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1、张老师制数学好玩儿！北京市西城区 2021 2021 学年度第一学期期末试卷北区高一数学试卷总分值： 150 分考试时间： 120 分钟A 卷 必修 模块 4本卷总分值： 100 分题号一二三171819本卷总分分数一、挑选题：本大题共10 小题，每题4 分，共 40 分.在每题给出的四个选项中，只有哪一项符合要求的 .1. 在 0 到 2范畴内，与角终边相同的角是3245A. B.C.D.33332. 是一个任意角，就的终边与3的终边A. 关于坐标原点对称B.关于 x 轴对称C. 关于 y 轴对称D. 关于直线 yx 对称3. 已知向量 a1, 2 ， b1, 0 ，那么向量 3ba 的坐标
2、是A. 4, 2B.4,2C.4, 2D.4,24. 假设向量 a1，3 与向量 b 1, 共线，就的值为11A. 3B.3C.D.335. 函数f x 的图象是中心对称图形， 假如它的一个对称中心是，0 ，那么2f x 的解析式可以是A. sin xB.cosxC.sin x1D.cos x16. 已知向量 a1,3 ， b 2,23 ，就 a 与 b 的夹角是A.6B.4C.3D.27. 为了得到函数ycos2x 的图象，只需将函数3ycos 2x 的图象A. 向左平移个单位长度B. 向右平移6个单位长度6C. 向左平移个单位长度D. 向右平移23个单位长度38. 函数 y12cosx 的
3、最小正周期是A. B.C.D.429. 设角的终边经过点 3,4 ，就cos 的值等于4A. B.C.D.1010101010. 在矩形 ABCD 中， AB3 ， BC1 ， E 是DECCD 上一点，且为AEAB1 ，就 AE AC 的值ABA 3B 2C3D323二、填空题：本大题共6 小题，每题 4 分，共 24 分.把答案填在题中横线上.11. sin .3112. 假设cos,0, ，就 .213. 已知向量 a1,3 ， b3, x ，且 ab ，就 x .14. 已知 sincos2 ，就 sin 2 .15. 函数 y2cosx 在区间 , 上的最大值为, 最小值为.33 1
4、6. 已知函数f xx sinx ，对于 ， 上的任意22x1，x2 ，有如下条件：2121212 xx2 ； xx ； xx ，且 x12x20 其中能使f x1 f x2 恒成立的条件序号是写出全部满意条件的序号张老师制数学好玩儿！三、解答题：本大题共3 小题，共 36 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 本小题总分值 12 分已知， cos4 .25求 tan的值；求 sin 2cos2的值 .18. 本小题总分值 12 分已知函数f x23 sin 2 x2sin x31 .求求f 的值；y3f x 的单调递增区间；4作出图象 .f x 在一个周期内的321xO-1-2
5、19. 本小题总分值 12 分如 图 ， 点 P 是 以 AB 为 直 径 的 圆 O 上 动 点 ， P是 点 P 关 于 AB 的 对 称 点 ，AB2aa0 .当点 P 是弧 AB 上靠近 B 的三等分点时，求APAB 的值；求 AP OP 的最大值和最小值 .PAOBPB 卷 学期综合 本卷总分值： 50 分题号一分数二678本卷总分一、填空题：本大题共5 小题，每题 4 分，共 20 分.把答案填在题中横线上.1. 已知集合 P x1x1 ， M a. 假设 MP ，就 a 的取值范畴是.2. lg2lg5lg10 .3. 满意不等式 2x1 的 x 的取值范畴是.24. 设一f x
6、 是定义在 R 上的奇函数， 假设f x 在 0, 上是减函数， 且 2 是函数f x 的个零点，就满意x f x0 的 x的取值范畴是.5. 已知集合 U1,2, n， nN 设集合 A 同时满意以下三个条件： AU ；假设 xA ，就 2 xA ；假设xCU A ，就 2xCU A 1当 n 2当 n4 时，一个满意条件的集合A 是；写出一个即可7 时，满意条件的集合A 的个数为.二、解答题：本大题共3 小题，共 30 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.6. 本小题总分值 10 分已知函数f x11 .x2证明函数f x 为偶函数；用函数的单调性定义证明f x 在 0, 上为增函
7、数 .7. 本小题总分值 10 分设函数f x2x x4x2.2x xax2张老师制数学好玩儿！求函数f x 在区间 2, 2 上的最大值和最小值；设函数f x 在区间 4,6 上的最大值为g a ，试求ga 的表达式 .8. 本小题总分值 10 分已知函数g xlog ax，其中 a1 .当 x0,1 时，gax21 恒成立，求 a 的取值范畴；设m x 是定义在 s,t 上的函数，在s,t 内任取 n1 个数x1, x2, xn2, xn1 ，设x1x2nxn 2xn 1 ， 令sx0 ,txn， 如 果 存 在 一 个 常 数 M0 ， 使 得m xi m xi 1M 恒成立，就称函数m
8、 x 在区间 s,t 上的具有性质P .i 1试判定函数f xg x在区间12,aa 上是否具有性质P ？假设具有性质P ，恳求出M 的最小值；假设不具有性质P ，请说明理由 .注：nmxi i 1m xi 1 m x1 m x0 mx2 mx1 m xn mxn1 北京市西城区 2021 2021 学年度第一学期期末试卷北区高一数学参考答案及评分标准A 卷 必修 模块 4总分值 100 分一、挑选题：本大题共10 小题，每题 4 分，共 40 分.1.D;2.A;3.D;4.A;5.B;6.C;7.B;8.C;9.C;10.B.二、填空题：本大题共6 小题，每题 4 分，共 24 分.11.
9、3;12.23;13.1 ;14.1 ;15.2,1 ;16. .注：一题两空的试题每空2 分；16 题，选出一个正确的序号得2 分，错选得 0 分.三、解答题：本大题共3 小题，共 36 分.17. 解：由于分cos4 ,52, 所以sin35 ,3所以 tansin3cos4. 5 分 sin 22sincos2724， 8 分25cos 22cos1， 11 分25所以 sin 2cos224717252525. 12 分18. 解：由已知分f 23 sin 236sin313 233311 . 4 分22f x31cosxsin x31 6 分sin x3cos x12sin x1 .
10、 7 分3函数 ysin x 的单调递增区间为 2 k, 2k2由2kx2k，得 2k2326所以 f x 的单调递增区间为 2 k, 2k6 f x 在, 上的图象如下图 .33其它周期上的图象同等给分y个别关键点错误酌情给分4321 k2x2k k6Z 6Z .，. 1268 分9 分分O36-1-219. 解：以直径AB 所在直线为 x 轴，以 O 为坐标原点建由于 P 是弧 AB 靠近点 B 的三等分点，连接 OP ，就BOP，3立平面33直角坐标系.1 分x张老师制数学好玩儿！点 P 坐标为13a,a. 2 分22又点 A 坐标是 a,0，点 B 坐标是 a,0 ，所以 AP 3 a
11、,322a) ， AB2a,0 ， 3 分所以 APAB3a2 . 4 分设POB，0, 2 ，就P a cos, a sin ， Pa cos ,a sin所以 APa cosa, asin ，OP acos ,asin. 6 分y所以 AP OPa2 cos2a2 cosa2 sin2Pa2 2cos 22a 2cos 2cos11 cos1 8 分9 a 2x2168AOB2a 2 cos1 29 a 2 . 10 分当 cos481 时， AP OP 有最小值49 a2 ，11 分P8当 cos1时， AP OP 有最大值2a 2 . 12 分B 卷 学期综合 总分值 50 分一、填空
12、题：本大题共5 小题，每题 4 分，共 20 分.11. a1a1;2.;3. x x21 ;4. 2,00,2 ;5. 2 ，或 1,4 ，或 2,3 ，或 1,3, 4 ； 16 .注：一题两空的试题每空2 分.二、解答题：本大题共3 小题，共 30 分.6.证明：由已知，函数分f x 的定义域为 D xR x0 .1设 xD ，就xD ，11f x1x21x2f x . 3 分所以函数f x 为偶函数 . 4 分设x1，x2 是 0, 上的两个任意实数，且x1x2 ，就xx2x10 ，yf x f x 1111 6 分21x2x22111x2x2xx xx =212121. 8 分x2x
13、2x2 x2x2 x2121212由于 0x1x2 ， 所以 x2x10 ， x2x10 ，所以所以 fy x0 ， 9 分在 0, 上是增函数 . 10 分7. 解：在区间 2, 2 上，f x2x x4 .所以 f x 在区间 2,1 上单调递增，在区间 1,2 上单调递减， 1 分所以 f x 在区间 2, 2 上的最大值为f 19 ， 3 分最小值为f 20. 4 分当 a2 时，f x 在 4,1 上单调递增，在 1,6 上单调递减，所以 fx的最大值为 9 . 5 分a2当 2aa8 时，2f x在4,1 上单调递增，在 1,2 上单调递减，在2, 单2调递增，在,62上单调递减，
14、此时 f 19 ，f a2 a2 2229 ，所以f x 的最大值为 9 . 7 分当 8a10 时，f x 在 4,1 上单调递增，在1,2 上单调递减，在2,a2 单2调递增，在 a2 ,62上单调递减 .a2a2a2 2此时 f 222f 1 ，所以f x 的最大值为. 8 分4当 a10 时， f x 在 4,1 上单调递增，在 1,2 上单调递减，在 2,6 单调递增，此时 f64 a6f 1 ，所以f x 的最大值为 4a6 . 9 分9a22a8,综上，ga84a10, 10 分8. 解：当 x4 a60,1 时，gaxa10.21恒成立，a即 x0,1 时， log ax21恒
15、成立， 1 分由于 a1 ，所以 ax2a 恒成立， 2 分即 a2ax 在区间 0,1 上恒成立，所以 a21 ，即 a3 ， 4 分所以 1a3 . 即 a 的取值范畴是 1,3 . 5 分由已知f x = log ax，可知f x 在1, a2 上单调递增，在1,1a上单调递减，2张老师制数学好玩儿！1对于 , a a2 内的任意一个取数方法1x0x1x2axn 1xna ，当存在某一个整数 kn1,2,3, n1 ，使得 xk1 时，f xi i 1f xi1 f x0f x1 f x1f x2 f xk 1f xk f xk 11f xk f2xk 2f xk 1 f xnf xn
16、1f af 1f a f 1123 . 7 分当对于任意的 kn0,1,2,3, n1 ，xk1 时，就存在一个实数 k 使得 xk1xk 1，此时f xi i 1f xi 1f x0f x1 f x1f x2f xk 1f xk f xk 1f xk f xk 2f xk1 fxnf xn1f x0f xk f xk f xk 1f xn f xk1 *当 f xk f xk1 时， * 式f xn f x0 2 fxk13 ，当 f xk f xk1 时， * 式f xn f x0 2 fxk 3 ，当 f xk 分f xk11 时， * 式f xn 2f x0f xk 1f xk 13 . 92综上，对于n, a a 内的任意一个取数方法x0x1x2axn 1xna ，均有f xi i 1f xi13 .n所以存在常数 M3 ，使i 112f xi f xi 1M 恒成立，所以函数f x 在区间, a a 上具有性质 P .此时 M 的最小值为 3 . 10 分