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1、第一单元图形的变换图形变换的基本方式是 平移 、对称 和旋转 ；1、轴对称 :（ 1）学过的轴对称平面图形：长（正）方形、圆形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形 任意梯形和平行四边形不是轴对称图形；（圆有很多条对称轴； ）（ 2）轴对称图形的特点和性质：沿对称轴对折,对应点到对称轴的距离都相等；对应点的连线与对称轴垂直；对称轴两边的图形大小、外形完全相同；（ 3）轴对称图形的画法：找关键点在对称轴的另一侧找出关键点的对应点连接对应点2、旋转 ：旋转的画法： 旋转要明确绕点,角度和方向（顺时针、逆时针）；二、因数和倍数1、整除 ：被除数、除数和商都是自然数,并且没有余数；整数与自然数的关系：整数
2、包括自然数；2、因数、倍数 ：（ 1）数 a 能被 b 整除,那么 a 就是 b 的倍数, b 就是 a 的因数；例： 12 6=212 是 6 和 2 的倍数, 6 和 2 是 12 的因数；因数和倍数是相互依存的,不能单独存在；（ 2）一个数的因数的个数是有限的 ,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身； 一个数的因数的求法：成对地按次序找；（ 3）一个数的 倍数的个数是无限的 , 最小的倍数是它本身； 一个数的倍数的求法：依次乘以自然数；（ 4）2、3、 5 的倍数特点1） 个位上是 0, 2,4, 6, 8 的数都是 2 的倍数 ；2） 一个数 各位上的数的和是 3 的倍数,这个数就是
3、3 的倍数；3） 个位上是 0 或 5 的数,是 5 的倍数；4） 能同时被 2、3、5 整除（也就是 2、3、 5 的倍数）的最大的两位数是90,最小的三位数是 120；同时满意 2、3、5 的倍数,实际是求23 5=30 的倍数；5） 假如一个数同时是2 和 5 的倍数,那它的个位上的数字肯定是0；4：自然数按能不能被2 整除来分： 奇数、偶数 ；奇数：不能被2 整除的数； 也就是个位上是 1、3、5、 7、9 的数；偶数： 能被 2 整除的数叫偶数 （ 0 也是偶数） ,也就是个位上是 0、2、4、6、8 的数；最小的奇数是 1,最小的偶数是 0.关系： 奇数 +、-偶数=奇数奇数 +、
4、-奇数=偶数偶数 +、- 偶数=偶数；5、自然数按因数的个数来分：质数、合数、 1、 0 四类 .质数（或素数） ： 只有 1 和它本身两个因数；合数：除了 1 和它本身仍有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）；1： 只有 1 个因数； “ 1”既不是质数,也不是合数；0最小的质数是 2,最小的合数是 4,连续的两个质数是2、3；每个合数都可以由几个质数相乘得到,质数相乘肯定得合数；20 以内的质数：有 8 个（2、3、5、7、 11、13、17、19）100 以内的质数有 25 个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61
5、、67、71、73、79、83、89、97100 以内找质数、合数的技巧：看是否是 2、3、5、7、11、13的倍数,是的就是合数,不是的就是质数；关系： 奇数奇数 =奇数质数质数 =合数6、最大、最小一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的；最小的奇数是： 1；最小的偶数是： 0；最小的质数是： 2；最小的自然数是： 0；最小的合数是： 4；7、分解质因数： 把一个合数分解成多个质数相乘的形式；用短除法分解质因数 （ 一个合数写成几个质数相乘的形式）；比如： 30 分解质因数是： （ 30=2 3 5）
6、8、互质数：公因数只有1 的两个数,叫做互质数；两个质数的互质数： 5 和 7两个合数的互质数： 8 和 9一质一合的互质数： 7 和 8两数互质的特别情形： 1 和任何自然数互质；相邻两个自然数互质；两个质数肯定互质； 2 和全部奇数互质；（ 5）相邻两个奇数互质；9、公因数、最大公因数几个数公有的因数叫这些数的公因数；其中最大的那个就叫它们的最大公因数；用短除法 求两个数或三个数的最大公因数（除到 互质 为止）10、公倍数、最小公倍数几个数公有的倍数叫这些数的公倍数 ；其中最小的那个就叫它们的最小公倍数 ；用短除法求两个数或三个数的最小公倍数（除到 互质 为止）11、求最大公因数和最小公倍
7、数方法两数关系最大公因数最小公倍数互质1乘积倍数较小的数较大的数一般短除法,乘半边短除法,乘半圈 一般关系的两个数仍可以用以下方法用 12 和 16 来举例1、 求法一：（列举求同法）最大公因数的求法：12 的因数有： 1、12、2、6、 3、416 的因数有： 1、16、2、8、 4最大公因数是 4最小公倍数的求法：12 的倍数有： 12、24、36、48、16 的倍数有： 16、32、48、 最小公倍数是 482、求法二：（分解质因数法）12=2 2316=2 22 2最大公因数是： 22=4（相同乘）最小公倍数是： 22 3 2 2= 48（相同乘不同乘）三 长方体和正方体一、长方体1、
