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1、初一数学（上）知识点代数初步知识1. 代数式：用运算符号 连接数及字母的式子称为代数式 （单独一个数或一个字母也是代数式 ）2. 几个重要的代数式： （m 、n表示整数）（1）a 与 b的平方差是： a2-b2； a与 b差的平方是： （a-b）2；（2）若 a、b、c 是正整数，则两位整数是： 10a+b , 则三位整数是：100a+10b+c ；（3）若 m 、n是整数，则被 5除商 m余 n的数是： 5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数是： n-1 、n、n+1 ；有理数1.有理数：(1) 凡能写成)0pq,p(pq为整数且形式的数，都是有理数. 正整数、0、负整数
2、统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数 .注意：0 即不是正数，也不是负数； -a 不一定是负数，+a 也不一定是正数； 不是有理数；(2) 有理数的分类: 负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数(3) 注意：有理数中，1、0、-1 是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4) 自然数 0 和正整数；a0 a 是正数；a0 a 是负数；a0 a 是正数或 0 a 是非负数；a 0 a 是负数或 0 a 是非正数. 2数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 .
3、 3相反数：(1) 只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数； 0的相反数还是 0；(2) 注意： a-b+c 的相反数是-a+b-c；a-b 的相反数是 b-a；a+b的相反数是-a-b ； (3)相反数的和为 0 a+b=0 a、b互为相反数. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页 4.绝对值：(1) 正数的绝对值是其本身，0 的绝对值是 0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：)0a(a)0a(0)0a(aa或)0a(a)0a(aa
4、；绝对值的问题经常分类讨论；(3) 0a1aa；0a1aa；(4) |a|是重要的非负数，即|a| 0；注意：|a| |b|=|a b|, baba. 5.有理数比大小： （1）正数的绝对值越大，这个数越大； （2）正数永远比 0大，负数永远比 0 小； （3）正数大于一切负数； （4）两个负数比大小，绝对值大的反而小； （5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （6）大数-小数 0，小数- 大数 0. 6.互为倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数；注意：0 没有倒数；若 a0，那么a的倒数是a1；倒数是本身的数是1；若 ab=1 a、b 互为倒数；若 ab=-1 a、b 互为负倒数.7.
5、 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与 0相加，仍得这个数. 8有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ； （2）加法的结合律： （a+b）+c=a+ （b+c）. 9有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数；即 a-b=a+（-b）. 10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定 . 精选学习资料 - -
6、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ； （2）乘法的结合律： （ab）c=a（bc） ；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac . 12有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a. 13有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当 n 为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n, 当n为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n . 14乘
7、方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；（3）a2是重要的非负数，即 a20；若 a2+|b|=0 a=0,b=0；15科学记数法：把一个大于 10 的数记成 a10n的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16. 近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位 . 17. 有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字 .18. 混合运算法则： 先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重
8、要的原则. 19. 特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法 ,但不能用于证明. 整式的加减1单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式. 2单项式的系数与次数 ：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数 . 3多项式：几个单项式的和叫多项式. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页4多项式的项数与次数： 多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个
9、单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数； 注意： （若 a、b、c、p、q 是常数）ax2+bx+c和 x2+px+q是常见的两个二次三项式. 5整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式 . 整式分类为：多项式单项式整式 . 6同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项 . 7合并同类项法则： 系数相加，字母与字母的指数不变 . 8去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“- ”号，括号里的各项都要变号 . 9整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类
