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1、精品word学习资料可编辑资料- - - - - - - - - - - - - - - -高中数学学问点总结1. 对于集合,肯定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”；- - -细心整理 - - - 欢迎下载 - - -第 50 页,共 45 页如：集合Ax|ylg x, By|ylg x , Cx, y| ylg x, A 、B、C中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时,不要遗忘集合本身和空集的特别情形；留意借助于数轴和文氏图解集合问题；空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集；如：集合Ax|x22x30 ,Bx|ax1如BA,就实数 a的值构成的集合为（
2、答：1, 0, 1 ）33. 留意以下性质：（ 1）集合a ,a , a的全部子集的个数是2n ；12n（ 2）如 ABABA , ABB；（ 3）德摩根定律：CUABCU ACU B,CU ABCUACU B4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于的取值范畴；x的不等式 axx250的解集为aM,如 3M且5M,求实数 a（ 3M ,a 35032aa1, 59, 25 ） 5M ,a 553205a5. 可以判定真假的语句叫做命题,规律连接词有“或”,“且” 和“非” .如pq为真,当且仅当 p、 q均为真如pq为真,当且仅当 p、q至少有一个为真如p为真,当且仅当
3、p为假6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题；）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假；7. 对映射的概念明白吗？映射f ：A B,是否留意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯独性,哪几种对应能构成映射？（一对一,多对一,答应B 中有元素无原象；）8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域）9. 求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数 yx 4lg xx2 的定义域是3（答： 0, 22, 33, 4 ）10. 如何求复合函数的定义域？如：函数f x的定义域是a, b,ba0,就函数Fxf xf x的定义
4、域是；（答： a, a ）11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？如： fx1exx,求f x.令tx1,就 t0 xt 21 f tf x2et1ex 2 1t 21x 21 x012. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤把握了吗？（反解 x；互换 x、y；注明定义域）如：求函数f x1xx0的反函数（答： f1 xx2x0x1x1）xx013. 反函数的性质有哪些？互为反函数的图象关于直线y x 对称；储存了原先函数的单调性、奇函数性；设 yfx 的定义域为A ,值域为C, aA , bC,就fa = bf 1 baf 1 f af 1ba
5、, f f1 bf ab14. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判定复合函数的单调性？（ yf u ,u x,就yfx（外层） （内层）当内、外层函数单调性相同时fx为增函数,否就 f x为减函数；）如：求ylog 12x 22x的单调区间（设 ux 22 x,由u0就 0x2且 log 1 u22, ux11,如图：uO12x当x0,1时, u当x1, 2时, u,又 log 1 u2,又 log 1 u2, y, y）15. 如何利用导数判定函数的单调性？在区间a, b内,如总有f x 0就f x 为增函数；（在个别点上导数等于零,不影响函数的单调性）,反之也对,如f
6、 x 0呢？如：已知 a0,函数f xx 3ax在1,上是单调增函数,就a的最大值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3（令 f x3x2a3 xaxa033就xa 或xa 33由已知f x 在1, 上为增函数,就a1,即 a3 3 a 的最大值为 3）16. 函数 fx具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（ fx定义域关于原点对称）如f xf x 总成立f x 为奇函数函数图象关于原点对称如f xf x 总成立f x 为偶函数函数图象关于y轴对称留意如下结论：（ 1）在公共定义域内： 两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数；（ 2）如 fx是奇
7、函数且定义域中有原点,就f00 ；如：如f xa 2 xxa2 为奇函数,就实数 a21（ f x为奇函数,xR,又 0R,f 00a 20a2即00, a1）21又如：f x 为定义在 1, 1上的奇函数,当 x0, 1 时, f x 2 x,4 x1求f x在 1,1 上的解析式；（令 x1, 0 ,就x0, 1, f x2xx41又f x 为奇函数,xxf x 22又f 00, f x4 x2 x4 x12 x114 xx1, 0x0）4 x1x0, 117. 你熟识周期函数的定义吗？（如存在实数T（ T0）,在定义域内总有f xTf x ,就 f x 为周期函数, T 是一个周期；）如
8、：如 f xaf x ,就（答：f x 是周期函数, T2a为f x 的一个周期）又如：如f x 图象有两条对称轴xa, xb即f axf ax , f bxf bx 就f x 是周期函数, 2 ab 为一个周期如：18. 你把握常用的图象变换了吗？f x 与f x 的图象关于y轴 对称f x 与f x 的图象关于x轴 对称f x 与 f x的图象关于 原点 对称f x 与f1 x的图象关于 直线yx 对称f x 与f 2ax 的图象关于 直线 xa 对称f x 与 f 2ax的图象关于 点a, 0 对称将yf x图象左移aa右移aa0个单位0个单位yf xayf xa上移bb下移bb0个单位
9、0个单位yf xab yf xab留意如下“翻折”变换：f xf xf xf |x|如： f xlog 2 x1作出 ylog 2x1 及ylog 2 x1 的图象yy=log 2xO1x19. 你娴熟把握常用函数的图象和性质了吗？k0y=bO a,bOxx=a（1） ）一次函数： ykxb k0（2） ）反比例函数： ykkx的双曲线；0 推广为ybkkxa0 是中心O a,b（3） ）二次函数yax2bxc a02a xb 2a4acb 24a图象为抛物线b4acb2b顶点坐标为,对称轴 x2a4a2a开口方向： a0,向上,函数y min4 acb 24aa0,向下,ymax24acb4
10、a应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程ax2bxc0,0时,两根x1、x 2为二次函数yax2bxc的图象与 x轴的两个交点,也是二次不等式ax2bxc0 0解集的端点值；求闭区间 m, n上的最值；求区间定（动）,对称轴动（定）的最值问题；一元二次方程根的分布问题；如：二次方程ax 2bxc00 的两根都大于 kbk2 af k 0ya0Okx 1x 2x一根大于k,一根小于kf k0（4） ）指数函数：yaxa0,a1（5） ）对数函数 ylog a x a0, a1由图象记性质！（留意底数的限定！）yy=ax a10a11O1x（ 6）“对勾函数”yxkk
11、x0a10利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区分是什么？ykOkx20. 你在基本运算上常显现错误吗？指数运算：ma01 a0,a p m1 a0apa nn am a0 ,a n1a0n am对数运算：log aM Nlog a Mlog a NM0 , N0alogMlogMlog N, log n M1 log MNnaaaa对数恒等式： a log a xx对数换底公式： loglog c bnna blog c alog a m blog a bm21. 如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）如：（1） xR, f x 满意f xyf xf y ,证明f x为奇函数；（
12、先令 xy0f 00再令 yx,）（ 2） xR, f x 满意 f xyf x f y,证明f x 是偶函数；（先令xytf tt f t t f tf tf t f t f tf t ）（ 3）证明单调性：f x 2 fx 2x 1x 222. 把握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法）,反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性法,导数法等；）如求以下函数的最值：（ 1） y（ 2） y2x3134 x2x4x3（ 3） x3, y2 x 2x3（ 4） yx49x 2设x3cos ,0,（ 5） y4x9 x,x0,123. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为,半
13、径为R 的弧长公式和扇形面积公式吗？（ lR,S扇1 lR21R 2 ）2R1 弧度OR24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义sinMP ,cosOM , tanATyBSTPOMAx如：如0,就8sin, cos, tan的大小次序是又如：求函数 y12 cos2x 的定义域和值域；（ 12 cosx）21 2 sin x0 sin x22,如图： 2k5x2kkZ , 0y12 4425. 你能快速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？sin x1, cosxy1ytgxxO22对称点为k, 02, kZysin x的增区间为 2k, 2k
14、kZ 22减区间为 2k,2k23kZ 2图象的对称点为k , 0 ,对称轴为 xkkZ2ycosx的增区间为 2k ,2kkZ减区间为 2k, 2k2kZ图象的对称点为 k,0 ,对称轴为2x kkZytanx的增区间为k, kkZ 2226.正弦型函数y = Asinx +的图象和性质要熟记；或yA cosx（1） ）振幅|A |,周期 T2|如f x 0A ,就xx 0 为对称轴；如f x00 ,就x0 , 0为对称点,反之也对；（2） ）五点作图：令x依次为0, , , 3, 2,求出x与y,依点22（ x, y）作图象；（ 3）依据图象求解析式；（求A 、 、 值）如图列出 x1 0
15、 x 2 2解条件组求、 值正切型函数yA tanx, T|27. 在三角函数中求一个角时要留意两个方面先求出某一个三角函数值,再判定角的范畴；如： cos x62 ,x2, 3,求x值；2（x3, 7x5, x5,x13）2663641228. 在解含有正、余弦函数的问题时,你留意（到）运用函数的有界性了吗？如：函数 ysin xsin|x|的值域是（ x0时, y2 sin x2, 2 ,x0时, y0, y2, 2 ）29. 娴熟把握三角函数图象变换了吗？（平移变换、伸缩变换） 平移公式：（1）点P（x,y）a h,kxxhP （x ,y ）,就平移至yyk（ 2）曲线 f x, y0沿
16、向量 a h, k 平移后的方程为f xh,yk0如：函数 y2 sin 2 x1 的图象经过怎样的变换才能得到4ysin x 的图象？（ y2 sin 2x41横坐标伸长到原先的 2倍y 2 sin2 1 x124左平移4 个单位上平移 1个单位2 sin x14y2 sin x1y2sin x倍纵坐标缩短到原先的12ysin x）30. 娴熟把握同角三角函数关系和诱导公式了吗？如： 1sin 2cos2sec2tan2tan cotcos sectan 4sin 2cos0称为 1的代换；“ k2”化为的三角函数“奇变,偶不变,符号看象限”,“奇”、“偶”指 k 取奇、偶数；如： cos
17、94tan76sin 21又如：函数 ysintancoscot,就y的值为A.正值或负值B.负值C.非负值D. 正值sinsin（ ycoscos cossinsin2cos2cos sin10,0）131. 娴熟把握两角和、差、倍、降幂公式 及其逆向应用了吗？懂得公式之间的联系：sinsincoscossin令sin 22 sincoscoscoscossinsin令cos 2cos2sin 2tantantan2 cos2112 sin 21tan tantan 22 tancos21cos2 21tan2sin21 cos2 2asinbcosa2b 2sin, tanb asinco
18、s2 sin4sin3 cos2 sin3应用以上公式对三角函数式化简；（化简要求：项数最少、函数种类最少,分母中不含三角函数,能求值,尽可能求值；）详细方法：（ 1）角的变换：如,（ 2）名的变换：化弦或化切222（ 3）次数的变换：升、降幂公式（ 4）形的变换：统一函数形式,留意运用代数运算；如：已知sincos1, tan2 ,求 tan2的值；1（由已知得：cos2sincos 2 sin2cos 2sin31,tan12又 tan2321 tan2tantantan321 ）1tan tan12 183232. 正、余弦定理的各种表达形式你仍记得吗？如何实现边、角转化,而解斜三角形？
19、余弦定理： a2b 2c22bc cosAcosAb 2c2a 22bc（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角；）正弦定理：a sin Ab sin Bc2Rsin Ca 2 R sin Ab 2 R sin Bc 2 R sin CS1 ab sin C 2 ABC, ABC sin ABsin C,sin ABcosC22如 ABC中, 2 sin2 AB2cos2C1（1） ）求角 C；（ 2）如 a 2b 2c,求22cos2Acos2B的值；（ 1）由已知式得： 1cos AB2 cos2 C11又ABC, 2 cos2 Ccos C10 cosC1 或 cosC 21（舍）又
20、0C,C3（2） ）由正弦定理及a2b21 c2 得：22 sin 2 A2 sin2 Bsin2 Csin23341cos2A1cos2B3 4 cos2Acos2B3 ） 433. 用反三角函数表示角时要留意角的范畴；反正弦：arcsin x, x 221, 1反余弦：arccosx0, ,x1,1反正切：arctan x, xR 2234. 不等式的性质有哪些？c0（ 1） ab,c0acbcacbc（ 2） ab, cdacbd（ 3） ab0, cd0acbd（ 4） ab011 ,ab ab011ab（ 5） ab0a nb n, n an b（ 6） |x|a a0axa, |x
21、|axa或xa如：如110,就以下结论不正确选项（）abA . a 2b 2B. abb 2C. |a| |b| |ab|答案： C35. 利用均值不等式：D. ab2 baa2b22ab a,bR； ab2 ab； abab22求最值时,你是否注意到“a, bR”且“等号成立”时的条件,积ab 或和ab其中之一为定值？（一正、二定、三相等） 留意如下结论：a2b 2ab2ababa,bR22ab当且仅当 ab时等号成立；a 2b 2c2abbcca a, bR当且仅当 abc时取等号；a b0, m0, n0 ,就b bmaam1anabnb如：如x0, 23x4 的最大值为x（设 y23x
