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1、其次十五章概率初步 教案25.1 随机大事与概率第 1 课时 随机大事与概率课前预备：硬币在日常生活中，你听到过“概率”这个词吗？在谈论哪些问题时会用到“概率”这个词？降水概率，中奖概率等大家知道人们最早开头摸索概率问题是源于什么活动吗？赌博，说明白概率问题的有用性与趣味性人们买彩票也是抱着赌徒的投机心理，咱们第一来体验体验彩民的心理吧；学号大抽奖：在一个瓶子里装有44 个外形、大小、质地完全相同的小球，分别写有在座每位同学的学号，在看不到盒中球的前提下随机摸出一个：1你能被抽到吗？为什么？演示几个号2假如瓶子里只有写着奇数学号的球，你能被抽到吗？为什么？3假如瓶子里只有写着偶数学号的球， 抽
2、一个在以上三种不同的条件下， 你被抽中的可能性有什么变化？4你认为这节课仍可能抽到你吗？本课仍会多次在屏幕右上角实行随机抽学号的方式进行提问；问题 1：抽签排序5 名同学参与演讲竞赛，以抽签的方式打算每个人的出场次序；签筒中有5 支外形、大小相同的纸签， 小军第一抽签， 他在看不到纸签上数字的情形下任意地取一根纸签；演示几次请考虑以下问题：1抽到的序号有几种可能的结果？ 5 种： 1， 2， 3， 4， 52抽到的序号小于 6 吗？3抽到的序号是 0 吗？4抽到的序号是 1 吗？ 小结：在肯定条件下重复进行试验时， 有的大事在每次试验中必定会发生2，称为必定大事，有的大事在每次试验中都不会发生
3、3称为不行能大事；必定大事和不行能大事统称为确定大事； 仍有一类大事在每次试验中可能发生，也可能不发生，事先无法确定 4，称为随机大事；提问：总结随机大事的特点；1. 随机大事：在肯定条件下，可能发生也可能不发生的大事，称为随机大事；强调：定义中“在肯定条件下”说明当条件转变时，随机大事发生的可能性也会相应地发生转变；又比方：小军抽到 5 号是随机大事；请再说出问题 1 种的一个随机大事；提问：1假如小军抽到 5 号，并且纸签在抽出后不放回，那么在小军后面抽签的小20兰抽到的序号有几种可能的结果？2在此条件下，请说出小兰抽签时的一个必定大事；一个不行能大事；一个随机大事；* 3小兰抽到的序号在
4、小军之前是？小兰抽到5 号是？小兰抽到 2 号是？ 再对其它一些详细的大事做出判定；练习 1：以下大事中，哪些是必定大事，哪些是不行能大事，哪些是随机大事？ 说明理由；1篮球运发动在罚球线上投篮一次，未投中；2掷一次六面体骰子，向上的一面是6 点；3度量三角形的内角和，结果是360；4放学回家路上在每一个路口都遇上绿灯；5在标准大气压下，沸水的温度是100；6今晚打开电视发觉在播广告；7将豆油滴在水中，豆油浮在水面上；小结：必定大事和不行能大事都是确定大事，可以借助生活体会或科学理论进行判定；问题 2：袋中摸球袋子中有 4 个彩球和 2 个白球，这些球的外形、大小、质地完全相同；在看不到球的条
5、件下，随机地从袋子中摸出一个球；1这个球是彩色仍是白色？2摸出彩球和摸出白球的可能性一样大吗？小结：从这个问题中可以看出， 随机大事发生的可能性有大有小；那么怎样来描述一个随机大事的可能性呢？这是我们接下来要争论的问题；活动：抛掷一枚质地匀称的硬币， 投掷一次1结果有几种可能？2投掷前能否确定是哪一面对上？3哪种结果的可能性更大？在抛掷一枚质地匀称的硬币时， 尽管事先不能确定结果是正面对上仍是反面对上，但直觉告知我们这两个随机大事发生的可能性相同，各占一半；猜想：抛掷一枚质地匀称的硬币， 正面对上和反面对上的可能性相同， 各占一半；这种猜想是否正确呢？下面我们用试验来检验；试验要求：14 人一
