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1、学问点精编必修五：不等式学问点一：不等式关系与不等式一、不等式的主要性质：(1) 对称性： a(2) 传递性： abbab, bcac(3) 加法法就： aabacb, cdbc ；acbd(4) 乘法法就： aaab, cb, cb000, cacbc ；acbcd0acb(5) 倒数法就： ab, ab011 ab(6) 乘方法就： ab0anbn nN * 且n1(7) 开方法就： ab0【典型例题】n anb nN * 且n11. 已知 a, b 为非零实数,且 ab,就以下命题成立的是22A a bB a22babC 2ab 21b2. 假如 a0 , b0 ,就以下不等式中正确选项
2、（）A 11B abC a2b 2abD ab3. 已知 a, b, c, d 均为实数,有以下命题：（1）如 ab0, bc ad0 ,就 ca db0；2 如 ab0, ca db0,就 bc ad0； 3如 bc ad0,ca db0,就 ab0,其中正确命题的个数是A 0B 1C 2D 34. 设 a、 b、c、d R ,且 ab,cd,就以下结论中正确选项A. acb dB a cbdC acbdD.adbc【习题训练】1：已知 ab , cd ,且 c 、 d 不为 0 ,那么以下不等式成立的是（）A adbcB acbcC acbdD acbd2:以下命题中正确选项（）22A 如
3、 ab ,就 acbcB如 ab , cd ,就 acbdC如 ab0 , ab ,就 11abD如 ab , cd ,就 abcd3. 以下命题中正确命题的个数是（）如 xyz ,就 xyyz ； ab , cd , abcd0 ,就 ab ；cd如 110 ,就ababb 2 ；如 ab ,就 bb1 aa1A 1B 2C 3D 4224. 假如 aR ,且 aa0 ,那么 a , a2 , a ,a 2 的大小关系是（）A aaa2aB aa2a2a2C aaaa 2D a 2aaa 25. 用“”“ ”号填空：假如 ab0c ,那么 c c 6. 已知 a , b , c , d 均为
4、实数,且aba0 ,cdabb,就以下不等式中成立的是（）ababA bcadB bcadCD cdcd7. 已知实数 a 和 b 均为非负数,下面表达正确选项（）A aC a0 且 b00 或 b0B aD a0 或 b00 且 b08. 已知1ab3且2ab4 ,就 2a+3b 的取值范畴是（）A13 ,17 B227 ,11C227 , 13D229 ,13 22二、含有肯定值的不等式1肯定值的几何意义：| x |是指数轴上点 x 到原点的距离；| x1x2 |是指数轴上x1, x2 两点间的距离2、 假如a0, 就不| x |a| x |axa或xxa或xa| x |aa| x |aa
5、xaaxa3当 c0 时,| axb |caxbc 或 axbc ,| axb |ccaxbc ；当 c0 时, | axbc|xR, | axbc|x4、解含有肯定值不等式的主要方法：解含肯定值的不等式的基本思想是去掉肯定值符号,将其等价转化为一元一次 （二次） 不等式（组）进行求解；去掉肯定值的主要方法有：（1） 公式法： |xa a0axa , | x |a a0xa 或 xa （2） 定义法：零点分段法；（ 3）平方法：不等式两边都是非负时,两边同时平方【典型例题】1. 给出以下命题：abac2bc2 ；aba 2b2 ；aba 3b3 ；aba 2b2 其中正确的命题是（）A BCD
6、 2. 设 a, b R,如 a|b|0,就以下不等式中正确选项A b a0B a3 b3 0C a2 b203. 不等式 352 x9 的解集为（）（运用公式法）A 2,14, 7B 2,14, 7C 2 , 1 4, 7D 2,14, 74. 求解不等式： | 2 x1| x2 |4 （运用零点分段发）5. 函数 yx4x6 的最小值为（） （零点分段法）A 2B 2C 4D 6【习题训练】1. 解不等式 | x | x1 |32. 如不等式 | 3x2 |2xa|对 xR 恒成立,就实数 a 的取值范畴为；三、其他常见不等式形式总结：分式不等式的解法：先移项通分标准化,就f x0gxf
