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1、九年级数学上期二次函数单元专题复习资料二次函数的图象及其性质编写：绥阳中学何开红知识点：1、二次函数的定义：形如（abc、 、为常数，且a0）的函数 . 注意四个方面的特点（关键词：函数、整式、整理、二次）.2、二次函数的图象：二次函数的图象是一条；是对称图形 .3. 二次函数的性质：. 特殊形式：. 抛物线2yaxa0 的对称轴为 .顶点坐标为（） . 开口方向： 当 a 0，开口向上；当 a 0， 开口向下 . 增减性： 当a0时，在对称轴的左侧，y随 x 的增大而；当a0时，在对称轴的左侧，y随 x 的增大而 .最值：当a0，x0时，y取最值为；当a0，x0时，y取最值为 . 抛物线2y
2、axka0 的对称轴为 .顶点坐标为 （）. 开口方向：当 a 0，开口向上；当a 0，开口向下 . 增减性：当a0时，在对称轴的左侧，y随 x 的增大而；当a0时，在对称轴的左侧，y随 x 的增大而 .最值：当a0，x0时，y取最值为；当a0，x0时，y取最值为 . 抛物线2ya xha0的对称轴为 .顶点坐标为 （） . 开口方向：当 a 0，开口向上；当 a 0，开口向下 . 增减性：当a0时，在对称轴的左侧，y随 x 的增大而；当a0时，在对称轴的左侧，y随 x的增大而 .最值：当a0，xh时，y取最值为；当a0，xh时，y取最值为 . 配方形式：2ya xhka0抛物线2ya xhk
3、 a0对称轴为 .顶点坐标为 （）. 开口方向：当 a0，开口向上：当a 0，开口向下 . 增减性：当a0时，在对称轴的左侧，y随 x 的增大而；当a0时，在对称轴的左侧，y随 x的增大而 .最值：当a0，xh时，y取最值为；当a0，xh时，y取最值为 .若把抛物线2yaxa0进行平移 ：. 向平移 k 个单位可以得到2yaxka0 ；. 向平移 h h0 个单位可以得到2ya xha0；. 向平移 h h0 个单位，再移 h h0 个单位可以得到2ya xhk a0. 一般形式：2yaxbxca0抛物线2yaxbxca0 对称轴为 .顶点坐标为 （）. 开口方向：当a 0，开口向上；当 a
4、0，开口向下 . 增减性：当a0时，在对称轴的左侧，y随 x 的增大而；当a0时，在对称轴的左侧，y随 x的增大而 .最值： 当a0，bx2a时，y取最值为；当a0，bx2a时，y取最值为 .例题解析：例 1、选择题：. 对于抛物线21yx132，下列结论： . 抛物线开口向下； . 对称轴是直线x1；.顶点坐标为, 1 3 ；. 当x1时，y随 x 的增大而减小 . 其中正确的个数为（）. 在同一平面直角坐标系中，直线yaxb 和抛物线2yaxbxc的图象可能是（）例 2、填空题：. 二次函数2yx2x4的图象的开口方向是，对称轴是，顶点坐标是 . 若函数22mmymm x4x1是二次函数，
5、则m = ，其图象的顶点坐标为 . 如果抛物线2yx6xc 在 x 轴上，则 c 的值为 . 如图二次函数22yx2mxm4m5 的大致图象，则m = . . 已知抛物线2yx4x 有两点,11221P3 yPy2、，则12yy、的大小关系为1y2y .（填“ ”、“ ”或 “=”）. 二次函数2yaxbxc的部分点的坐标满足右表，则该函数顶点的坐标为， m . 已知二次函数2yaxbxc的图象的开口方向向上，顶点在第三象限，则点,2bA b4aca在第象限.xy 1 2 3123 1123OAxyOBxyODxyOCxyOxyO精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -
6、- - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 例 3、已知抛物线2yx2x3.求抛物线的对称轴和顶点坐标；. 画出抛物线的大致图形，并用虚线标出对称轴；. 观察图象，你能得出哪些结论请至少写出三条. 例 4、已知抛物线2yx4x5 .求此抛物线顶点的坐标以及抛物线与坐标轴交点的的坐标；. 画出抛物线的大致图形；. 求顺次连接抛物线顶点和抛物线与坐标轴交点构成的几何图形的面积.追踪练习：1. 选择题：. 如图，抛物线21ya x23与221yx312交于点,A 1 3 ，过点A作 x轴的平行线，分别交两条抛物
