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1、初一数学（上）学问点代数初步学问1. 代数式：用运算符号 连接数及字母的式子称为代数式（单独一个数或一个字母也是代数式）2. 几个重要的代数式：（m、n 表示整数）222（1）a 与 b 的平方差是： a -b； a与 b差的平方是：（a-b）；（2） 如 a、b、c 是正整数,就两位整数是： 10a+b, 就三位整数是： 100a+10b+c；（3） 如 m、n 是整数,就被 5 除商 m余 n 的数是： 5m+n；偶数是：2n ,奇数是：2n+1；三个连续整数是： n-1 、n、n+1；有理数1. 有理数：1 凡能写成 qp p, q为整数且 p0 形式的数,都是有理数. 正整数、0、负整
2、数统称整数； 正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数 . 留意：0 即不是正数,也不是负数； -a 不肯定是负数,+a 也不肯定是正数； 不是有理数；正有理数正整数正分数整数正整数零2 有理数的分类:有理数零有理数负整数负有理数负整数负分数分数正分数负分数(3) 留意：有理数中,1、0、-1 是三个特别的数, 它们有自己的特性； 这三个数把数轴上的数分成四个区域, 这四个区域的数也有自己的特性；(4) 自然数0 和正整数；a0a 是正数； a0a 是负数；a0a 是正数或 0a 是非负数；a 0a 是负数或 0a 是非正数.2. 数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 .3.
3、 相反数：(1) 只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数； 0 的相反数仍是 0；(2) 留意： a-b+c 的相反数是-a+b-c ；a-b 的相反数是 b-a；a+b 的相反数是-a-b ；- 1 -(3) 相反数的和为 0a+b=0a 、b 互为相反数.4. 肯定值：(1) 正数的肯定值是其本身, 0 的肯定值是 0,负数的肯定值是它的相反数；留意：肯定值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；aa0aa0(2) 肯定值可表示为： a0aaa0 或 a 0aa0；肯定值的问题常常分类争论；(3) 3aa1a0；aa1a0 ；a a4 |a|是重要的非负数,即|a| 0；留
4、意：|a| |b|=|a b|,.b b5. 有理数比大小：（1）正数的肯定值越大,这个数越大；（2）正数永久比 0 大,负数永久比 0 小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小,肯定值大的反而小；（5）数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大；（6）大数- 小数 0 ,小数- 大数 0.6. 互为倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数；留意：0 没有倒数；如 a 0,那么a 的倒数是 1 ；倒数是本身的a数是1；如 ab=1a 、b 互为倒数；如 ab=-1a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法就：（1） 同号两数相加,取相同的符号,并把肯定值相加；（2） 异号两数相加,取肯定值较大的符
5、号,并用较大的肯定值减去较小的肯定值；（3） 一个数与 0 相加,仍得这个数. 8有理数加法的运算律：（1）加法的交换律： a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.9. 有理数减法法就： 减去一个数,等于加上这个数的相反数；即 a-b=a+（-b ）.10 有理数乘法法就：（1） 两数相乘,同号为正,异号为负,并把肯定值相乘；（2） 任何数同零相乘都得零；- 2 -（3） 几个数相乘,有一个因式为零,积为零；各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数打算 . 11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；（3）
6、乘法的安排律：a（ b+c）=ab+ac .12. 有理数除法法就： 除以一个数等于乘以这个数的倒数；留意：零不能做除数,即 a 无意义 .013. 有理数乘方的法就：（1） 正数的任何次幂都是正数；（2） 负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；留意：当 n 为正奇数时: -a n 为正偶数时: -an =an 或 a-b n=b-a n .14. 乘方的定义：（1） 求相同因式积的运算,叫做乘方；n=-an或a -bn=-b-an ,当（2） 乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂；222（3）a 是重要的非负数,即 a 0；如 a +|b|=0a=0,b=0
