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1、人教版高中数学学问点总结精品 高中数学学问点总结名师空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集；归纳结总3. 留意以下性质：|（ 1）集合 a, a, , , a 的全部子集的个数是2； 12nn|大2）如 ABABA , ABB ；（肚有（3）德摩根定律：,容CABCACB, CABCACBUUUUUU容4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）学习如 ：已知 x0 的解集为 M ,如 3M 且 5M ,求实数 a2困难的取值范畴；ax5xa事之a35（ 3M ,203a, 学业a55 5M , 205a5a19, 25） 3有成5 . 可以判定真假的语句叫做命题,规律连接词有“或
2、 ” , “且” 和更,pq 为真,当且仅当 p、q 均为真如上如 pq 为真,当且仅当 p、q 至少有一个为真一层p 为真,当且仅当 p 为假如楼6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题；）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假；“非”.7. 对映射的概念明白吗？映射f：AB,是否留意到 A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯独性,哪几种对应能构成映射？（一对一,多对一,答应B 中有元素无原象； ）8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域）9. 求函数的定义域有哪些常见类型？1x4x例：函的定义域是2lgx3（
3、 答： 0,22,33, 4）10. 如何求复合函数的定义域？如 ：函数fx 的定义域是a, b, ba0 ,就函数Fxfxfx 的定义域是 ；（答： a,a）11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？ 如： fx1exx,求 fx.tx1,就 t0xt1 fte2t122t1第 1 页,共 26 页2 fxex1x02x112. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤把握了吗？（反解 x；互换 x、y；注明定义域）名师1xx0如 ：求函数 fx的反函数2xx0归纳x1x1答： fx）（xx01结总13. 反函数的性质有哪些？|互为反函数的图象关于直
4、线y x 对称；|大储存了原先函数的单调性、奇函数性；有肚设 yfx 的定义域为 A ,值域为 C, aA , bC,就 fa=bfba1,容ffafba, ffbfab111容14. 如何用定义证明函数的单调性？学习（取值、作差、判正负）难困如何判定复合函数的单调性？之（yfu , ux ,就 yfx事,（外层）（内层）学业2有成, 更上当（ 设 ux2x,由 u0 就 0x2且 logu,ux1,如图：11一层22楼x20, 1 时, u,又 logu, y当 1x21 , 2时, u,又 logu, y当 1, ）15. 如何利用导数判定函数的单调性？ 区间 a, b在零,不影响函数的单
5、调性）,反之也对,如 f x 0 呢？3：已知 a0,函数 fxxax 在 1,上是单调增函数,就a 的最大如值是（）A. 0B. 12C. 2D. 3令 f x 3xa3xx0（aa 或 x 33 a3a3a3x就已知 fx 在 1,上为增1,即 a3由a 的最大值为 3）第 2 页,共 26 页16. 函数 fx 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（fx 定义域关于原点对称）fxfx 总成立 fx 为奇函数函数图象关于原点对称如3名师纳归如 fxfx 总成立fx 为偶函数函数图象关于 y 轴对称结总留意如下结论：|（1）在公共定义域如 fx 为奇函数,就实数a21|大（ fx 为奇函数
6、, xR,又 0R, f00肚有0a2a200,） a1 21,容x2又 如： fx 为定义在 1, 1上的奇函数,当x0, 1fx41容求 fx 在1, 1 上的解析式；学习x2（ 令 x1, 0,就,x01, x41困难xx22又 fx 为奇函数, fxxx4114事之xx1, 02x01x4f00, fx）又x2x0, 1x41,17. 你熟识周期函数的定义吗？学业如存在实数 T（ T0）,在定义域（成有函数, T 是一个周期；）,：如 fxafx ,就如更上答： fx 是周期函数, T2a 为 fx 的一个周期）（一层如：如 fx 图象有两条对称轴xa, xb又楼faxfax , fb
7、xfbx即fx 是为一个周期就4如：18. 你把握常用的图象变换了吗？f x 与 fx 的图象关于 y 轴对称f x 与fx 的图象关于 x 轴对称f x 与 fx 的图象关于原点对称f x 与 fx 的图象关于直线 yx 对称f x 与 f2ax 的图象关于直线 xa 对称f x 与 f2ax 的图象关于点 a, 0对称1yfxa左移aa0 个单位 yfx 图象将 yfxa右移aa0个单位留意如下 “翻折 ”变换：yfxab 上移 bb0个单位yfxab 下移 bb0 个单位 fxfx fxf|x|第 3 页,共 26 页：fxlogx1如2log 的图象2 5名师归纳总结|大y=log2x
8、肚有,容19. 你娴熟把握常用函数的图象和性质了吗？容学习困难之事, 学业成有（ 1）一次函数： ykxbk0,（ 2）反 k0k0 是中心 Oa, b更上的双曲线； kxkxa一层24acbb（ 3）二次函数 yaxbxca0图象为抛物线2a4a22楼2b4acbb 点坐标,对称轴 x顶a4a2a2 24acb 口方向： a0,向上,函 y开 min4a24acb0,向下, ya max4a应用： “三个二次 ”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系 二次方程 22axbxc0,0 时,两根 x、x 为二次函数 yaxbxc 的图象与 x 轴 12 2 的两个交点,也是二次不等式解axbx
9、c00集的端点值；求闭区间 m, n上的最值；求区间定（动） ,对称轴动（定）的最值问题；6一元二次方程根的分布问题；0b2如 ：二次方程 axbxc0 的两根都大于kka2 fk0一 根大于 k,一根小于 kfk0 4）指数函数： yaa01, a（第 4 页,共 26 页5）对数函数 ylogxa01, a（ a由图象记性质！（留意底数的限定！ ）名师归纳总结|gaxa>1|大肚有容, 容学习困难之x事, 学业6） “对勾函数 ”y k0（成有利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区分是什么？, 更上kx一层7楼20. 你在基本运算上常显现错误吗？ 指 数运算： a1a0aa0
10、paaa0,am nmmn0p1a1 ma a0数运算： logMNlogMlogNM0, N0对 aaalogaM1logaMlogaN , logaMlogaM Nn logx对 数恒等式： aax对 数换底公式： logcloglogbmaaa21. 如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）如 ：（ 1 ） xR, fx 满 足 fxyfxfy , 证 明 fx 为 奇 函 数 ；（ 先 令xy0f00 再令 yx, , ）（ 2） xR, fx 满意 fxyfxfy ,证明 fx 是偶函数； logblogacnnm先令 xytfttft ftftftft ftft, ）t（3）证明
11、单调性： fxfxxx,（221222. 把握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法） ,反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性法,第 5 页,共 26 页导数法等；）如求以下函数的最值：（ 1） y2x34x2y（） x4 x322x3 ）x3, y（ x3 8名师归纳结总（ 4y9x 设 x3cos,0,|（ 5） y4x , x01,|大23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为,半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗？有肚（lR, S 扇29x11l RR2） 22容, 容学习困难之事, 学业24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义有成s inMP
12、, cosOM , tanAT,y更上T BS一层楼OM x0,就 sin, cos, tan的大小次序是8又如：求函数y12cosx的定义域和值域；2（ 2cx ） 2sinx02sinx,如图： 292x2kZ025. 你能快速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？ 544i1co1s y ytgx第 6 页,共 26 页xO 22称点为, 0, kZ对2名师sinx 的增区间为 2k, 2kkZy纳归区间为 2k, 2kkZ减22322总结| 大肚有容, 容学习10困难之事,图 象的对称点为 k, 0,对称轴为 xkZ学业ycosx 的增区间为 2k,
13、 2kkZ成有减 区间为 2k, 22kkZ,图 象的对称点 k, 0,对称轴为 xkkZ2更上2一层楼2ytanx 的增区间为 kkkZ 26. 正弦型函数 y=Asinx+的图象和性质要熟记； 或 yAcosx2（ 1）振幅 |A|,周期 T2|如 fxA ,就 xx 为对称轴；00fx0,就 x,0 为对称点,反之也对；如00（ 2）五点作图：令x, 2,求出 x 与 y,依点（ x, y）作图象；（ 3）依据图象求解析式； （求 A 、 值）322x10图列出如x22条件组求、值解正切型函数 yAtanx|1127. 在三角函数中求一个角时要留意两个方面 先求出某一个三角函数值,再判定