7、线于BC、两点，则以下结论：.a1； . 无论 x取何值，2y 的值总是正数；.2AB3AC. 当x0时，21yy4 ；其中正确的结论是（）A. B. C. D. 若,123351AyByCy444为二次函数2yx4x5 的图象上的三点，则123yyy、的大小关系是（）A.123yyy B.213yyy C.312yyy D.132yyy. 若抛物线2yx2xc 与y轴的交点为,0 3 ，则下列说法不正确的的是（）A.抛物线的开口向上 B.抛物线的对称轴是x1C.当x1时，y取最大值为4 D.抛物线与 x 轴的交点为,1 33 0，2. 填空题：. 抛物线2y4x8x3 的开口方，对称轴为，顶
8、点坐标为 . 已知下列函数：.2yx ； . 2yx ； . 2yx12. 其中，图象通过平移可以得到2yx2x3的图象有 .（填序号） . 在二次函数2yx3x1的图象中，若y随 x 的增大而增大，则x 的取值范围是 . 二次函数2yaxbxc的部分点的坐标满足右表，则该函数顶点的坐标为 . 已知二次函数2yaxbxc 的图象的开口向下，顶点在第一象限，则点,cA ba在第象限 . 已知抛物线2y2xm3 x1的对称轴在y轴的右侧，最大值为2，则 m = . 若抛物线22ym2 x4mxm3 的顶点在y轴上，则此抛物线的开口方向，y有（填最大值或最小值），写出此抛物线的解析式 . 如图两条抛
9、物线,221211yx1 yx122分别经过,2 02 0且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 . . 已知函数2a5ya1 x3xa1的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a 的取值范围是 . 二次函数2ya xmn的图象如图所示，则一次函数ymxn的图象经过象限.3、已知二次函数2yxbx3 的图象经过点,3 0 . 求b的值；. 求出该二次函数顶点的坐标和对称轴；. 在所给的坐标系中画出2yxbx3的图象；. 若抛物线2yxbx3 与坐标均有交点，请求出顺次连接抛物线顶点和抛物线与坐标轴交点构成的几何图形的面积 .4、如图所示，已知二次函数2yx2x1的图象的顶点为A, 二次
10、函数2yaxbx 的图象与 x 轴交于原点O以及另一点C, 它的顶点B在函数2yx2x1 上的图象的对称轴上. . 求点A以及点C的坐标；. 当四边形AOBC为菱形时，求2yaxbx 的关系式 . . 求四边形AOBC为菱形时的面积.九年级数学上期二次函数单元专题复习资料求二次函数的解析式问题知识点：1、待定系数法的一般步骤:设出解析式的形式 代入 解答并求出待定系数的值 返回写出解析式.2、常见的求二次函数解析式的方法和途径：. 一般式：. 设出二次函数的一般式为：2yaxbxc0 a0；. 代入三个条件（一般三个点的坐标居多）联立成方程组；xyCBAOxy 1 2 3123 1 2 312
11、3Oxy 1 2123 1 212O2yx2x1xyOxyy2y1 1 2 3123 1 2 3 412O精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - . 进行解答并求出求出待定系数的值；. 最后返回写解出解析式. 顶点式：. 设出二次函数的顶点式为：2ya xmn a0；. 代入顶点坐标和另一个条件的值；注意若我们设顶点坐标为,a b ，则,ma nb；. 进行解答并求出求出待定系数的值；. 最后返回写解出解析式. 交点式：. 设出二次函数的
