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1、2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题答案一、填空题（每题8分，共80分）1. 2. 3. （每个答案给4分，满分8分）4. 5. 6. 7. z=-14154i （每个答案给4分，满分8分）8. 9. 10. 二、解答题（共五题，11-13各20分，14、15各30分，合计120分）（解答题严格按照上述标准给分，分数整5整10，不给其他过度分数。）11. 已知数列，且，令，记数列的前项和为。（1）求数列的通项公式；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围。解答 （1）由数学归纳法证明得。 （5分）（2）由于，得, （10分）由得到，上式对任意的正整数成立，则，（15分）即。 （20分）
2、12. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆的任意三个顶点构成的三角形面积为。（1）求椭圆的方程；（2）若过的直线与椭圆交于相异两点，且，求实数的范围。解答 （1）设椭圆的长半轴长为短半轴长为则有，解得，所以椭圆的方程为。 （5分）（2）设直线的方程为设两个交点坐标为，。由，得到。 （10分）联立方程组 得到显然，为方程的两个相异的实根，则有由韦达定理得，联立得到 （15分）又，不符合题意。把代入得到 。（20分）13. 已知函数。（1）若恰有三个根，求实数的取值范围；（2）在（1）的情形下，设的三根为，且，证明。解答：（1）时，时，所以函数在，且故 （5分）（2）设，下证在上恒
3、成立.即证，变形得到，在上，显然成立. （10分）设在上有两解，且.可得：，注意到的单调性，有. （15分）通过解二次方程可以解得，则有. （20分）14. 设正整数， 已知个数，记两两之和为，得到如下表格： 若在上述表格中任意取定个数，可以唯一确定出个数，求的最小值。解答 （1）当时，显然由才能唯一确定出，此时。 （5分）（2）当时。显然由，否则取某三个数的两两之和不能确定出第四个数。当时，如果这4个值，也无法确定出。当时，若已知 中任意五个数的值。不妨设的值未知，则由可以确定，从而唯一确定出。（10分）（3）当时，显然由当，下面证明最小值取到等号。（a）当时，即如果知道7个，则一定存在一个
4、下标s，（或）最多出现2次，至少出现1次。事实上，7个共有14个下标，而1,2,3,4,5每个下标出现3次及以上，就共出现15个下标，这是不可能的。因此根据（2），由至少5个的值可唯一确定出，再由至少出现一次的（或）唯一确定出。 （20分）（b）当时，用数学归纳法证明。当取k个时，一定存在一个下标s，（或）最多出现次（因为），则至少有由归纳可知，这些可唯一确定出，然后再有（或）确定出。 （30分）15. 设为实数列，证明 。证明： 不等式的左边=，由Cauchy不等式得， （10分）由等式以及，从而只需证明 （1）以及 （2）。 （20分）这两个不等式是一样的(m,n对调). 下面证明：.（3）该不等式等价于而由，可知最后的不等式成立。对(3)求和即得(1)式，得证。 （30分）