7、x g x0;f x0g xf xgx0 gx0 指数不等式：转化为代数不等式a f x ag x 1af xg xa ;f xag x 0a1f xg xf x ab0a, b0f x l g alg b 对数不等式：转化为代数不等式f x0f x0loga f xloga g x a1g xf x0g x;l ogaf xloga g x 0a1g x0f xg x例 1 .不等式l g x211的解集是.例 2.解不等式lg x1 0.x例 3. 解关于 x 的不等式2x2a1 x321.例 4.不等式5x xxax1的解集是（） A x |4 x 1 B x | x 1C x | x
8、1 D x |1 x 1四、三角不等式：| a | -| b | ab | a | b |五、不等式证明的几种常用方法比较法（做差法、做商法） 、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法；【典型例题】1. 如3x2x1 ,2 x2x ,就（）A B CD 2. 如 x2 或 y1,x2y24x2y ,5 ,就与的大小关系是（）A B CD3. 如 ab0, mn0,0 ,就 a ,bb ,bm ,aama n 按由小到大的次序排列为b n4. 如 aln 22, b ln 33 , c ln 55就 a, b, c 按从小到大排列应是5. 设 a2 5, b 5 2, c 5 25,就 a、b、
9、c 之间的大小关系为 6. 以下各式中,对任何实数x 都成立的一个式子是（）A lg x21lg 2xB x2112 xC 21x11D x2x7. 如 a 、 b 是任意实数,且 ab ,就（）ab22b11A abB 1 aCl g ab0D228. 已知 ab0 , cd0 , e0 ,求证：eeacbd【习题训练】1. 不等式a 222a , a2b 22 ab1 , a 2b 2ab 恒成立的个数是（）A 0B 1C 2D 32. 已知 ab0 , b0 ,那么 a , b , a ,b 的大小关系是（）aB ababaD ababA abbC abb3. 如 fx3x2x1 , g
10、x2x2x1 ,就 fx , gx 的大小关系是（）A fxg xB fxgxC fxgxD 随 x 值的变化而变化4. 已知 a 、 bR ,且 ab ,比较 a5b5 与 a3b2ab2 3 的大小六、数轴穿跟法 : 奇穿,偶不穿例题：不等式 x23x2 xx3420 的解为（）A 1x1 或 x2Bx 3 或 1x2Cx=4 或 3x1 或 x2D x=4 或 x0,b0,就不等式1ab 的解集是（）xA. x |11x 0或0 x ab1111B. x |x ba11C. x |x 0或0 x baD. x | x或x ab4. 关于实数 x 的方程 x 22mx2m23 0 有两个正
11、根 ,就实数 m 的取值范畴是.5. 已知不等式ax 23x64 的解集为 x | x1,或xb .1求 a,b;(2) 解不等式ax2acb xbc0 .【习题训练】1. 解以下不等式1x 13 x 52x；2xx 11 3x 12（3） 2x 1x 3 3x2 243x 23x13 x225 x 2x11 xx132不等式（ x+2） 1 x0 的解集是（）A或x1 B x C 2 1D23设 fx=x+bx+1,且 f 1=f3,就 fx0的解集是（）A , 13,BRC 1D 14. 已知集合 M x | x24, N x | x22x30 , 就集合 MN 等于 A. x | x2B
12、. x | x 3C. x|1 x 2D. x | 2x 35. 如不等式 ax 2 +x+a 0 的解集为 ,就实数 a 的取值范畴（）Aa -1 或 a 1Ba 1C -1 a 1D a 12222226:设 mR ,解关于 x 的不等式m2 x22mx30 .17.如 0a1 ,就不等式1xaxa10 的解是（）Aax a1C x 或xaa1或 B xaaDxaxa8.如 ax2 bx 1 0 的解集为 x| 1 x 2 ,就 a,b9. 不等式 x+53 2x 6 的解集为（） x 1 或9 1 9 22 x 1 或9 29 1210. 设一元二次不等式ax2+bx+10 的解集为11
13、,就 ab 的值是（）3 6 5 6 511. 不等式组x2 log 2 x211的解集为（）2A（ 0, 3 ） B（ 3 , 2） C（ 3 , 4）D（ 2, 4）12. 设集合 Ax4x19, xR,Bxx0, x x3R ,就 A B=（）A C 3, 2, 3 5 , 2B 3,D 2, 3 0, 5 2 5 , 213. 关于 x 的方程 x 2+ax+a2-1=0 有一正根和一负根,就a 的取值范畴是14. 不等式（ x-2 ）x22 x3 0 的解集为学问点三：简洁的线性规划1、一元一次不等式与线性规划1如0 ,x0如0 , x0y0Cy0C0 ,就点0 ,就点x0, y0