12、一般式为：12ya xxxxa0 ；这里的12xx、是抛物线与x 轴交点的横坐标；. 代入12xx、和另外一个条件的值；. 进行解答并求出求出待定系数的值；. 最后返回写解出解析式. 特殊式：. 设出二次函数的特殊式：若顶点为原点可设为2yaxa0 的形式；若顶点在y轴上可设为2yaxka0 的形式；若顶点在 x 轴上可设为2ya xha0的形式；. 代入条件构成方程或方程组；. 进行解答并求出求出待定系数的值；. 最后返回写解出解析式. 平移式平移式主要是抓住抛物线左右平移和上下平移时的坐标变化规律，用“平移式”求解析式的一般步骤：. 首先把已知的二次函数的解析写成配方式，形如2ya xmn
13、 a0；. 由教材可知在同一坐标系内抛物线平移规律是平移后的解析式其a 值不变化，其上下左右平移的规律是：若左右平移 k k0 单位 ：向右平移则在m 数据上减去 k k0 ，向左平移则在m 数据上加上 k k0 ；若上下平移 h h0 单位 ：向上平移则在n数据上加上h h0 ，向下平移则在n 数据上减去h h0 .一句话：左右平移决定配方式括号里m 数据的变化，口诀是“左加右减” ；上下平移 决定配方式括号外后面n 数据的变化，口诀是“上加下减”. 对称式. 抛物线关于x 轴对称：解析式对应的各项系数及常数项均互为相反数. . 抛物线关于y轴对称：解析式对应的二次项系数及常数项相同，而一次
14、项系数互为相反数. . 抛物线关于原点对称：解析式对应的二次项系数及常数项互为相反数，而一次项系数相同.例题解析：例 1、二次函数2yaxbxc的图象是过点,5A1B 04C 4 02、的一条抛物线. 求这个二次函数的关系式；. 求这条抛物线的顶点D 的坐标和对称轴方程，并画出这条抛物线；. x 为何值时，函数有最大值或最小值最大值或最小值等于多少. x 在什么范围内，y 随着 x 的增大而增大. 求四边形OBDC的面积例 2、有一抛物线的拱形桥洞，桥洞顶离水面最大高度为4m，跨度为10m，把它图形放在直角坐标系中（见示意图）. 求此抛物线所对应的函数关系式；. 在对称轴右边1m处桥洞离水面高
15、是多少米例 3、已知抛物线经过,A 3 0B 2 0C 1 4、，求抛物线的顶点的坐标变式： 若把上面例题中坐标“,A 3 0B 2 0、”改为“,A 1 4B 4 4、”其余条件不变，又该如何求出抛物线的顶点坐标呢例 4、已知 RtABCV中，ACB90AB25AC20o，；若以边AB所在的直线为x 轴， RtABCV斜边AB的高OC所在的直线作为y轴建立平面直角坐标系（见图示）. 请至少用三种不同求解析式方法求出过ABC、 、三点的抛物线的解析式；. 求出问中抛物线的顶点的坐标和对称轴. 追踪练习：1、分别写出抛物线的顶点为原点，抛物线过原点，抛物线的对称轴为y轴，物线的与x 轴有且只有一
16、个交点的解析式各至少两个. （答案不唯一）2、分别按条件写出平移后的解析式：. 抛物线2y2x4x1向左平移 3 个单位后的解析式是；. 抛物线2yx6x2向下平移 4 个单位后的解析式是；. 抛物线21yx2x22先右平移 2 个单位后再下平移3 个单位的的解析式是 .3、根据给出条件求，二次函数的解析式：. 已知二次函数图象顶点在y轴上，且过,A 16B 2 3、， 两点；. 已知二次函数图象顶点在x轴上，且过,A 2 0B 0 8、， 两点；. 已知二次函数图象对称轴为直线x2，且经过点, 1 4 和,5 0 ；. 已知二次函数图象经过,A11B 0 2C 1 3、三点；. 已知二次函数
17、图象经过,A 3 0B 2 0C 1 4、三点；. 已知二次函数图象经过,A 1 6B 2 6C 1 4、三点；xy4m1m10 mMOxyCBAOxy242468101214O4题图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - . 与已知抛物线2yx4x1关于直线x3对称 . 4、在一幢建筑物里10 米高的窗台处有一水管斜着向外喷水，如图所示，喷出的水在垂直于墙壁的竖直平面内形成一条抛物线，其顶点距离墙米远，并且落在离墙4 米处的地面上，求抛