22、422 12243x当且仅当 3x4 ,又x x0, x23 时,3y max243）又如： x2y1,就2 x4 y 的最小值为（ 2 x22 y2 2 x 2y221 ,最小值为22）36. 不等式证明的基本方法都把握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等） 并留意简洁放缩法的应用；如：证明 112211232n2（ 111111112232n 21223n1 n1112112311n1n212）n37. 解分式不等式f x gxa a0的一般步骤是什么？（移项通分, 分子分母因式分解, x 的系数变为 1,穿轴法解得结果；）38. 用“穿轴法”解高次不等式“奇穿,偶切”,从最大根的
23、右上方开头23如： x1 x1x2039. 解含有参数的不等式要留意对字母参数的争论如：对数或指数的底分a 1或0a1争论40. 对含有两个肯定值的不等式如何去解？（找零点,分段争论,去掉肯定值符号,最终取各段的并集；）例如：解不等式|x3|x11（解集为x|x1 ）241. 会用不等式 |a| |b| |ab| |a| |b|证明较简洁的不等问题如：设f xx 2x13,实数a满意|xa|1求证： f xf a2 |a| 1证明： |f xf a| x2x13a 2a13| xa xa1| |xa|1|xa|xa1| |xa1|x| |a| 1又|x| |a| |xa|1,|x| |a| 1
24、 f xf a2|a|22 |a| 1（按不等号方向放缩）42. 不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题,或“”问题）如： af x恒成立af x 的最小值af x 恒成立af x的最大值af x 能成立af x的最小值例如：对于一切实数x,如 x3x2a恒成立,就a的取值范畴是（设 ux3x2 ,它表示数轴上到两定点2 和3距离之和u min325, 5a,即 a5或者： x3x2x3x25, a5）43. 等差数列的定义与性质定义： an 1and d为常数, ana1n1 d等差中项：x, A , y成等差数列2Axy前n项和 Sna1an n 2na1n n1d2性
25、质：an是等差数列（1）如mnpq,就amanapaq ；（ 2）数列a 2n 1,a 2n,ka nb 仍为等差数列；Sn , S2nSn , S3 nS2n 仍为等差数列；（ 3）如三个数成等差数列,可设为ad, a, ad；（ 4）如 a, b 是等差数列S , T为前 n项和,就 amS2 m 1 ；nnnnbmT2 m 1（ 5） an为等差数列San2bn（ a, b为常数,是关于n的常数项为n0 的二次函数）Sn 的最值可求二次函数 Snan2bn的最值；或者求出an 中的正、负分界项,即：an0当a10,d0,解不等式组可得Sn 达到最大值时的n值；an 10当a10,d0,由
26、anan 10可得Sn0达到最小值时的n值；如：等差数列an ,Sn18,anan 1an 23,S31,就n（由 anan 1an 233an 13, an 113又Sa1a 32 33a21, a 21311 na1 Snan na 2an 1 n318222n27）44. 等比数列的定义与性质定义：an 1q（ q为常数, q0）,n 1aa qn1an等比中项：x、G、y成等比数列G 2xy,或Gxyna1 q1前n项和： Sna1 1qnq1q（要留意 . ）1性质：an是等比数列（ 1）如mnpq,就am a nap aq（ 2） Sn , S2 nSn , S3nS2n 仍为等比
27、数列45. 由Sn 求an 时应留意什么？（ n1时, a1S1 , n2时, anSnSn 1 ）46. 你熟识求数列通项公式的常用方法吗？例如：（ 1）求差（商）法如： a满意 1 a1 a1 a2n51n122222 nn解： n1时,a1215, a114121n2时, 1 a1 a1a2n15222222 n 1n 112得： 1 a22 nn an2 n 114 n11ann2n2练习n数列 a满意SS5 a, a4,求a3nnn 111n（留意到aSS代入得：Sn 14n 1n 1nSn又S4 , S是等比数列, S4 n1nnn2时, a nSnSn 13 4 n 1n（ 2）
28、叠乘法例如：数列an中, a13, an 1ann,求a n1解： a2 a 1a 3 a 2anan 11 2 23n1 , an1na1n又a133, ann（ 3）等差型递推公式由anan 1f n, a1a 0,求 an ,用迭加法n2时, a2a1f 2a3a2f 3两边相加,得：anan 1f nana1f 2f 3f n ana 0f 2f 3f n练习数列 a, a1, a3 n 1an2 ,求 a（ ann1nn 1n1 3n1 ）2（ 4）等比型递推公式ancan 1d c、d为常数, c0,c1,d0可转化为等比数列,设anxc an 1xancan 1c1 x令c1xd,xdc 1aan1d 是首项为c1d, c为公比的等比数列c1n adc1d cn 1a1c1 aadcn 1dn1c1c1练习数列 an满意 a19, 3a n 1an4,求 an（ ann 1841）3（ 5）倒数法例如： a11, an 12 anan2,求an由已知得：1an 1an22an112a