8、定义：由 6 个长方形（特别情形有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体 ；两个面相交的边叫做 棱；三条棱相交的点叫做顶点 ；相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高 ；2、长方体特点：（ 1）有 6 个面, 8 个顶点, 12 条棱, 相对的面的面积相等,相对的棱长相等；（ 2）一个长方体最多有6 个面是长方形,最少有4 个面是长方形,最多有2 个面是正方形；二、正方体1、定义：由 6 个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫立方体）；2、正方体特点：（ 1）有 6 个面, 8 个顶点, 12 条棱,每个面的面积都相等,全部棱长相等；（ 3）正方体可以说是长、宽
9、、高都相等的长方体,它是一种特别的长方体 ；不同点相同点面棱6 个面都是长方形；长 方都 有6个（有可能有两个相体面,对的面是正方形） ；相对的棱的长度都相等正 方12 条棱,6 个面都是正方形；12 条棱都相等；体8 个顶点；3、长方体、正方体有关棱长运算公式：长方体的棱长总和=（长 +宽+高） 4长 4+宽 4+高 4L=（a b h） 4长=棱长总和 4宽 高 a=L 4 b h宽=棱长总和 4长 高 b=L 4 a h高=棱长总和 4长 宽 h=L 4 a b正方体的棱长总和=棱长 12L=a12正方体的棱长 =棱长总和 12a=L124、长方体或正方体6 个面和总面积叫做它的 表面积
10、 ；长方体的表面积 =（长宽长高宽高）2S=2 （ abah bh）无底（或无盖）长方体表面积= 长宽（长高宽高）2 S=2（ ah bh） ab 或 S=2 （ ab ah bh） ab无底又无盖长方体表面积=（长高宽高）2S=2 （ ahbh）2正方体的表面积 =棱长棱长 6S= 6a. 生活实际：油箱、罐头盒等都是6 个面游泳池、鱼缸等都只有5 个面水管、烟囱等都只有4 个面留意 1：用刀分开物体时,每分一次增加两个面；（表面积相应增加） 两物体拼成一个物体时,削减两个面；（表面积相应削减）留意 2：长方体或正方体的长、 宽、高同时扩大几倍, 表面积会扩大倍数的平方倍；（如长、宽、高各扩
11、大2 倍,表面积就会扩大到原先的4 倍）；5、物体所占空间的大小叫做物体的体积 ；长方体的体积 =长宽高V=abh 长=体积宽高a=V b h宽=体积长高b=V a h高=体积长宽h= V a b正方体的体积 =棱长棱长棱长V=a a a = a3 读作“ a 的立方”表示3 个 a 相乘,（即 a aa）长方体或正方体底面的面积叫做底面积 ；长方体（或正方体）的体积=底面积高用字母表示： V=S h（横截面积相当于底面积,长相当于高）；留意：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等,但体积不肯定相等；6、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积,通常叫做他们的 容积 ；（ 1）、固体一般就用体积单位
12、,计量液体的体积, 如水、 油等常用的容积单位升和毫升,也可以写成 L 和 ml；1 升=1 立方分米1 毫升=1 立方厘米1升=1000 毫升33（ 1 L = 1 dm1 ml = 1 cm）（ 2）长方体或正方体容器容积的运算方法,跟体积的运算方法相同；但要淡定器里面量长、宽、高； （所以, 对于同一个物体,体积大于容积；）留意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍,体积就会扩大倍数的立方倍；（如长、宽、高各扩大2 倍,体积就会扩大到原先的8 倍）；* 外形不规章的物体可以用排水法求体积,外形规章的物体可以用公式直接求体积；排水法的公式： V 物体 =V 现在 V 原先也可以V物体 =
13、S h 现在 - h原先 V物体 =S h 上升进率7、【体积单位换算】大单位小单位小单位进率大单位进率： 1 立方米 1000 立方分米 1000000 立方厘米 （立方相邻单位进率1000）1 立方分米 1000 立方厘米 1 升 1000 毫升1 立方厘米 1 毫升1 平方米 =100 平方分米 =10000 平方厘米1 平方千米 =100 公顷 =1000000 平方米留意：长方体与正方体关系把长方体或正方体截成如干个小长方体（或正方体）后,表面积增加了,体积不变；重量单位进率,时间单位进率,长度单位进率进率【单位换算】大单位小单位小单位进率 大单位长度单位 ： 1 千米 =1000