14、x0 , y0在直线在直线xyCxyC0 的上方0 的下方2 线性规划：【典型例题】线性约束条件可行域线性目标函数（截距、斜率、距离） 可行解最优解1. 下面给出的四个点中,位于x y 10 表示的平面区域内的点是 A 0,2B 2,0C0, 2D 2,02. 已知变量 x、y 满意条件 x1,xy 0,x2y90,就 x y 的最大值是 A 2B 5C 6D 8 3.如实数 x、y 满意 x y1 0x0 ,就 yx 的取值范畴是 A 0,1B.rcavs4alco10, 1C 1, D. avs4alco11, 3. 已知实数 x,y 满意 y1,y 2x 1, xym,假如目标函数 z
15、x y 的最小值为 1,就实数m 等于A 7B 5C 4D 3【提高训练】1. 已知变量 x、y 满意条件 x1,xy 0,x2y90,就 x y 的最大值是 A 2B 5C6D 82. 点 Px, y在直线 4x 3y 0 上,且满意 14x y7,就点 P 到坐标原点距离的取值范畴是A 0,5B 0,10C 5,10D 5,153. 设 D 是不等式组 x2y 120x y 30 xy41表示的平面区域,就D 中的点 Px, y到直线 x y 10 距离的最大值是xy 35.设 x 、 y 满意条件y x1 ,就 z x12y2 的最小值y 0【习题训练】1. 已知实数 x、y 满意 y
16、2,xy 2x, x3,就目标函数 z x 2y 的最小值是 2. 不等式组 x0 ,y0 ,4x 3y0,y0 且 281,就 xy 的最小值是；xyab4. 如实数 a、b 满意 a+b=2,就 3 +3的最小值是；5. x1,y1且 lgx+lgy=4就 lgxlgy最大值为；6. 点（ x, y）在直线 x+3y-2=0 上,就 3x27 y3 最小值为；7. 已知正整数 a, b 满意 4a b 30,使得 1a 1b 取最小值时,就实数对a,b是 A 5,10B 6,6C 10,5D 7,28. 如 0ab ,且ab1,就1 , a , 2ab ,a2b 2 中最大的是229. 设
17、函数就A. 有最大值B. 有最小值C.是增函数D. 是减函数10. 函数的值域为（）A. 2,B. （, 2 C. 2,2 D. （, 2 2,11. 已知不等式 xy1axy9 对任意正实数 x, y 恒成立,就正实数a 的最小值为；12. 不等式1 的最大值是（）yx1 3x 0 x34111AB2431 2 C64 D 72【提高训练】y 21. 已知x, yR , x2 y3z0 ,就xz的最小值2 已知点 在直线上, 其中,就（）A. 有最大值为 2B. 有最小值为 2C. 有最大值为 1D.有最小值为 13.已知非负实数、 满意,就的最大值是（）A.B.C.5D.10,就8B.有最
18、小值8C.有最大值 8D.有最小值84 . 设A.有最大值5 . 设,就（）A. 有最大值B.有最小值C. 有最大值 4D. 有最小值 46.已知点在直线上移动,就的最小值是 A.8B.6C. 3D. 47. 已知 x y 0,求 24x的最小值及取最小值时的x、y 的值 .y xy【习题训练】1. 以下命题中正确选项1x23A、 yx的最小值是 2B、 yx4x22的最小值是2C、 y23xx x0 的最大值是 243D、 y23x4 x0x的最小值是 24 32. 如 x2 y1,就 2x4 y 的最小值是 3. 正数x, y 满意 x2 y1 ,就 1x1的最小值为 y4 . 如,且,就
19、在以下四个选项中 ,较大的是 A. B.C.D.5. 设 a, bR ,a+2b=3 ,就 11 最小值是；ab6. 如 x2y 1,就 2x4y 的最小值是7. 如 x, y 是正数,且 141 ,就 xy 有xyA. 最大值 16B 最小值116C 最小值 16D 最大值 1168. 函数 y4cos2 x9sin 2 x的最小值是（）A）24B） 13C）25D） 26学问点五：不等式的综合应用常见、常用结论：（1）kf xkf x恒成立恒成立kf xkf xmaxmin（2）存在x使kf x 成立存在x使kf x 成立kf xkf xmin max1. 不等式 x4x3a 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范畴 2. 如不等式 2x1m x21 对满意 m2 的全部 m都成立,就 x 的取值范畴 3. 如不等式x22mx2 m10 对 0x1 的全部实数 x 都成立,求 m的取值范畴 .4.