18、物线的顶点比喷射点高多少米5、已知抛物线的顶点M坐标为,- 2 3 ，且过点 A1 5， ，求此抛物线的解析式6、已知二次函数当x1时，函数y有最大值 0，且经过点A14，. 求该二次函数的解析式；. 如何平移该二次函数的图象，使平移后的抛物线的顶点在,B2 3 上. 写出平移后的点A的对应点A的坐标是多少7、如图，抛物线2yaxbxc a0 的顶点为A, 与坐标轴的交点分别为BC、. 根据图中标示：. 求此抛物线的解析式；. 请顺次连结ABC、 、，试求ABCV的面积 . 8、如图抛物线的顶点为,A33 ，此抛物线交x 轴交于OB、两点 . 求此抛物线的解析式；. 求AOB的面积；. 若抛物
19、线上另有一点P满足SPOB=SAOB, 请求出P的坐标 . 9、如左图，在平面直角坐标系中，抛物线21yx2经过平移得到抛物线21yx2x2. 抛物线是如何平移的. 求出其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积（阴影部分见示意图）10、如右图，一抛物线在平面直角坐标系中的位置如图所示，直角坐标系中横轴与纵轴的单位长度都是1. 求助此抛物线的解析式；. 若将此抛物线先向右平移4 个单位，再向下移2 个单位，请化出平移后的图象，并写出平移后抛物线的解析式；. 求出最初的抛物线和平移后的抛物线两个顶点间的距离；. 求出最初的抛物线和平移后的抛物线两个顶点所在直线的解析式 .11、如图，已知抛物线2
20、yaxbxc经过,A 0 3B 3 0C 4 3、. 求抛物线的解析式；.求抛物线的顶点的坐标和对称轴；. 把抛物线向上平移，使得顶点落在x 轴上，直接写出两条两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S( 图中阴影部分）.12、如图，在矩形OABC中，,AO10 AB8 , 沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC, 使点B落在OA边上的点E处，抛物线2yaxbxc 经过ODC、 、三点 . 求AD的长；. 抛物线的解析式.二次联姻（二次函数与一元二次方程以及与一元二次不等式的关系）知识点：1.二次函数与一元二次方程的关系：已知一元二次方程2axbxc0a0，设抛物线2yaxbxca0.2b4ac
21、0（）一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则抛物线与x 轴有两个不同的交点 . .2b4ac0（）一元二次方程方程有两个相等的实数根，则抛物线与x 轴有“唯一” 的交点，这个交点就是抛物线的顶点.2b4ac0（）一元二次方程方程无实数根，则抛物线与x轴无交点 .2b4ac0（）一元二次方程方程有两个实数根，则抛物线与x 轴有交点 .2. 二次函数与一元二次不等式的关系：已知一元二次不等式2axbxc0a0或2axbxc0a0，设抛物线2yaxbxca0 ，一元二次不等式的解集是图象对应部分的横坐标的集合. 当a0时：. 若抛物线与x轴有两个不同的交点，则一元二次不等式的解集：大于取两边，小于
22、取中间；. 若抛物线与x轴无交点，则一元二次不等式的解集：大于取全体，小于是“空集”. 当a0时：. 若抛物线与x轴有两个不同的交点，则一元二次不等式的解集：大于取中间，小于取两边；. 若抛物线与x轴无交点，则一元二次不等式的解集：大于是“空集”，小于取全体.xy 1123 1 212CBAOxyy= 12? x22?xy = 12? x2Oxy-3-3OxyEDACBOxy 1 2 3 4 512345 1 2 3 4 5 6 7123Oxy433CBAOxy433CBAOxy 11BACO精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -
23、 - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 例题解析：例 1、已知二次函数2yaxbxc a0 的图象如图，且OAOB, 有以下结论：.abc0； . =-24acb14a； . abc0;.2b4ac0 ； .4a2bc0； .b2a1； .acb10.其中正确的有（填序号） .例 2、已知二次函数2yx2xm 的部分图象如图所示. 求关于 x的一元二次方程2x2xm0 的解；. 根据图象写出不等式2x2xm0 的解集 . 例 3、已知二次函数22y2xmxm. 求证：对于任意实数m ，该二次函数的图象与x 轴总有公共交点；. 若该二次函数