14、角的范第 7 页,共 26 页围；如 ： cos, x,求 x 值；）28. 在解含有正、余弦函数的问题时,你留意（到）运用函数的有界性了吗？如：函数ysinxsin|x|的值域是名师6223237551326636412归纳x0 时, y2sinx2,2, x0 时, y0, y2, 2）（结总29. 娴熟把握三角函数图象变换了吗？|（平移变换、伸缩变换）|大平移公式：肚有x xhah, k（ 1）点 P（ x,y）P（ x ,y ）,就y yk 平容移至,容（ 2）曲线 fx , y0 沿向量 ah, k 平移后的方程为fxh, yk0如 ：函数学习y2si1 的图象经过怎样的变换才能得到
15、ysinx 的难困图象？4事之1横坐标伸长到原来的2倍,（ y2sin1y2si1424学业上平移1个单位有成42sin1y2sinx1y2sinx4个单位,1更上2ysinx）纵坐标缩短到原倍一层30. 娴熟把握同角三角函数关系和诱导公式了吗？楼如 ： 1sincossectantancotcossec2222 4cos0, 称为 1 的代换； 2”化为的三角函数 “奇变,偶不变,符号看象限”, 2“奇”、 “偶”指 k 取奇、偶数；tasin21974612又如A.正值或负值sintan,就 y 的值为coscotB.负值C. 非负值D.正值sinsin2sincos1cosy20,0）
16、cossin1cossin31. 娴熟把握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？ 懂得公式之间的联系：s insincoscossinsin22sincos令令22cossinsincos2cossincoscos第 8 页,共 26 页tantantanos2112sin22c1tantan1 cos22 1cos2sin22cos2tan22tan1tan2 a sinbcosabsintan22ba名师s incos2sin归纳4结总3s in3cos2sin|应用以上公式对三角函数式化简；（化简要求：项数最少、函数种类最少,分母中不含三角|大函数,能求值,尽可能求值； ）有肚详细方
17、法：容（ 1）角的变换：如,容（2）名的变换：化弦或化切学习（3）次数的变换：升、降幂公式难困（4）形的变换：统一函数形式,留意运用代数运算；222之sincos2事1cos23sincoscos1 由1,ta（ 22sin22sin, 学业有成2tan又3更,131, tan,求 tan2的值；上一层楼21tantan312tan2tan）81tantan 3232. 正、余弦定理的各种表达形式你仍记得吗？如何实现边、角转化,而解斜三角形？222bca余 弦定理： abc2bccoscos2bc222（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角；）a2RsinAabc正 弦定2Rb2Rsin
18、BsinAsinBsinCc2RsinCS bsinC ABaC, ABCsinABinCs如ABC 中, 2sin（ 1）求角 C；2c2）如 a,求 cos2Acos2B 的值；（ 22212ABC222ABcos2C1 2（ （ 1）由已知式得：1cosAB2cosC112ABC, 2cosCcosC10又cos 或 cosC1（舍） 又 0C, C 21232212232222sinA2sinBsinCsi2 343 cos2A1cos2B143cos2Acos2B） 4第 9 页,共 26 页33. 用反三角函数表示角时要留意角的范畴；2）由正弦定理及 abc 得：（14名反 正弦：
19、 arcsinx , x1, 1师归纳22余弦： arccosx0, , x1, 1反总结反 正切： arctanx, xR| 大34. 不等式的性质有哪些？（1） ab,22c0acbc c0acbc肚有（ 2） ab, cdacbd容,容学习（ 3） ab0, cd0acbd（ 4） ab, ab（ 5） ab0abbnn11ab11ab（ 6） |x|aa0axa, |x|axa 或 xa困难0 就以下结论不正确选项（）之事A.ab222 B.abb11ab,学业.|abab|C答案： C有成35. 利用均值不等式：ab2 ba,更abab2aba, bRaab 求最值时,你是否注222
20、2上一层意到 “a,bR”且“等号成立 ”时的条件,积 ab或和 ab其中之一为定值？（一正、二定、三相等）楼留意如下结论：22abab2abbabR,22ab且仅当 ab 时等号成立；当bcabbccaa, bRa 222 15当 且仅当 abc 时取等号；a bb4b0, m0,nmana1 aamb如：如 x020,就nb的最大值为 x（设 y2322234x当 且,又 x0 时, y3） max又 如： x2y1,就 24 的最小值为（ 2222, 2）36. 不等式证明的基本方法都把握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等） 并留意简洁放缩法的应用；如 ：证2222（1x2yx