6、组，每组两枚硬币，两张记录表裁开使用 ；2同桌两人搭档，一人抛掷硬币，另一人记录每次的结果；3每桌 2 人共完成 25 次，每组 4 人共完成 50 次，将两份结果汇总后到讲台汇报；留意事项：1硬币不要平抛， 建议立抛；2将书本垫在桌上， 以免硬币弹落；试验，汇报，汇总，运算，绘图； 书 P140提问：正面对上的频率有什么特点？历史上，有数学家做过成千上万次抛掷硬币的试验， 从中我们可以看到他们对科学的严谨态度和求实精神；结果如下：试验者抛掷次数n正面频数 m正面频率 m/n棣莫弗2 0481 061布丰4 0402 048费勒10 0004 979皮尔逊12 0006 019皮尔逊24 00
7、012 012把表中的数据绘制成统计图；提问：观看试验结果， 在这些试验中， 正面对上的频率相等吗？随着试验次数的增加，正面对上的频率有怎样的规律？可以发觉，在重复抛掷一枚质地匀称的硬币时，正面对上的频率在0.5 邻近波动；并且随着试验次数的增加，一般情形下频率会稳固在0.5 邻近，波动幅度越来越小；提问：归纳试验结论？在大量重复抛掷硬币的试验中， “正面对上”发生的频率稳固在常数0.5 邻近，那么就说抛掷硬币时“正面对上”的概率为0.5；换句话说，我们用常数0.5 来表示正面对上发生的可能性大小； 记为： P 正面对上 = 0.5；这个符号表示：在抛掷硬币时正面对上这个大事的概率是 0.5；
8、推广到一般的随机大事 A，可得概率的意义；2. 概率的意义：一般地， 对于一个随机大事 A ，我们把刻画其发生可能性大小的数值， 称为随机大事 A 发生的概率，记为 PA ；在大量重复试验中， 假如大事 A 发生的频率 m/n 会稳固在某个常数 p 邻近，那么这个常数p 就叫做大事 A 的概率；记为： PA=p.0PA 1当 A 为必定大事时， PA 1当 A 为不行能大事时， PA 0大事发生的可能性越大， 它的概率越接近 1；反之，大事发生的可能性越小， 它的概率越接近 0.通过试验证明白猜想： 抛掷一枚质地匀称的硬币， 正面对上和反面对上的可能性相同，各占一半；同时，也从中得到了概率的意
9、义；从前面的争论得知， 在各组试验中硬币正面对上的频率各不相同， 但是由频率的稳固性得出的正面对上的概率是一个常数0.5；假如再做一组抛掷 30000 次的试验，事先能确定正面对上的频率吗？但是能依据概率估量出频率大致在？提问：从中你发觉频率和概率有什么关系？随机现象对于个别试验而言无法预知结果， 频率也会随着试验次数的转变而变化；但在相同条件下进行大量重复试验时， 却又出现出一种规律性， 因而概率是一个客观常数；可以说， 频率是概率的近似值，概率是频率的稳固值；练习 2：在抛掷硬币的试验中，对于结论P 正面对上 =0.5，判定以下说明是否正确：1对于每一次试验，有一半的可能是正面对上；2抛
10、2 次就必有 1 次是正面对上；3抛掷 50 次，假如大部分情形是正面对上的， 就连续抛掷时反面对上的概率更大；4抛掷 10 次有可能都是反面对上；5假如连续抛掷了 425 次都是正面对上，就对于第426 次抛掷， P 正面对上 P反面对上 想一想：发生了的事情是否概率就大？没发生的事情是否概率就小？反之，概率大的事情是否肯定发生？概率小的事情是否肯定不发生？比方：降水概率1运算表中相应的“射中 9 环以上”的频率精确到 0.01；2依据频率的稳固性，估量这名运发动射击一次时“射中9 环以上”的概率精确到 0.1？0.8练习 3：机动某射击运发动在同一条件下的射击成果记录如下：射击次数2040
11、1002004001000射中 9 环以上次数153378158321801射中 9 环以上频率本课小结：1. 现实生活中存在大量的随机大事，可能发生也可能不发生，事先无法预料；2. 用概率来描述大事发生的可能性大小；但是概率大的大事不肯定发生，概率小的大事不肯定不发生；3. 留意体会频率与概率的区分和联系；最终，我想用的一段话来总结本课：“无限地连续进行试验， 我们终能正确地运算任何事物的概率，并从偶然现象之中看到事物的秩序； ” 雅各布 .伯努力概率论奠基人之一这段话不仅从方法上阐释了概率的意义 正如掷硬币试验中我们的操作和数据处理，而且概括了频率与概率的关系 一个是偶然一个是必定 ；期望