7、 ；15. 科学记数法： 把一个大于 10 的数记成 a10n 的形式,其中 a 是整数数位只有一位的数,这种记数法叫科学记数法.16. 近似数的精确位：一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确到那一位 .17. 有效数字：从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,全部数字,都叫这个近似数的有效数字 .18. 混合运算法就： 先乘方,后乘除,最终加减；留意：怎样算简洁,怎样算精确,是数学运算的最重要的原就.19. 特别值法：是用符合题目要求的数代入,并验证题设成立而进行猜想的一种方法 , 但不能用于证明.整式的加减1. 单项式： 在代数式中,如只含有乘法（包括乘方）运算；或虽含有除
8、法运算,但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.2. 单项式的系数与次数 ：单项式中不为零的数字因数,叫单项式的数字系数,简称单项式的系数；系数不- 3 -为零时,单项式中全部字母指数的和,叫单项式的次数 .3. 多项式： 几个单项式的和叫多项式.4. 多项式的项数与次数： 多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数,每个单项式叫多项式的项；多项22式里,次数最高项的次数叫多项式的次数； 留意：（如 a、b、c、p、q 是常数）ax +bx+c和 x +px+q是常见的两个二次三项式.5. 整式：凡不含有除法运算,或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式 .单项式整式分类为： 整式.多项式6
9、. 同类项： 所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项 .7. 合并同类项法就： 系数相加,字母与字母的指数不变 .8. 去（添）括号法就：去（添）括号时,如括号前边是“+”号,括号里的各项都不变号；如括号前边是“- ”号,括号里的各项都要变号.9. 整式的加减： 整式的加减,实际上是在去括号的基础上,把多项式的同类项合并 .10. 多项式的升幂和降幂排列 ：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来, 叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）. 留意：多项式运算的最终结果一般应当进行升幂（或降幂）排列 .一元一次方程1. 等式的性质：等式性质 1：等式两边都
10、加上（或减去）同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式； 等式性质 2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数,所得结果仍是等式 .2. 方程：含未知数的等式,叫方程 .3. 方程的解： 使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；留意：“方程的解就能代入”！4. 一元一次方程：只含有一个未知数,且未知数的次数是 1,并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.7. 一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x 是未知数,a、b是已知数,且 a0）.8. 一元一次方程的最简形式： ax=b（x 是未知数,a、b 是已知数,且 a0）.- 4 -9. 一元一次方程一般步骤：整理方程 ； 去分
11、母 去括号 移项 合并同类项 系数化为 1 （检验方程的解）.10. 列方程解应用题的常用公式：2周长、面积、体积问题：C圆=2R,S 圆=R,C长方形=2a+b,S长方形=ab, C 正方形=4a,2223212S正方形=a ,S 环形=R -r习题：,V 长方体=abc ,V正方体=a ,V 圆柱=Rh ,V 圆锥=3Rh.1、如 x12,就x；如 x2 y3 x20 , 就y2. 比较111,234的大小：； 130.3 ,0.220 .3 ； 11 ；2333运算：（1） 224 11253 ；（2）16821 1222022； （3）16 411；4（4） 27271 239 ；（5
12、）1515 5 2 5 2 ；（5）（6） 1011021 10 ；221（7） 113232 ；（8） 322991 12- 5 -17此题 10 分运算（1） 113 4864（2） 11022 34解：解：1118此题 10 分解方程13 x7322 x2 1x3x26解：解：23 此题 10分 关于 x 的方程 x2m(1) 求 m的值；（6 分）3x4 与 2mx 的解互为相反数(2) 求这两个方程的解（4 分） 解：- 6 -相交线与平行线一、学问网络结构二、学问要点1、在同一平面内,两条直线的位置关系有 两 种： 相交 和 平行 , 垂直 是相交的一种特别情形；2、在同一平面内,
13、不相交的两条直线叫 平行线 ；假如两条直线只有 一个 公共点,称这两条直线相交 ;假如两条直线 没有 公共点,称这两条直线平行；3、两条直线相交所构成的四个角中,有 公共顶点 且有 一条公共边 的两个角是邻补角；邻补角的性质： 邻补角互补 ；如图 1 所示, 与 互为邻补角,与 互为邻补角； + = 180; + = 180; + = 180;+ = 180；4、两条直线相交所构成的四个角中, 一个角的两边分别是另一个角的两边的 反向延长线 ,这样的两个角互为 对顶角 ；对顶角的性质：对顶角相等；如图 1 所示, 与 互为对顶角； = ;= ；5、两条直线相交所成的角中,假如有一个是 直角或
14、90时,称这两条直线相互垂直,- 7 -其中一条叫做另一条的垂线；如图 2 所示,当 = 90时, ；垂线的性质：性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；性质 2：连接直线外一点与直线上各点的全部线段中,垂线段最短；性质 3：如图 2 所示,当 a b 时, = = = = 90；点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离；6、同位角、内错角、同旁内角基本特点：在两条直线被截线的 同一方 ,都在第三条直线截线的 同一侧 ,这样的两个角叫 同位角 ；图 3 中,共有 对同位角： 与 是同位角;与 是同位角; 与 是同位角; 与 是同位角；在两条直线被截线 之间 ,
15、并且在第三条直线截线的 两侧 ,这样的两个角叫 内错角 ；图 3 中,共有对内错角： 与 是内错角; 与 是内错角；在两条直线被截线的 之间 ,都在第三条直线截线的 同一旁 ,这样的两个角叫 同旁内角 ；图 3 中,- 8 -共有 对同旁内角： 与 是同旁内角; 与 是同旁内角；7、平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；平行公理的推论：假如两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也相互平行；平行线的性质：性质 1：两直线平行,同位角相等；如图 4 所示,假如 ab,就 = ; = ; = ; = ；性质 2：两直线平行,内错角相等；如图 4 所示,假如 ab,就 = ; =
16、 ；性质 3：两直线平行,同旁内角互补；如图 4 所示,假如 ab,就 + = 180 ;+ = 180；性质 4：平行于同一条直线的两条直线相互平行；假如 ab,ac,就；8、平行线的判定：判定 1：同位角相等,两直线平行；如图 5 所示,假如 =或 =或 =或 = ,就 ab；- 9 -判定 2：内错角相等,两直线平行；如图 5 所示,假如 =或 = ,就 ab ；判定 3：同旁内角互补,两直线平行；如图 5 所示,假如 + = 180;+ = 180,就 ab；判定 4：平行于同一条直线的两条直线相互平行；假如 ab,ac,就；9、判定一件事情的语句叫命题；命题由 题设 和 结论 两部分
17、组成,有 真命题 和 假命题 之分；假如题设成立,那么结论 肯定 成立,这样的命题叫 真命题 ;假如题设成立,那么结论 不肯定 成立,这样的命题叫假命题；真命题的正确性是经过推理证明的,这样的真命题叫定理,它可以作为连续推理的依据；10、平移：在平面内,将一个图形沿某个方向移动肯定的距离,图形的这种移动叫做平移变换,简称平移；平移后,新图形与原图形的 外形 和 大小 完全相同；平移后得到的新图形中每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这样的两个点叫做对应点；平移性质：平移前后两个图形中对应点的连线平行且相等 ;对应线段相等;对应角相等；第六章 实数【学问点一】实数的分类1、按定义分类：
18、2.按性质符号分类：- 10 -注：0 既不是正数也不是负数.【学问点二】实数的相关概念1.相反数(1) 代数意义：只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数 .0 的相反数是 0.(2) 几何意义：在数轴上原点的两侧, 与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数, 或数轴上, 互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称 .(3) 互为相反数的两个数之和等于 0.a、b 互为相反数 a+b=0.2.肯定值 |a| 0.3. 倒数 10 没有倒数 2乘积是 1 的两个数互为倒数.a、b 互为倒数 .4. 平方根(1) 假如一个数的平方等于 a,这个数就叫做 a的平方根.一个正数有两个平