21、2y14x33xy11231n111111,1,222122323nn1n 1111111,223n1n122） n第 10 页,共 26 页3 7.解分aa0 的一般步骤是什么？（移项通分,分子分母因式分解,x 的系数变为 1,穿轴法解得结果； ）38.名师归纳总结|用“穿轴法 ”解高次不等式 “奇穿,偶切 ”,从最大根的右上方开头fxgx|大有肚：x1x1x20如,容39. 解含有参数的不等式要留意对字母参数的争论容16 23学习困难之如 ：对数或指数的底分a1 或 0a1 争论事,40. 对含有两个肯定值的不等式如何去解？学业（找零点,分段争论,去掉肯定值符号,最终取各段的并集；）成有例
22、 如：解不等 |x1,（ 解集为 x|x）更上4 1.会用不等式证 |a|b|ab|a|b|明较简洁的不等问题一层如 ：设 fxxx13,实数 a 满意 |xa|1楼fxf2|a1证明： | fxfax|x13aa13|22212|xaxa1|xa|1|xa|xa1|xa1|x|a|1又 |x|a|xa|1, |xa|1 fx2|a|22|a|1（按不等号方向放缩）42. 不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题,或” ”问题）如 ： afx 恒成立afx 的最小值afx 恒成立的afx 最大值afx 能成立的afx 最小值如a 恒成立,就 a 的取值范畴是例,它表示数轴上到
23、两定点2 和 3 距离之和325, 5a,即 a5uminx355, a）定义：为 aadd 常数 ,aa43.n等差数列的定义与性质1dn1nn117等 差中项： x, A , y 成等差数列2Axyaannn11n前 n 项 Snadn212第 11 页,共 26 页性 质： a 是等差数列n1）如 mnpq,就 aaaa；（ mnpq（ 2）数列 a, a, kab 仍为等差数列；2n12nnS , SS, SS, 仍为等差数列； n2nn3n2n 3）如三个数成等差数列,可设为ad, a, ad；（名师m2m1（ 4）如 a, b 是等差数列 S, T 为前 n；nnnnaSbTm2m
24、1纳归（ 5） a 为等差数列Sanbn（ a, b 为常数,是关于 n 的常数项为nn2结总0 的二次函数）|2S 的最值可求二次函数Sanbn 的最值；或者求出a 中的正、负分界nnn|大项,即：有肚当 a0, d0,解不等式组得 S 达到最大值时的 n 值；可 1na0na0n1,容a0n当 a0,d0,由得 S 达到最小值时的 n 值；可 1na0n1容如 ：等差数列 a, S18, aaa3, S1,就 nnnnn1n23学习（ 由 aaa33a3, a1nn1n2n1n1困难3aa113 33a1, a 2223事之11naanaan31S1n2n18 n222,n27）学业44.
25、 等比数列的定义与性质有成18, 更上一层n1q（ q 为常数, q0）, aaqn1aann1楼等 比中项： x、G、y 成等比数列Gxyxy2naq11n前 n 项和： S（要留意 .）aqn11q11q性 质： a 是等比数列n1m）如npqaaa,就 a（ mnpq（ 2） S,SS, SS, 仍为等比数列nn2nnn32 4 5.由 S 求 a 时应留意什么？ nn（ n1 时, aS,n2 时, aSS）11nnn146. 你熟识求数列通项公式的常用方法吗？ 例如：（ 1）求差（商）法11122211a215, a14解： n 1121112aa2n152n 22n1n122211
26、 2a2nn2如 aaa2n51n2n2na2 nn114n1ann 12n2练习列 a 满意 SSa, a4,求 a数nnn1n11n（留意到 an1Sn1Sn 代入得： 53Sn14 Sn nS4, S 是等比数列, S4又1nnn2 时, aSS,34nnn1n 119第 12 页,共 26 页（2）叠乘法n1例 如：数列 a 中, a,求 an1nana1nn解： aa2n1a2a3n1n1 aana1a2n1231n又 a3, a1n名师（3）等差型递推公式纳归由, aafnaa,求 a,用迭加法 nn110n3n结总n2 时, a2a21fa3a2f3两边相加,得：,|anann1
27、f|大aaf2f3,fnn1有肚 aaf2f3,fnn0容练习,容数 列 a, aa1,3an2,求 an1nn1nn1学习a1）（ n3难困（4）等比型递推公式事cc0,1,d0nn1axcaxnn112n之acadc、 d 为常数,可 转化为等比数列,设学业acac1xnn1成有令c1xd, xd c1,d更上c1是首, c 为公比的等比数列nd1c一层a nddn1ac1c1c1楼dnd1cc1c1aan1 20练习9,3aa4 求 an1n1nn8n3数 列 a 满意 a4（ a（5）倒数法 n11）例如： a1, a1n12an ,求 ana2n n由已知 2111aa2a2an1n
28、n1an 1 11 an2 为等差数 1,公1 n 1 n 1an1an 1an1a11211222 n 147. 你熟识求数列前 n 项和的常用方法吗？例如：（ 1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和,使之显现成对互为相反数的项；：a 是公差为 d 的等差数列如n1 aak1kk1n解 ： n11111d0adaaadkkkak1kk1an1111aadaak1kkk11kk11111111,daaaaaa1223nn1111daa1n1第 13 页,共 26 页练习11112123123,n21名师（ a, , S） nn纳归（2）错位相减法：1n1结总如 a 为等差数列, b 为等比数