12、大家更要从精神上感受科学家们严谨求实的科学态度；爱好作业：1. 阅读摸索： 生死签相传古代有一小国， 世代沿袭着一条奇妙的法规： 但凡死囚都要在临刑前当众抽一次“生死签”，即在两张纸条上分别写着“生”和“死” ，抽到“死”签的立刻斩首，抽到“生”签就当众释放；有一次，国王打算处死一个敢于“犯上”的大 臣，于是勾结法官将两张纸条都写上“死”字假如你是这名囚臣，事先预料 到了国王的阴谋，你会怎么做？请用本课学习的学问来解读这就故事；【分析】原来抽到“死”签是随机大事，国王勾结法官，妄想将抽到“死”签这个随机大事变为必定大事，而囚臣利用抽签规章，将抽到“死”签由必定大事变成了不行能大事；2. 试验探
13、究：小刚做掷硬币的嬉戏，得到结论： “掷两枚匀称的硬币，会显现三种情形：两正， 一正一反， 两反；所以显现一正一反的概率是 1/3”；他的判定对吗？先通过试验探究结论，再想想这是为什么？【分析】显现一正一反的概率是 1/2；1两枚硬币会显现四种情形：正正，正反，反正，反反，每种概率一样，都是 1/4，因此一正一反的概率是 2/4=1/2；2无论第一枚硬币是哪一面对上， 其次枚硬币要么和它同向， 要么和它反向， 试验得知两个大事的概率一样，都是1/2；3. 探究摸索： 彩票中的幸运号码对于博彩， 有这样两类观点： 一些人统计了每一期的中奖号码， 认为中奖频率高的号码中奖的概率也高， 因此倾向于选
14、购这类高频号码； 仍有一些人同样统计了每一期的中奖号码， 但是他们知道， 每个号码被抽中的概率是一样的， 所以认为中奖次数少的号码更简洁中奖， 因此他们倾向于购买这类低频号码； 对于这两类相互冲突的观点，你怎样看？【分析】两种看法都不对；每个号码中奖的概率是相同的，频率高的中奖号码并不代表中奖概率高；另外， 已经发生的大事不会对未发生的大事造成影响；第 2 课时 古典概型通过上节课的学习， 我们知道了什么是随机大事， 也明白了概率的意义； 我们用概率来刻画一个随机大事发生的可能性大小；请看下面几个试验：1从分别标有 1， 2， 3，4，5，其它部分完全相同的 5 张卡片中随机的抽取一张；结果有
15、几种可能？抽到 1 的概率有多大？2掷一枚质地匀称的正方体骰子；结果有几种可能？向上的一面是6 点的概率有多大？3从一副扑克牌 54 张中随机抽出一张；结果有几种可能？抽到红桃2 的概率有多大？归纳：上面的试验有什么共同点？可以发觉以上试验都有两个共同特点：1每一次试验中，可能显现的结果只有有限个；2每一次试验中，各种结果显现的可能性相等；对于具有上述特点的试验，称为古典概型；对于古典概型的试验， 我们可以从大事所包含的各种可能的结果数在全部可能的结果中所占的比，分析出大事发生的概率；例如，在上面的试验 1中，“抽到 1 号”这个大事包含 1 种可能的结果， 在全部 5 种可能的结果中所占的比
16、为 1/5，于是： P抽到 1 号=1/5. “抽到偶数号”这个大事包含 2，4 两种可能的结果，于是： P抽到偶数号 =2/5.归纳：一般地， 假如在一次试验中， 有 n 种可能的结果， 并且它们发生的可能性都相等，大事 A 包含其中的 m 种结果，那么大事 A 发生的概率：P Am .n留意：在大量重复试验中，当满意：可能显现的结果只有有限个，各种结果显现的可能性相等，才能使用上面的方法来运算大事A 的发生概率；例 1：书 P130，例 1掷一个质地匀称的正方体骰子，求以下大事的概率：1点数为 2；2点数为奇数；3点数大于 2 且小于 5.解：掷一个质地匀称的正方体骰子时， 向上的一面的点
17、数可能为1，2，3，4，5，6 ，共 6 种，这些点数显现的可能性相等 ；1P点数为 2=1/6；2点数为奇数有 1、3、5 共 3 种可能， P点数为奇数 =3/6=1/2；3点数大于 2 且小于 5 有 3、4 共 2 中可能，P点数大于 2 且小于 5=2/6=1/3.例 2：书 P130，例 2如图是一个转盘，转盘分成7 个相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色；指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个 扇形会恰好停在指针所指的位置 指针指向两个扇形的交线时， 当作指向右边的扇形；求以下大事的概率：1指针指向红色；2指针指向红色或黄色；3指针不指向红色；练习 1：P131，练
18、习， 2 题袋子中装有 5 个红球 3 个绿球，这些球除了颜色外都相同；从袋子中随机地摸出一个球，答复以下问题：1摸出的球可能为什么颜色？2每种情形显现的可能性相等吗？3两者的概率分别为多少？练习 2：从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽出一张，求以下大事的概率：1抽到黑桃 A；2抽到红心；3抽到 10；4抽到黑色牌；练习 3：P132，习题 25.1，4 题一个质地匀称的小正方体，六个面分别标有数字“ 1”“ 1”“2”“4”“5”“5”；掷骰子后，观看朝上一面的数字；1显现“ 5”的概率是多少？2显现“ 6”的概率是多少？3显现奇数的概率是多少？练习 4：P132，习题 25.1，5 题如图是
19、一个可以自由转动的没涂颜色的转盘，被分成 12 个相同的扇形；请你在转盘的适当地方涂上红、蓝两种颜色，使得转动的转盘自由停止时，指针指向红、蓝两色的概率分别为 1/3，1/6.机动练习： P132，67 题摸索题：三张卡片的骗局如图，在三张卡片的正反两面分别印有“黑 -黑”、“白-黑”、“白-白”的圆点，其它部分完全相同， 卡片的正反面除圆点外也完全相同； 两人进行一个嬉戏， 从中随机抽出一张放于桌面上， 猜朝下一面的颜色； 假设你是其中一名嬉戏者， 此时卡片朝上的一面是白点，你会如何推测呢？说说你的理由；【分析】朝上一面是白点有三种情形，第 2 张正面、第 3 张正面、第三张反面，这 3 种
20、情形显现的可能性相等，对应的朝下一面分别为黑、白、白，所以朝下一面是黑色的概率为 1/3，是白色的概率为 2/3；因此，猜朝下为白色，胜算更大；本课小结：1. 什么叫古典概型？2. 在古典概型中，如何运算大事发生的概率？一般地， 假如在一次试验中， 有 n 种可能的结果， 并且它们发生的可能性都相等，大事 A 包含其中的 m 种结果，那么大事 A 发生的概率：P Am .n留意这种算法的使用条件：在重复试验中，结果1有限，2等可能性；25.2 用列举法求概率学习目标： 明白概率的意义， 体会概率是描述不确定现象的规律的数学模型，懂得概率的取值范畴的意义，进展随机观念；能够运用列举法包括列表、画
21、树形图运算简洁大事发生的概率；第 1 课时 用列举法求概率温故知新：一般地， 假如在一次试验中， 有 n 种可能的结果， 并且它们发生的可能性都相等，大事 A 包含其中的 m 种结果，那么大事 A 发生的概率：P Am .n上面的算法适用于可能的结果为有限个且可能性相等的试验，即古典概型； 在一些较为简洁的古典概型， 如抛一枚硬币、 掷一枚骰子等， 我们可以很快确定出 m、n 的取值，从而运算出相应大事的发生概率；而当试验较复杂时，比方抛两次硬币、掷两枚骰子等，就较难确定m、n 的取值了；此时， 我们可以通过列举试验结果的方法， 找到全部等可能性的试验结果，分析出随机大事发生的概率；例 1：P