10、项合并 . 10.多项式的升幂和降幂排列 ：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列 （或降幂排列）. 注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列 . 一元一次方程1等式的性质：等式性质 1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质 2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式 . 2方程：含未知数的等式，叫方程 . 3方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入” ！4一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数是 1，并且含未知数项的系数不是零
11、的整式方程是一元一次方程. 7一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x 是未知数，a、b是已知数，且 a0）. 8一元一次方程的最简形式： ax=b（x 是未知数，a、b是已知数，且 a0）. 9一元一次方程一般步骤：整理方程 。 。去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为 1 （检验方程的解）. 10列方程解应用题的常用公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页周长、面积、体积问题：C圆=2R，S圆=R2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab ， C正方形=4a ，S正方形=a2，S环形=(R2-r2),V长
12、方体=abc ，V正方体=a3，V圆柱=R2h ，V圆 锥=31R2h.习题：1、若xx则,21；若yxyx则,0)3(222比较41,31,21的大小：；313. 0，2. 03 .0；2131。3 计算： （1）)8365121(2423；（2）200822) 1(2121； （3）141)4(16；（4）)9()31(27272；（5）22)5()5(1515；（5）（6）)10(2121)10(10；（7）23131122；（8）21)1()2()3(99217(本题 10分)计算（1）13(1)( 48)64（2）4)2(2)1(310解：解：精选学习资料 - - - - - - -
13、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页18(本题 10 分)解方程(1)37322xx(2) 111326xx解：解：23(本题 10分)关于 x的方程234xmx与2mx的解互为相反数(1) 求 m的值； （6 分）(2) 求这两个方程的解 （4 分）解：相交线与平行线一、知识网络结构精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页二、知识要点1、在同一平面内，两条直线的位置关系有两 种： 相交 和 平行 ， 垂直 是相交的一种特殊情况。2、在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线 。如果两条
14、直线只有 一个 公共点，称这两条直线相交 ;如果两条直线 没有 公共点，称这两条直线平行。3、两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点 且有 一条公共边 的两个角是邻补角。邻补角的性质： 邻补角互补 。如图 1 所示， 与 互为邻补角，与 互为邻补角。 + = 180; + = 180 ; + = 180 ; + = 180 。4、 两条直线相交所构成的四个角中，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线 ，这样的两个角互为 对顶角 。对顶角的性质：对顶角相等。如图 1所示， 与 互为对顶角。 = ; = 。5、两条直线相交所成的角中，如果有一个是直角或 90时，称这两条直线互相垂直，其中一
15、条叫做另一条的垂线。如图 2 所示，当 = 90时， 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页垂线的性质：性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。性质 3：如图 2 所示，当 a b 时， = = = = 90 。点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。6、同位角、内错角、同旁内角基本特征：在两条直线(被截线)的 同一方 ，都在第三条直线(截线)的 同一侧 ，这样的两个角叫 同位角 。图 3中，共有 对同位角： 与 是同位
16、角; 与 是同位角; 与 是同位角; 与 是同位角。在两条直线(被截线) 之间 ，并且在第三条直线(截线)的 两侧 ，这样的两个角叫 内错角 。图 3 中，共有对内错角： 与 是内错角; 与 是内错角。在两条直线(被截线)的 之间 ，都在第三条直线(截线)的 同一旁 ，这样的两个角叫 同旁内角 。图 3中，共有 对同旁内角： 与 是同旁内角; 与 是同旁内角。7、平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也
17、互相平行。平行线的性质：性质 1：两直线平行，同位角相等。如图 4 所示，如果 ab，则 = ; = ; = ; = 。性质 2：两直线平行，内错角相等。如图 4 所示，如果 ab，则 = ; = 。性质 3：两直线平行，同旁内角互补。如图 4 所示，如果 ab，则 + = 180 ; + = 180 。性质 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。如果 ab，ac，则。8、平行线的判定：判定 1：同位角相等，两直线平行。如图 5 所示，如果 = 或 = 或 = 或 = ，则 ab。判定 2：内错角相等，两直线平行。如图 5 所示，如果 = 或 = ，则 ab 。精选学习资料 - - - -
18、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页判定 3：同旁内角互补，两直线平行。如图 5 所示，如果 + = 180 ; + = 180 ，则 ab。判定 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。如果 ab，ac，则。9、判断一件事情的语句叫命题。命题由 题设 和 结论 两部分组成，有 真命题 和 假命题 之分。如果题设成立，那么结论 一定 成立，这样的命题叫 真命题 ;如果题设成立，那么结论 不一定 成立，这样的命题叫假命题。真命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫定理，它可以作为继续推理的依据。10、平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定
19、的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。平移后，新图形与原图形的 形状 和 大小 完全相同。平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。平移性质：平移前后两个图形中对应点的连线平行且相等 ;对应线段相等;对应角相等。第六章实数【知识点一】实数的分类1、按定义分类： 2.按性质符号分类：注：0既不是正数也不是负数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页【知识点二】实数的相关概念1.相反数(1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数 .0的相反
20、数是 0. (2)几何意义：在数轴上原点的两侧， 与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数， 或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称 . (3)互为相反数的两个数之和等于 0.a 、b 互为相反数 a+b=0. 2.绝对值 |a| 0. 3.倒数 (1)0没有倒数 (2)乘积是 1的两个数互为倒数 .a 、b 互为倒数 . 4.平方根(1)如果一个数的平方等于 a，这个数就叫做 a的平方根.一个正数有两个平方根，它们互为相反数 ;0有一个平方根，它是 0本身;负数没有平方根.a(a 0)的平方根记作. (2)一个正数 a的正的平方根，叫做 a的算术平方根.a(a 0)的算术平方
21、根记作 . 5.立方根如果 x3=a， 那么 x 叫做 a的立方根.一个正数有一个正的立方根 ;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页【知识点三】实数与数轴数轴定义： 规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可 . 【知识点四】实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大 . 2.正数都大于 0，负数都小于 0，两个正数，绝对值较大的那个正数大 ;两个负数;绝对值大的反而小 . 3.无理数的比较大小：【知识点五】实数的运算1.加法
22、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 ;互为相反数的两个数相加得 0;一个数同 0 相加，仍得这个数. 2.减法：减去一个数等于加上这个数的相反数 . 3.乘法几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正;当负因数有奇数个时，积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页为负.几个数相乘，有一个因数为 0，积就为 0. 4.除法除以一个数，等于乘上这个数的倒数.两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值
23、相除.0 除以任何一个不等于 0 的数都得 0. 5.乘方与开方(1)an所表示的意义是 n个 a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数 . (2)正数和 0可以开平方，负数不能开平方 ;正数、负数和 0都可以开立方. (3)零指数与负指数【知识点六】有效数字和科学记数法1.有效数字：一个近似数，从左边第一个不是 0 的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字. 2.科学记数法：把一个数用 (1 ” 、 “ 、 ” 、 “=”或“”).17.根据生活经验，对代数式ab作出解释：；18. 某城市按以下规定收取每月的煤气费：用气不超过 60 立
24、方米，按每立方米 0.8元收费；如果超过 60 立方米， 超过部分每立方米按 1.2元收费.已知某户用煤气 x立方米 （x60） ， 则该户应交煤气费元. 20. 观察下列单项式：0，3x2，8x3，15x4，24x5，按此规律写出第 13个单项式是_ 。三、解答题（共 60 分）21. (12分)化简:（1）144mnmn；（2）2237(43)2xxxx；（3）(2)()xyyyyx；22(8分)化简求值（1）)522(2)624(22aaaa其中1a.（2）)3123()21(22122babaa其中32,2 ba.23(6分)已知1232aaA，2352aaB，求BA32.24(6分)
25、如图所示，一扇窗户的上部是由 4个扇形组成的半圆形，下部是边长相同的 4个小正方形，请计算这扇窗户的面积和窗框的总长 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页26. (6分)某商店有两个进价不同的计算器都卖了a元,其中一个盈利 60%, 另一个亏本 20%,在这次买卖中,这家商店是赚了,还是赔了?赚了或赔了多少? 27. (7 分)试至少写两个只含有字母x、 y 的多项式, 且满足下列条件:(1)六次三项式;(2)每一项的系数均为 1或-1; (3)不含常数项; (4)每一项必须同时含字母x、 y , 但不能含有其他
26、字母. 28. (9分)某农户 2007年承包荒山若干亩，投资 7800 ?元改造后，种果树 2000棵.今年水果总产量为 18000千克，此水果在市场上每千克售 a 元，在果园每千克售 b 元（ba）.该农户将水果拉到市场出售平均每天出售1000千克，需 8?人帮忙，每人每天付工资 25元，农用车运费及其他各项税费平均每天 100元. （1）分别用 a，b表示两种方式出售水果的收入？（2）若 a1.3元，b1.1 元，且两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，请你通过计算说明选择哪种出售方式较好 . （3）该农户加强果园管理，力争到明年纯收入达到 15000元，那么纯收入增长率是多少（纯收入总收入总支出） ，该农户采用了（2）中较好的出售方式出售）？a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页