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1、精品学习资源2.5等比数列地前 n 项和2.5.1等比数列前 n 项和公式地推导与应用淡定说课师生将共同分析探究等比数列地前n 项和公式 . 公式地推导以教材中地“错位相减法” 为最基本地方法，“错位相减法”也是一种算法，其设计地思路是“排除差别”，从而达到化简地目地 .等比数列前 n 项和公式地推导仍有很多方法，可启示、引导同学进行探究. 例如，依据欢迎下载精品学习资源等比数列地定义可得an an 1an 1an 2a3.a2a2q ,a1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源再由分式性质，得Sna1Snanq , 整理得 Sna1anq q1q1 .欢迎下载精品学习资源教学中应充分利用信
2、息和多媒体技术，仍应赐予同学充分地探究空间.教学重点 1. 等比数列前 n 项和公式地推导 ;2. 等比数列前 n 项和公式地应用 .教学难点 等比数列前n 项和公式地推导 .教具预备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、学问与技能1. 明白现实生活中存在着大量地等比数列求和地运算问题；2. 探究并把握等比数列前n 项和公式；3. 用方程地思想熟悉等比数列前n 项和公式，利用公式知三求一；4. 体会公式推导过程中地分类争论和转化化归地思想.二、过程与方法1. 采纳观看、摸索、类比、归纳、探究得出结论地方法进行教学；2. 发挥同学地主体作用，作好探究性活动.三、情感态度与价值观1. 通过生
3、活中好玩地实例，勉励同学积极摸索，激发同学对学问地探究精神和庄重仔细地科学态度，培育同学地类比、归纳地才能；2. 在探究活动中学会摸索，学会解决问题地方法；3. 通过对有关实际问题地解决，表达数学与实际生活地亲密联系，激发同学学习地兴欢迎下载精品学习资源趣.导入新课教学过程欢迎下载精品学习资源师 国际象棋起源于古代印度 . 相传国王要奖赏国际象棋地创造者 . 这个故事大家听说过吗？ 生 知道一些，积极发言 .师 “请在第一个格子里放上 1 颗麦粒，其次个格子里放上 2 颗麦粒，第三个格子里放上 4 颗麦粒，以此类推 . 每一个格子里放地麦粒都是前一个格子里放地麦粒地 2 倍. 直到第 64 个
4、格子 . 请给我足够地麦粒以实现上述要求 . ”这就是国际象棋创造者向国王提出地要求 .师 假定千粒麦子地质量为 40 g ，按目前世界小麦年度产量约 60 亿吨计 . 你认为国王能不能满意他地要求？欢迎下载精品学习资源生 各持己见 . 动笔，列式，运算.生 能列出式子：麦粒地总数为2631+2+2 +2=.师 这是一个什么样地问题？你们运算出结果了吗？让我们一起来分析一下.课件展现：1+2+22+2 63 =.师 我们将各格所放地麦粒数看成是一个数列，那么我们得到地就是一个等比数列. 它地首项是 1，公比是 2，求第 1 个格子到第64 个格子所放地麦粒数总和，就是求这个等比数列地前 64
5、项地和 .现在我们来摸索一下这个式子地运算方法：2363记 S=1+2+2 +2 +2，式中有 64 项，后项与前项地比为公比2，当每一项都乘以2 后，中间有 62 项是对应相等地，作差可以相互抵消.课件展现：2363S=1+2+2 +2 +2, 236364欢迎下载精品学习资源2S=2+2 +2 + +2- 得642S-S=2-1.64+2 , 19欢迎下载精品学习资源2 -1这个数很大，超过了1.84 10，假定千粒麦子地质量为40 g ，那么麦粒地总质量超过了 7 000 亿吨 . 而目前世界年度小麦产量约60 亿吨，因此，国王不能实现他地诺言.师 国王脱口而出地给国际象棋创造者一个承诺
6、，导致了一个很不幸地后果地发生，这都是他不具备基本地数学学问所造成地. 而防止这个不幸地后果发生地学问，正是我们这节课所要探究地学问 .推动新课合作探究2n师 在对一般形式推导之前，我们先摸索一个特殊地简洁情形：1+q+q +q =？师 这个式子更突出表现了等比数列地特点，请同学们留意观看.生 观看、独立摸索、合作沟通、自主探究.师 如将上式左边地每一项乘以公比q，就显现了什么样地结果呢？2.+1nn生 q+q +q +q生 每一项就成了它后面相邻地一项 . 师 对上面地问题地解决有什么帮忙吗？ 师 生共同探究：2n假如记 Sn=1+q+q +q ,2nn +1那么 qSn=q+q +q +q
7、.n要想得到 Sn，只要将两式相减，就立刻有1-qS n=1-q .师 提问同学如何处理，适时提示同学留意q 地取值 .欢迎下载精品学习资源生 假如 q1，就有 S1qn.1q欢迎下载精品学习资源师 当然，我们仍要考虑一下假如q 1 问题是什么样地结果 .生 假如 q 1，那么 Sn=n.师 上面我们先摸索了一个特殊地简洁情形，那么，对于等比数列地一般情形我们怎样摸索？课件展现：欢迎下载精品学习资源a1+a2 +a3+an=？老师精讲师 在上面地特殊简洁情形解决过程中，包蕴着一个特殊而且重要地处理问题地方法，那就是“错位相减，排除差别”地方法. 我们将这种方法简称为“错位相减法”.师 在解决等
8、比数列地一般情形时，我们仍可以使用“错位相减法”.假如记 Sn=a1+a2+a3+an,那么 qSn=a1q+a2q+a3q+anq,要想得到 Sn，只要将两式相减，就立刻有1-qS n=a1- an q.师 再次提示同学留意q 地取值 .欢迎下载精品学习资源假如 q1，就有 Sna1anq .1q欢迎下载精品学习资源师 上述过程假如我们略加变化一下，仍可以得到如下地过程：2n-1假如记 Sn=a1+a1q+a1q +a1q,2n-1n那么 qSn=a1q+a1q +a1q+a1q ,n要想得到 Sn，只要将两式相减，就立刻有1-qS n=a1- a1 q .1a 1qn 假如 q1，就有 S
9、n.1q师 上述推导过程，只是形式上地不同，其本质没有什么差别，都是用地“错位相减法”.形式上，前一个显现地是等比数列地五个基本量：a1,q, an,S n, n 中 a1,q, an,Sn 四个；后者显现地是 a1,q,S n, n 四个，这将为我们今后运用公式求等比数列地前n 项地和供应了挑选地余地.值得重视地是：上述结论都是在“假如q1”地前提下得到地. 言下之意，就是只有当等比数列地公比q1时，我们才能用上述公式.师 现在请同学们想一想，对于等比数列地一般情形，假如q 1 问题是什么样地结果呢？ 生 独立摸索、合作沟通 .生 假如 q 1， Sn=na1.师 完全正确 .假如 q 1，
10、那么 Sn=nan . 正确吗？怎么说明？生 正确 .q 1 时，等比数列地各项相等，它地前n 项地和等于它地任一项地n 倍.师 对了，这就是认清了问题地本质.师 等比数列地前 n 项和公式地推导仍有其他地方法，下面我们一起再来探讨一下：合作探究欢迎下载精品学习资源思路一：依据等比数列地定义，我们有：a 2a3a1a 2a4.a3anq ,an 1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源再由合比定理，就得a2a3a 4.anq ,欢迎下载精品学习资源即 Sna1q ,Snana1a2a3.an 1欢迎下载精品学习资源从而就有 1-qS n=a1- anq.欢迎下载精品学习资源 以下从略 思路二
11、：由 Sn=a1+a2+a3+an 得Sn=a1 +a1q+a2q+a n-1 q=a1+q a1+a2+a n -1 = a1+qSn- an,从而得 1-qS n=a1- anq. 以下从略 师 探究中我们们应当发觉，Sn -S n -1=an 是一个特别有用地关系，应当引起大家足够地重视.在这个关系式中， n 地取值应当满意什么条件？ 生 n 1.师 对地，请同学们今后多多关注这个关系式：Sn-S n -1 =an， n 1.师 综合上面地探究过程，我们得出：na1, q1,na1 ,q1,欢迎下载精品学习资源Sna1 1qn ,q或者 a11anq ,q1欢迎下载精品学习资源1q1q例
12、题剖析【例题 1】 求以下等比数列地前8 项地和：欢迎下载精品学习资源11 , 1 ,241 , ；8欢迎下载精品学习资源2 a1=27, a9=合作探究1,q 0.243欢迎下载精品学习资源师生共同分析：由1 所给条件，可得 a111， q, 求 n8 时地和，直接用公式即可.22欢迎下载精品学习资源由2 所给条件，需要从1a9243中猎取求和地条件，才能进一步求n 8 时地和 . 而欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源a88a911q，将所得地值代欢迎下载精品学习资源9=a1q ，所以由条件可得q =a1=243，再由q 0，可得273欢迎下载精品学习资源入公式就可以了 .生 写出解答
13、：11112 1 82255欢迎下载精品学习资源1 由于 a1, q 2，所以当 n 8 时， S82112.256欢迎下载精品学习资源18a91欢迎下载精品学习资源2 由 a1=27, a9，可得 q，欢迎下载精品学习资源又由 q 0，可得243q1 ,31 1a1243271欢迎下载精品学习资源于是当 n8 时， S8272432711 31640.81欢迎下载精品学习资源【例题 2】 某商场今年销售运算机5 000台，假如平均每年地销售量比上一年地销售量增加 10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000 台 结果保留到个位 ？师 依据题意，从中发觉等比关系，从中抽象出等比数
14、列，并明确这是一个已知Sn=30 000求 n 地问题 .生 懂得题意，从中发觉等比关系，并找出等比数列中地基本量，列式，运算. 解： 依据题意，每年地销售量比上一年增加地百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列 an ，其中 a1=5 000,q=1+10%=1.1,Sn=30 000.500011.1n 于是得到30000 ,11.1欢迎下载精品学习资源整理得 1.1n=1.6,欢迎下载精品学习资源两边取对数，得 nlg1.1=lg1.6,欢迎下载精品学习资源用运算器算得 nlg 1.6lg 1.10.20.0415 年 .欢迎下载精品学习资源答： 大约 5 年可以使总销售量
15、达到30 000 台.练习：教材第 66 页，练习第 1、2、3 题.课堂小结本节学习了如下内容：1. 等比数列前 n 项和公式地推导；特殊是在推导过程中，学到了“错位相减法”.2. 等比数列前 n 项和公式地应用 . 由于公式涉及到等比数列地基本量中地4 个量，一般需要知道其中地 3 个，才能求出另外一个量. 另外应当留意地是，由于公式有两个形式，在应用中应当依据题意所给地条件，适当挑选运用哪一个公式.在使用等比数列求和公式时，留意q 地取值是至关重要地一个环节，需要放在第一位来思考. 布置作业课本第 69 页习题 2.5 A组第 1、 2、3 题.欢迎下载精品学习资源等比数列地前n 项和公式板书设计等比数列前 n 项和公式地推导与应用欢迎下载精品学习资源情境问题地推导一般情形地推导例 1练习： 同学板演 例 2练习： 同学板演 欢迎下载