22、134，例 1掷两枚硬币，求以下大事的概率：1两枚硬币全部正面朝上；2两枚硬币全部反面朝上；3一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；解：我们把两枚硬币分别视作硬币1 和硬币 2，它们所能产生的结果全部列举出来是：正正，正反，反正，反反；这4 种结果显现的可能性相等；1记大事 A 为：两枚硬币全部正面朝上，就： PA=1/4；2记大事 B 为：两枚硬币全部反面朝上，就： PB=1/4；3记大事 C 为：一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上，就：PC=2/4=1/2.想一想：假设将例 1 的条件改为“掷一枚硬币两次” ，结果一样吗？为什么？转变条件后，可能显现的结果是：正正，正反，反正，反反，可能性相
23、等，与原题情形一样，所以结果一样； 练习 1：P134，练习， 2 题袋子中装有红、绿各一个小球，除颜色外无其它差异，随机摸出 1 个小球后放回，再随机摸出一个；求以下大事的概率：1第一次摸到红球，其次次摸到绿球；2两次都摸到相同颜色的小球；3两次摸到的球中有一个绿球和一个红球；在例 1 和练习 1 中，可能显现的结果都只有 4 种，很简洁将它们排列出来；假如可能的结果较多， 很难直接写全， 或写出来不变分析时， 我们经常借助表格或图形来整理这些结果，让它们更简洁、直观，便于分析；例 2：同时掷两个质地匀称的骰子，运算以下大事的概率：1两个骰子的点数相同；2两个骰子点数的和是9；3至少有一个骰
24、子的点数为 2.可以让同学自己设计表格来解决问题，并且比较不同做法的优劣；显现的结果；第 2 个【分析】当一次试验要涉及两个因素 例如掷两个骰子 并且可能显现的结果数据较多时， 为不重不漏地列出全部可能的结果， 通常采纳 列表法 ；我们不妨把两个骰子分别记为第 1 个和第 2 个，这样就可以用下面的方形表格列举出全部可能61,62,63,64,65,66,651,52,53,54,55,56,541,42,43,44,45,46,431,32,33,34,35,36,321,22,23,24,25,26,211,12,13,14,15,16,1123456第 1 个解：由表格可以看出，同时掷两
25、个骰子，可能显现的结果有36 个，它们显现的可能性相等； 1 满 足 两 个 骰 子 点 数 相 同 记 为 事 件 A 的 结 果 有 6个 ， 即1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6，所以： PA=6/36=1/6；2满意两个骰子点数和为 9记为大事 B的结果有 4 个，即3,6,4,5,5,4,6,3， 所以： PB=4/36=1/9；3满意至少有一个骰子的点数为2记为大事 C的结果有 11 个，全部：PC=11/36.想一想：1假如把题目中“同时掷两个骰子”改为“把一个骰子掷两次” ，所得到的结果一样吗？为什么？2在例 1 中，能否使用列表法列举全部可能的情形？小结：当一次试
26、验涉及 两个因素，并且可能显现的结果较多时， 使用列表法可以将全部结果不重不漏地列举出来，而且列表出现的数据比简洁排列更加简洁明了，便于分析；然而，当试验涉及了两个以上的因素时，应当怎么处理呢？例 3：甲口袋中装有 2 个相同的小球，它们分别写有字母A 和 B；乙口袋中装有3 个相同的小球， 它们分别写有字母 C，D 和 E；丙口袋中装有 2 个相同的小球， 它们分别写有字母 H 和 I；从 3 个口袋中各随机地取出 1 个小球；1取出的 3 个小球上恰好有 1 个、2 个和 3 个元音字母的概率分别是多少？2取出的 3 个小球上全是辅音字母的概率是多少？先让同学自己想方法列举试验结果，再比较
27、方法的优劣；【分析】当一次试验要涉及3 个或更多的因素例如从 3 个口袋中取球、抛3枚硬币等时，列方形表就不便利了，为了不重不漏的列出全部可能的结果，通常采纳树形图；CDECDE解：依据题意，我们可以画出如下的“树形图”： 甲AB乙丙 HIHIHIHIHIHI从树形图可以看出，全部可能显现的结果共有12 个，这些结果显现的可能性相等；1只有 1 个元音字母的结果有 5 个，即 ACH ，ADH ，BCI， BDI ，BEH，所以： P1 个元音 =5/12；有 2 个元音字母的结果有 4 个，即 ACI ，ADI ，AEH ，BEI，所以： P2 个元音 =4/12=1/3；有 3 个元音字母
28、的结果有 1 个，即 AEI ，所以： P3 个元音 =1/12.2全是辅音字母的结果共有 2 个，即 BCH ，BDH ，所以：P3 个辅音=2/12=1/6.想一想：1在第 1问的基础上，第 2问仍有别的算法吗？2在例 1 和例 2 中，能否使用树形图来列举出全部可能的情形？3什么时候使用“列表法”便利？什么时候使用“树形图法”便利？小结：从适用性上来看， 列表法一般适用于涉及两个因素的试验， 而树形图法既可以用于两个因素、也可以用于涉及三个、甚至三个以上因素的试验；然而，对于只涉及两个因素的试验， 特别当可能性较多时， 列表法比树形图法的出现形式更加简洁、清楚；因此，通常对涉及两个因素的
29、试验，使用列表法；对涉及三个及三个以上因素的试验，使用树形图法；练习 2：P137，练习， 1 题在 6 张卡片上分别写有 16 的整数；随机地抽取一张后放回， 再随机地抽取一张； 那么其次次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？ 14/36=7/18练习 3：P137，练习， 2 题经过某十字路口的汽车，它可能连续直行，也可能 向左转或向右转， 假如这三种可能性大小相同， 三辆汽车经过这个十字路口， 求以下大事的概率：1三辆汽车全部连续直行；2两辆车向右转，一辆车向左转；3至少有两辆车向左转；练习 4：一个不透亮的袋中装有2 黑 2 白共 4 个外形大小完全相同的小球；求以下大事的
30、概率：1随机摸出一个小球，登记颜色后放回，再随机摸出一个；大事 A：两次都摸到白球；大事 B：第一次摸到黑球，其次次摸到白球； 大事 C：两次摸到颜色不同的球；2随机摸出 2 个小球；大事 D：摸到同色的球； 大事 E：摸到 1 黑 1 白；本课小结：1. 用列举法求概率适用于什么样的试验？2. 常用的列举方法有哪些？3. 列表法适用于什么样的试验？树形图法呢？摸索题：“雄兔脚扑朔，雌兔眼迷离；双兔傍地走，安能辨我是雄雌；”木兰诗有一黑一白两只兔子1假设已知其中有一只是雄性，求两只都是雄性的概率；2假设已知其中的白兔是雄性，求两只都是雄性的概率；稳固练习：1. 小明是个小马虎，晚上将黑、白两双
31、袜子放在床头，早上顺手抓了两只穿上就上学去了；求以下大事的概率：1刚好穿了同一双袜子；2左脚穿了黑袜子，右脚穿了白袜子；2. 抛三枚硬币，求以下大事的概率：1显现两正一反；2三枚硬币朝向一样；第 23 课时 实际应用例 1：P133，例 1如图是电脑中 “扫雷”嬉戏的画面；在一个有 99 个小方格的正方形雷区中，随机掩埋着 10 颗地雷，每个小方格内最多只能藏 1 颗地雷；小王在嬉戏开头时随机地踩中一个方格， 踩中后显现了如下图的情形； 我们把与标号 3 相邻的方格记为 A 区域， A 区域外的部分记为 B 区域；数字 3 表示在 A 区域中有 3 颗地雷；那么其次步应当踩在 A 区域仍是 B
32、 区域？假如第一步踩中的标号是 1 或 2 呢？其次步应当怎么选？例 2：如图，电路图上有四个开关A、B、C、D 和一个灯泡，闭合开关 D 或同时闭合开关 A、B、C 都可以使小灯泡发光；随机闭合其中的假设干开关，每个开关被闭合的可能性相等；1任意闭合其中一个开关，就小灯泡发光的概率等于 ；2任意闭合其中两个开关，求出小灯泡发光的概率；ABC D例 3：小明和小亮用如下的转盘进行“配紫色”嬉戏，转盘被分为3 个相同的扇形，分别涂上红、黄、蓝三种颜色；嬉戏规章如下：连续转动两次转盘，假如两 次转盘转出的颜色相同或配成紫色 假设其中一次转盘转出蓝色， 另一次转出红色，就可配成紫色，就小明得 1 分