24、的图象与x轴有两个公共点AB、，且点A坐标为, 1 0 ，求点B的坐标 .例 4、二次函数2yaxbxc a0 的图象如图所示，根据图象解答：. 写出方程2axbxc0的两根；. 写出不等式2axbxc0 的解集；. 写出y随 x的增大而减小的自变量的取值范围；. 若方程2axbxck 有两个不相等的实数根，求k的取值范围 . 追踪练习：1、选择题：. 已知二次函数2yxbx2 的图象与 x 轴的一个交点的坐标为, 1 0 ，则它与 x 轴的另一个交点的坐标为（）A., 1 0 B.,2 0 C.,2 0 D., 1 0. 已知函数2yk3 x2x1的图象与 x 轴有交点，则k的取值范围是（）
25、A.k4 B.k4 C.k4且k3D.k4且k3. 已知二次函数2yaxbxc的 x 与y的部分对应值如右表，则下列判断正确的是（）A.当x0时， B.抛物线与y轴交于负半轴C. y0 抛物线开口向上 D.方程2axbxc0的正根在 3 和 4 之间.2、填空题：. 已知抛物线2yax2axc 与 x 轴一个交点的坐标为, 1 0 ，则一元二次方程2ax2axc0的根为 . 如图是二次函数2yaxbxc a0 的图象，则2axbxc0时x= ；2axbxc0时 x 的取值范围是；2axbxc0时 x的取值范围是 . 若2y2xm2 x1在 x 轴上截得的线段长为6 ，则 m = . 如图是二次
26、函数2yaxbxc a0 的图象，有以下结论：.ab0； .abc0；.b2c0；.a2b4c0；.3ab2. 其中正确的有（填序号） .3、已知二次函数2yx2xm1. 若该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值；. 若该二次函数的图象与一次函数yx2m 的图象只有一个交点，求m 的值 .4、已知二次函数2yxkxk5. 求证：无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；. 若此二次函数图象的对称轴为x1，求它的解析式；. 若中的二次函数的图象与x轴交于AB、，与y轴交于点 C；D是第四象限函数图象上的点，且ODBC于H, 求点D的坐标5、已知二次函数222yxm8 x2 m
27、6 . 求证：不论 m 取何实数， 此函数的图象都与x轴有两个交点， 且两个交点都在x 轴的正半轴 . 设函数的图象与x 轴交于BC、两点，与y轴交于A点，若ABC的面积为 48，求 m 的值 .利用二次函数的解决实际问题举例利用二次函数解决实际问题，在本册各类题中从几何面积、商品利润、抛物线形等切入的居多；主要通过建立二次函数关系式，为解决实际中的最大面积、最高利润、抛物线形等问题牵线搭桥；实际上就是数学上一种建模思想的又一具体运用. 下面我就本专题作简单的分类举例：题目一：利用二次函数解决面积问题例 1、如图，在矩形ABCD中，,AB6cm BC12cm；点P从点A点开始沿AB边向点B一每
28、秒1cm的速度运动；点Q 从点B点开始沿BC边向点C一每秒2cm的速度运动；若PQ、分别同时从AB、同时出发，设S表示PDQV的面积 , x 表示运动时间 . 求出S与 x 的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；. 求出S的最大值或最小值，并说明理由. 例 2、如图，抛物线经过,10A 1 0B 5 0C03、三点，设,E x y 是抛物线上一动点，且在 x轴的下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形. 求抛物线的解析式；. 当,E x y 运动时，试求平行四边形OEBF的面积A与 x之间的函数关系式，并求出最大面积；. 是否存在着样的点E，使平行四边形OEBF为正方形若存在，求