19、方根,它们互为相反数 ;0 有一个平方根,它是 0 本身;负数没有平方根.aa0的平方根记作.(2) 一个正数 a的正的平方根,叫做 a 的算术平方根.aa0的算术平方根记作 .- 11 -5. 立方根假如 x3=a,那么 x 叫做 a 的立方根.一个正数有一个正的立方根 ;一个负数有一个负的立方根 ;零的立方根是零.【学问点三】实数与数轴数轴定义： 规定了原点,正方向和单位长度的直线叫做数轴,数轴的三要素缺一不行 .【学问点四】实数大小的比较1. 对于数轴上的任意两个点,靠右边的点所表示的数较大 .2. 正数都大于 0,负数都小于 0,两个正数,肯定值较大的那个正数大 ;两个负数;肯定值大的
20、反而小 .3. 无理数的比较大小：【学问点五】实数的运算1. 加法同号两数相加,取相同的符号,并把肯定值相加;肯定值不相等的异号两数相加,取肯定值较大的加数的符号, 并用较大的肯定值减去较小的肯定值 ;互为相反数的两个数相加得 0;一个数同 0 相加,仍得这个数.2. 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数 .- 12 -3. 乘法几个非零实数相乘, 积的符号由负因数的个数打算, 当负因数有偶数个时,积为正;当负因数有奇数个时, 积为负.几个数相乘,有一个因数为 0,积就为 0.4. 除法除以一个数,等于乘上这个数的倒数 .两个数相除,同号得正,异号得负,并把肯定值相除.0 除以任何一个不等于
21、 0 的数都得 0.5. 乘方与开方(1) an所表示的意义是 n 个 a 相乘,正数的任何次幂是正数,负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数 .(2) 正数和 0 可以开平方,负数不能开平方 ;正数、负数和 0 都可以开立方.(3) 零指数与负指数【学问点六】有效数字和科学记数法1. 有效数字：一个近似数,从左边第一个不是 0 的数字起,到精确到的数位为止,全部的数字,都叫做这个近似数的有效数字.- 13 -2. 科学记数法：把一个数用 1 ”、“ 、 、 、 、 ；2、在含有未知数的不等式中,使不等式成立的未知数的值叫不等式的解, 一个含有未知数的不等式的全部的- 17 -解组成的集合,叫
22、这个不等式的解集；不等式的解集可以在数轴上表示出来；求不等式的解集的过程叫解不等式；含有一个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1,这样的不等式叫一元一次不等式；3、不等式的性质：性质 1：不等式的两边同时加上 或减去同一个数或式子,不等号的方向 不变 ；用字母表示为： 假如 ,那么 ; 假如 ,那么 ;假如 ,那么 ; 假如 ,那么 ；性质 2：不等式的两边同时乘以 或除以同一个 正数 ,不等号的方向 不变 ；用字母表示为： 假如 ,那么 或 ;假如 ,那么 或 ;假如 ,那么 或 ;假如 ,那么 或 ;性质 3：不等式的两边同时乘以 或除以同一个 负数 ,不等号的方向 转变 ；用字母表示
23、为： 假如 ,那么 或 ;假如 ,那么 或 ;假如 ,那么 或 ;假如 ,那么 或 ;4、解一元一次不等式的一般步骤： 去分母;去括号;移项;合并同类项; 系数化为 1 ；这与解一元一次方程类似,在解时要依据一元一次不等式的详细情形敏捷挑选步骤；- 18 -5、不等式组中含有一个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1,这样的不等式组叫一元一次不等式组；使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值叫不等式组的解,一个不等式组的全部的解组成的集合,叫这个不等式组的解集解 简称不等式组的解；不等式组的解集可以在数轴上表示出来；求不等式组的解集的过程叫解不等式组；6、解一元一次不等式组的一般步骤：求出
24、这个不等式组中各个不等式的解集 ;利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,得到这个不等式组的解集；假如这些不等式的解集的没有公共部分,就这个不等式组无解 此时也称这个不等式组的解集为空集 ；7、求出各个不等式的解集后,确定不等式组的解的口诀：大大取大,小小取小,大小小大取中间,大大小小无处找；第十章 数据的收集、整理与描述学问要点1、对数据进行处理的一般过程：收集数据、整理数据、描述数据、分析得出结论；2、数据收集过程中,调查的方法通常有两种：全面调查和抽样调查；3、除了文字表达、列表、划记法外,仍可以用条形图、折线图、扇形图、直方图来描述数据；4、抽样调查简称抽查,它只抽取一部分对象进行调查,依据调查数据推断全体对象的情形； 要考察的全体对象叫总体,组成总体的每一个考察对象叫个体,被抽取的那部分个体组成总体的一个样本,样本中个体的数- 19 -目叫这个样本的容量 ；5、画频数直方图的步骤：运算数差 最大值与最小值的差 ;确定组距和组数;列频数分布表 ;画频数直方图 ；- 20 -