33、，否就小亮得 1 分；你认为这个嬉戏对双方公正吗？请说明理由；假设不公正，请你修改规章使嬉戏对双方公正；当指针指在边界线上时视为无效，重转红黄蓝例 4：小明、小亮和小强三人预备下象棋，他们商定用“抛硬币”的嬉戏方式来确定哪两个人先下棋，规章如下：三人手中各持有一枚质地匀称的硬币 ，他们同时将手中硬币抛落到水平地面为一个回合 落地后， 三枚硬币中， 恰有两枚正面对上或者反面对上的两人先下棋；假设三枚硬币均为正面对上或反面对上，就不能确定其中两人先下棋1请你完成下面表示嬉戏一个回合全部可能显现的结果的树状图；2求一个回合能确定两人先下棋的概率；开头小明正面小亮正面小强正面反面不确结果确定定例 5：
34、某校有 A、B 两个餐厅，甲、乙、丙三名同学各自随机挑选其中的一个餐厅用餐；1求甲、乙、丙三名同学在同一个餐厅用餐的概率；2求甲、乙、丙三名同学中至少有一人在B 餐厅用餐的概率；例 6：“石头、剪刀、布”是广为流传的嬉戏，嬉戏时竞赛各方做“石头” 、“剪刀”、“布”中手势的一种，规定“石头”胜“剪刀” ，“剪刀”胜“布”，“布”胜 “石头”，同种手势或三种手势循环就不分胜败连续竞赛，假定甲、乙、丙三人都是等可能的做这三种手势，那么：1一次竞赛中三人不分胜败的概率是多少？2竞赛中一人胜，二人负的概率是多少？例 7：三人相互传球，由甲开头持球，并做第一次传球；1用列表或画树状图的方法求经过3 次传
35、球后，球仍回到甲手中的概率是多少？ 1/42由1进一步探究：经过 4 次传球后，球仍回到甲手中的不同传球方法共有多少种？ 6*3就传球次数 n 与球分别回到甲、乙、丙手中的可能性大小，提出你的猜想写出结论即可；设第 n 次传球后球回到甲手中的概率为Pn，就：P10, P221 , P34211/ 221P2 ,2, Pn1Pn 121变形得： Pn31 P1n21231由： P231，故： Pn611361 n2， Pn11 n 21623故球回到甲手中的概率为Pn11 n 21623回到乙、或丙手中的概率相等，为：1PnP 211 n 11n162325.3 用频率估量概率学习目标： 能够通
36、过试验， 获得大事发生的频率； 知道大量重复试验时频率可作为大事发生概率的估量值， 懂得频率与概率的区分与联系； 通过实例进一步丰富对概率的熟悉， 并能解决一些实际问题； 明白进行模拟试验的必要性， 能依据问题的实际背景设计合理的模拟试验；第 1 课时 用频率估量概率课前预备：白纸，牙签，剪刀复习：概率的意义对于抛掷硬币这类试验， 可能的结果有有限个， 各种结果发生的可能性也相同，因此，用列举法得出的“正面对上”的概率，与用频率的稳固性得到的“正 面对上”的概率，是同一个数值；在更一般地情形下， 即使试验的全部可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等， 我们也可以通过试验的方法去估
37、量一个随机大事发生的概m率；只要试验的次数 n 足够大，频率统计定义：就可以作为概率 p 的估量值；即概率的n一般地，在大量重复试验中，假如大事A 发生的频率那么大事 A 发生的概率 PA=p；频率是概率的近似值，概率是频率的稳固值；m 稳固于某个常数 p， n试验：布丰投针试验 P146，4 题在平面上画有一组间距为 d 的平行线，将一根长度为 lld的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率；预备：白纸，牙签，剪刀步骤：1在白纸上画一组间距 d=4cm 的平行线，将一根长度为 l=3cm 的针可用牙签代替任意投掷在这个平面上；2重复试验，观看针与任始终线相交的次数，完成下表：