29、E点和F的坐标；若不存在，请说明理由.1x3xy 1 21Oxy 1123 1 2123Oxy1-6Oxy31O例2图xyHDBACODABCPQxyFBACOE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 题目二：利用二次函数解决利润等代数问题例 1、某商场一商场某产品每件成本10 元，试销阶段发现每件产品的销售价x（元）与产品销售量y（件）之间的关系如下表，且日销售量y（件）与是偶家x （元）是一次函数. 求出日销售量y（件）与是偶家x （
30、元）的函数函数关系式. 要使每日的利润最大，每件产品的销售价应定为多少元此时最大利润是多少例 2、千年古镇赵化的某宾馆有50 个房间供游住宿，当每个房间的房价为每天180 元，房间会全部住满；当每个房间每天的房价每增加10 元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20 元各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于340 元，设每个房间的房价每天增加x元（ x 为 10 的正整数倍） . 设一天的房间数为y，直接写出y与 x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；. 设宾馆一天的利润为W元，求W与 x 的函数关系式；. 一天订住多少房间时宾馆的利润最大最大利润是多少题目三：
31、利用二次函数解决抛物线形问题例、如图是抛物线形的小拱桥，当水面在AB时，拱桥顶离水面2 米（见图示），水面AB宽为 4 米；若水面下降 1 米，水面CD宽度增加多少米追踪练习：1、某店经营文具用品，已知成批购进时的单价是20 元. 调查发现：销售单价是30 元时，月销售量是 230 件，而销售单价每上涨1 元，月销售量就减少10 件，但每件文具售价不能高于40元. 设每件文具的销售单价上涨x 元时（ x 为正整数），月销售利润为y元. 求y与 x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；. 每件文具的售价定为多少元时，月销售利润恰好是2520 元. 每件文具的售价定为多少元时刻使月销售利润最大
32、最大月利润是多少2、某农户计划现有的一面墙再修四面墙，建成如所示的长方体水池，培育不同品种鱼苗. 他已备足可以修高.1 5m 、长 18 m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直于的三面墙的长度都为x m，即 ADEFBCx m ( 不考虑墙的厚度). 若想水池的总容积为336 m ， x 的值应为多少. 求水池的容积V与 x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围 . 若想使水池的容积V最大， x 应为多少最大容积是多少3、如图是一个抛物线的桥拱示意图，桥的跨度AB为 100 米，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱间的水平距离为10 米 （不考虑立柱的粗细），其中距A点 10 米处的立柱
33、FE的高度为米 . 求正中间的立柱OC的高度；. 是否存在一根立柱，其高度恰好是OC的高度的一半请说明理由.4、身高为.1 8 m的运动员小王进行投篮训练，已知篮圈中心与地面的垂直距离为.3 05m，小王站在与篮圈中心的水平距离4m的地方进行跳投，球的运动路线一条抛物线；当球运行的水平距离为.2 5 m时，球达到距离地面.3 5 m 的最高点 . ，运行一段时间后篮球最后恰好落入篮圈. 请建立适当的坐标系，并以此求出球的运动路线的解析式；. 若篮球在小王的头顶上方.0 25 m 出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少米. 若是身高.2 26 m 的姚明练习定点投篮，球的运动路线也和本题的一样，球在姚明头顶上方.0 34 m 处出手，则姚明应站在距离篮圈中心水平距离多远的地方投篮，才能使篮球准确落入篮圈ABFCOECFDBAE.2 5m4 m. 3 5m.3 05 m精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -