依题意得m 183 ，所以 m2 ，27研究性学习小组的人数为m35 5 分设讨论性学习小组中1 班的 2 人为a1,a2 ， 2 班的 3 人为b1, b2 ,b3 2 次沟通活动中，每次
11、随机抽取1名同学发言的基本事件为：a1, a1 ， a1, a2 ， a1, b1 ， a1, b2 ， a1, b3 ，a2 ,a1 ， a2 , a2 ， a2,b1 ， a2 ,b2 ， a2, b3 ，b1, a1 ， b1, a2 ， b1, b1 ， b1,b2 ， b1,b3 ，b2, a1 ， b2, a2 ， b2 ,b1 ， b2 ,b2 ， b2 ,b3 ，b3, a1 ， b3, a2 ， b3, b1 ， b3,b2 ， b3 ,b3 ，共 25 种9 分2 次发言的同学恰好来自不同班级的基本事件为：a1,b1 ， a1,b2 ， a1,b3 ，a2, b1 ，a2,
12、b2 ， a2,b3 ，b1,a1 ，b1, a2 ，b2 ,a1 ，b2 , a2 ， b3, a1 ， b3, a2 ，共 12 种12 分13 分所以 2 次发言的同学恰好来自不同班级的概率为P122517. 本小题总分值 14 分证明：由于四边形MNEF ， EFDC 都是矩形， 所以MN EF CD ， MNEFCD 所以 四边形 MNCD 是平行四边形， 2 分所以 NC MD ， 3 分由于 NC平面 MFD ，所以 NC 平面 MFD 4 分证明：连接ED ，设 EDFCO 由于平面 MNEF平面 ECDF ，且 NEEF ，所以 NE平面 ECDF ，5 分所以 FCNE 6
13、 分又 ECCD ， 所以四边形 ECDF 为正方形， 所以FCED 7 分所以 FC平面 NED ，8 分所以 NDFC 9 分解：设NEx ，就EC4x ，其中 0x4 由得 NE平面 FEC ，所以四周体 NFEC 的体积为1SNEVNFECEFC1 x4x 11 分所以 VNFEC1 x4x 2322 2213 分当且仅当 x4x ，即 x2 时，四周体 NFEC 的体积最大14 分18. 本小题总分值 14 分解：设椭圆的半焦距为c ，就 c22 1 分由 ec a6 ， 得 a32 3 ， 从而 b2a 2c24 4 分x2y 2所以， 椭圆 C 的方程为1 1245 分解：设A
14、x1 , y1 , B x2, y2 22将直线 l 的方程代入椭圆C 的方程，消去 y 得27 分413k x60kx270 由3600k 29 分161 3k 270 ，得k2316，且 x1x215k13k 2 设线段 AB 的中点为 D ，就 xD15k26k 2， y DkxD55226k 2 10分 由点A， B都 在以点 0,3为 圆 心 的 圆 上， 得kMDkk31 ， 11 分5即13 分26k 2215k26k1 ， 解得k229，符合题意所以k14 分2319. 本小题总分值 13 分解：依题意，点 C 的横坐标为 x ，点 C 的纵坐标为 yCBB1 分x29 点 B
15、 的横坐标2 分xB 满意方程x290 ，解得 x3 ，舍去 xB3 所以 S1 | CD | AB |y1 2 xC23x29x3x29 224 分由点 C 在第一象限，得 0x所以 S 关于 x 的函数式为S3 x3 x29 ， 0x3 5 分0x3,解：由xk, 3及 0k1 ，得 0x3k 6 分记 f xx23x9, 0x3k ，就 f x3x26x93x1x3 8 分令 f x0 ，得 x1 9 分 假设 13k ，即 13k1 时，f x与f x 的变化情形如下：x0,111,3k f x0f x极大值所以，当 x1 时，f x 取得最大值，且最大值为f 132 11 分 假设
16、13k ，即 0k1时， f3 x0 恒成立，所以，f x 的最大值为f 3k271k 1k2 13 分综上， 13k1 时，S 的最大值为 32 ；0k1 时，S 的最大值为3271k1k 2 20. 本小题总分值 13 分解：数列A : 2,6, 4 不能终止，各数列依次为 4,2,2 ；2,0,2 ；2,2,0 ；0,2,2 ；2,0,2 ；以下重复显现， 所以不会显现全部项均为0 的情形3 分解：由于 B 的各项之和为2021 ，且 ab ， 所以 a 为 B 的最大项，所以 | a1a3 | 最大，即 a1a2a3 ，或 a3a2a1 5 分ba1a2 ,当 a1a2a3 时，可得2
17、a2a3,aa1a3.由 ab22021 ，得 2a1a32021 ，即 a1006 ，故b1004 7 分当 a3a2a1 时， 同理可得a1006 ， b1004 8 分方法一：由B : b,2, b2 ，就 B 经过 6 次“ T 变换”得到的数列分别为：b2, b, 2；2, b2, b4 ；b4, 2, b6 ；b6, b8,2；2, b10,b8 ；b12,2, b10 由此可见，经过 6 次“ T 变换”后得到的数列也是形如“b,2, b2 ”的数列，与数列 B“结构”完全相同，但最大项削减12 由于 1006128310 ，所以，数列 B 经过 683498 次“ T 变换”后
18、得到的数列为8, 2,10 接下来经过 “ T 变换”后得到的数列分别为： 6,8, 2 ；2,6,4 ；4,2,2 ；2,0,2 ；2,2,0 ；0,2,2 ； 2,0,2 ，从以上分析可知，以后重复显现，所以数列各项和不会更小所以经过 4984502 次“ T 变换”得到的数列各项和最小，k 的最小值为 502 13 分方法二：假设一个数列有三项，且最小项为2 ，较大两项相差 2 ，就称此数列与数列B “结构相同”假设数列 B 的三项为 x2, x,2 x2 ，就无论其次序如何，经过“T 变换”得到的数列的三项为x, x2,2不考虑次序 所以与 B 结构相同的数列经过“T 变换”得到的数列也与B 结构相同，除2 外其余各项削减 2 ，各项和削减 4 因此，数列B :1004,2,1006经过 502 次“ T 变换”肯定得到各项为2,0,2不考虑次序 的数列通过列举，不难发觉各项为0,2,2 的数列，无论次序如何，经过“T 变换”得到的数列会重复显现，各项和不再削减所以，至少通过502 次“ T 变换”，得到的数列各项和最小，故k 的最小值为 502 13 分