29、列,求数列ab（差比数列）前n 项nnnn|和,可由 SqS 求 S,其中 q 为 b 的公比；nnnn|大如 ： Sx123x4x,nx1nSx2x3x4x,n1xnx2n234n1n12： 1xS1xx,xnxn2n1n肚有x容,容1xnxx1 时, Snn学习n21x1x困难nn1x1 时, S123,n223n1之（3）倒序相加法：把数列的各项次序倒写,再与原先次序的数列相加；事,Saa,aan12n1n 相加Saa,aannn121学业2 Saaaa,aa,n1n2n11n成有练习 2x111f ,就 f1fff2231x更,221x1x 由 fxf1（22221xx1x1x11x1
30、x2f1f2f3f421314111113） 22上原式一层1楼48. 你知道储蓄、贷款问题吗？零存整取储蓄（单利）本利和运算模型：如每期存入本金 p 元,每期利率为 r, n 期后,本利和为：p1rp12r,p1nrr, 等差问题Sn 22 nn12如按复利, 如贷款问题 按揭贷款的每期仍款运算模型（按揭贷款 分期等额归仍本息的借款种类）如贷款（向银行借款） p 元,采纳分期等额仍款方式,从借款日算起,一期（如一年）后为第一次仍款日,如此下去,第n 次仍清；假如每期利率为r（按复利）,那么每期应仍 x 元, 满意rx1r,x1rxnn1n21rr1 nr111rrp 1rx1 nn1xpr1
31、1rn1p 贷款数, r 利率, n 仍款期数49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合；（ 1） 分类计数原理： Nmm,m12n（mi 为各类方法中的方法数）分 步计数原理： Nmm,m12n（ m 为各步骤中的方法数） i第 14 页,共 26 页（2） 排列：从 n 个不同元素中,任取m（ mn）个元素,依据肯定的次序排成一m 列,叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列,全部排列的个数记为A.n nn1n2,nmAnmn.mnnm. 定： 0.1规（3） 组合：从 n 个不同元素中任取m（ mn）个元素并组成一组,叫做从n 个不m 同元素中取出m
32、 个元素的一个组合,全部组合个数记为C.n名师mnn1,nm1An.nC mm.m.nm.Ammn纳归定： C1规 n0结总4）组合数性质：（|CC, CCCCC,C2nnnnn1nnn|大50. 解排列与组合问题的规律是：肚有23 mnmmm1m01nn容, 容学习相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问难困题间接法；相同元素分组可采纳隔板法,数量不大时可以逐一排出结果；之如：学号为 1, 2, 3, 4 的四名同学的考试成果事,x89, 90, 91, 92, 93, i1, 2,3, 4且满意 xxxx, i1234学业就这四位同学考试成果的全部可能情
33、形是（）有成A. 24B. 15,解析：可分成两类：C. 12D. 10更上1）中间两个分数不相等,（一层楼4有 C5 （种） 5（2）中间两个分数相等xxxx1234相同两数分别取 90, 91, 92,对应的排列可以数出来,分别有3, 4, 3 种,有 10 种；共有 510 15（种）情形51. 二项式定理 abCaCabCab,Cab,Cbnnnnn二 项绽开式的通项公式：TCabr0,1,nr1n C 为二项式系数（区分于该项的系数）n性质：（ 1）对称性： CCr0, 1, 2, , , nnn（ 2）系数和： CC,C2nnnCCC,CCC,2nnnnnn（ 3 ） 最 值 ：
34、n为 偶 数 时 , n 1为 奇 数 , 中 间 一 项 的 二 项 式 系 数 最 大 且 为 第135024n101nnrnrn0n1n12n22rnrrnnrnrrrn 21 项,二； n 为奇数时, n1为偶数,中间两项的二项式n2 n1n122 系1 项,其二项式系数为CC nn22第 15 页,共 26 页11n1n1n：在二项式 x1 的绽开式中,系数最小的项系数为（用数字如表示）24名师 n11（纳归 共有 12 项,中间两项系数的肯定值6 或第 7 项结总由 Cx1,取 r5 即第 6 项系数为负值为最小：11|CC4261111|大又 如： 12xaaxax,axxR,就012200422004200465122r11rr肚有aaaaaa,aa（用数字作答）01020302004容（ 令 x0,得： a10,容令 x1,得： aa,a1022004学习 原式2003aaa,a2003112004 ） 0012004困难52. 你对随机大事之间的关系熟识吗？之（ 1）必定大事,P1,不行能大事,P0事,2）包含关系： AB ,“A发生必导致 B 发生 ”称 B 包含 A ；（学业有成AB