38、试验次数 n255075100125150175200225250相交频数 m相交频率 mn3估量针与任始终线相交的概率为；4在投针试验中，假如间距 d=4cm、针长 l=3cm 时针与任始终线相交的概率为 p，就当 d 不变 l 减小时概率 p 会如何变化？当 l 不变 d 减小时概率 p 会如何变化？在试验中始终保持 ld【拓展资料】布丰投针试验1777 年法国科学家布丰提出的一种运算圆周率的方法随机投针法，即闻名的布丰投针问题；在平面上画有一组间距为 d 的平行线，将一根长度为 lld的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率； ”布丰本人证明白，这个概率是 p2l d，为
39、圆周率；利用这个公式可以用概率的方法得到圆周率的近似值，即2ldp，其中 d 为平行线组的间距， l 为针长， p 为针与任始终线相交的概率；试验者岁月投掷次数相交次数圆周率估量值沃尔夫185050002531史密斯185532041219德摩根1680600383福克斯18841030489拉泽里尼190134081808赖纳19252520859下面是一个简洁而奇妙的证明思路：1用铁丝弯一个直径等于 d 的圆圈，就可知无论如何抛掷，圆圈都与平行线组有 2 个公共点；因此，抛掷n 次时交点总数为 2n 个；2将铁丝拉直，就其长度为d，扔下时与平行线的交点可能有04 个不等；由于圆圈和直线的长
40、度相同， 依据时机均等的原理， 当投掷次数足够多时， 两者与平行线组的交点总数也应当一样；即：长度为d 的铁丝抛掷 n 次时与平行线的交点总数应当大致为2n；3假设铁丝长度变为 l，当投掷次数 n 增大时，它与平行线组的交点总数m与其长度成正比，由 2即得： lm问题 1：P143，问题 1d ，故 pm2l ；2nnd某林业部门要考察某种幼树在肯定条件的移植成活率，应采纳什么详细做法？【分析与解】幼树移植成活率是实际问题中的一种概率；在这个实际问题中，虽然只有“成活” 、“不成活”两种结果，但两种结果的可能性不肯定相等，不能用列举法来运算，所以成活率需要由频率去估量；在同样条件下， 大量地对
41、这种幼树进行移植， 并统计成活情形， 运算成活的频率；假如随着移植棵树 n 的越来越大，频率这个常数就可以被当作成活率的估量值；m 越来越稳固于某个常数，那么n下面是一张模拟的统计表，请补出表中的空缺，并完成表后的填空；移植总数n成活数 m成活的频率10805047270235400369750662150013353500320370006335900080731400012628从表中可以发觉，幼树移植成活的频率在0.9 左右摇摆，并且随着统计数据的增加，这种规律愈加明显，所以估量幼树移植成活的概率为0.9 ；问题 2：P144，问题 2某水果公司以 2 元/千克的成本新进了 10000
42、千克柑橘，假如公司期望这些柑橘能够获得利润 5000 元，那么在出售柑橘已去掉损坏的柑橘时，应当如何定价？【分析与解】柑橘在运输中会有些损坏， 公司必需估算出可能损坏的柑橘总数，以便将损坏的柑橘的成本折算到没有损坏的柑橘的售价中；因此，解决此问题的关键是明白柑橘运输中的损坏率；销售人员第一从全部的柑橘中随机地抽取假设干柑橘， 进行了“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中；请你帮忙完成此表；柑橘总质量 n/千克损坏柑橘质量 m/ 千克柑橘损坏的频率50100150200250300350400450500从表格中可以看出，柑橘损坏的频率在某个常数0.1 左右摇摆，并且随统计量的增加这种规律逐步明显，那么可以把柑橘损坏的概率估量为常数0.1 ，就柑橘完好的概率为 0.9 ；依据估量的概率可以知道，在 10000 千克柑橘中完好柑橘