14、米1 分米 =10 厘米1 厘米=10 毫米1 分米=100 毫米1 米=10 分米=100 厘米=1000 毫米 （相邻单位进率 10）面积单位： 1 平方千米 =100 公顷1 平方米 =100 平方分米1 平方分米 =100 平方厘米1 公顷 =10000 平方米（平方相邻单位进率100） 质量单位： 1 吨=1000 千克1 千克 =1000 克人 民 币： 1 元=10 角1 角=10 分1 元=100 分四分数的意义和性质1、分数的意义 ：一个物体、一些物体等都可以看作一个整体,把这个整体平均分成如干份,这样的一份或几份都可以用分数来表示；2、单位“ 1”： 一个整体可以用自然数1
15、 来表示,通常把它叫做单位“1”；（也就是把什么平均分什么就是单位“1”；）3、分数单位： 把单位“ 1”平均分成如干份, 表示其中一份的数叫做分数单位；如3 错44、分数与除法误！未指定书签； 的分数单位是 1；4AA B=A4（ B 0,除数不能为 0,分母也不能够为0）例如： 4 5=BB55、真分数和假分数、带分数(1) 、真分数：分子比分母小的分数叫真分数；真分数1；(2) 、假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数；假分数 1(3) 、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数；带分数 1.(4) 、真分数 1假分数真分数 1带分数6、假分数与整数、带分数的互化（ 1）假分数
16、化为整数或带分数,用分子分母,商作为整数,余数作为分子；15（ 2）整数化为假分数,用整数乘以分母得分子（ 3）带分数化为假分数, 用整数乘以分母加分子,得数就是假分数的分子, 分母不变；（ 4） 1 等于任何分子和分母相同的分数；7、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0 除外）,分数的大小不变；8、最简分数：分数的分子和分母只有公因数1,像这样的分数叫做最简分数；一个最简分数,假如 分母中除了 2 和 5 以外,不含其他的质因数,就能够化成有限小数 ；反之就不行以；9、约分 ：把一个分数化成和它相等,但分子和分母都比较小的分数,叫做约分；10、通分 ：把异分母分数分别化
17、成和原先相等的同分母分数 ,叫做通分；11、分数和小数的互化（ 1）小数化为分数：数小数位数；一位小数,分母是10；两位小数,分母是100（ 2）分数化为小数：方法一：先把分数化为分母是10、100、1000,然后再化成小数；方法二：用分子分母3如： 4 =3 4=0.75（ 3）带分数化为小数：先把整数后的分数化为小数,再加上整数3如： 210=2+0.3=2.312、比较分数的大小：分母相同,分子大,分数就大；分子相同,分母小,分数才大；分数比较大小的 一般方法 ：同分子比较；通分后比较；化成小数比较；13、分数化简包括两步 ： 一是约分；二是把假分数化成整数或带分数；=0.5=0.253
18、 =0.7541 =0.252 =0.453 =0.654 = 0.851 =0.12583 =0.375=0.62587 =0.8751182025五分数的加法和减法（ 1）同分母分数加、减法（分母不变,分子相加减）1、分数的加法和减法（ 2） 异分母分数加、减法（通分后再加减）（ 3） 分数加减混合运算：同整数；（ 4） 结果要是最简分数2、带分数加减法:带分数相加减,整数部分和分数部分分别相加减,再把所得的结果合并起来；3、 11 - 122115111-623117111-1234119111-20452 3 63 4 124 5 20六统计与数学广角众数 : 一组数据中显现次数最多的
19、数叫众数；众数能够反映一组数据的集中情形；在一组数据中,众数可能不止一个,也可能没统计有众数；复式折线统计图；综合应用：打电话的最优方案1、众数 ： 一组数据中显现次数最多的一个数或几个数,就是这组数据的众数 ；众数能够反映一组数据的集中情形；在一组数据中,众数可能不止一个,也可能没有众数；2、中位数： （ 1）按大小排列；（ 2）假如数据的个数是单数,那么最中间的那个数就是中位数；（3）假如数据的个数是双数, 那么最中间的那 两个数的平均数 就是中位数；3、平均数 的求法：总数总份数=平均数4、一组数据的一般水平：（ 1）当一组数据中没有偏大偏小的数,也没有个别数据多次显现,用平均数 表示一
20、般水平；（ 2）当一组数据中有偏大或偏小的数时,用中位数 来表示一般水平；（ 3）当一组数据中有个别数据多次显现,就用众数来表示一般水平；4、平均数、中位数和众数的联系与区分: 平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数；简单受极端数据的影响,表示一组数据的 平均情形 ； 中位数：将一组数据按大小次序排列,处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数；它不受极端数据的影响,表示一组数据的 一般情形 ； 众数：在一组数据中显现次数最多的数叫做这组数据的众数； 它不受极端数据的影响,表示一组数据的 集中情形 ；5、统计图：我们学过条形统计图、复式折线统计图；条形统计图优点：条
21、形统计图能形象地反映出数量的多少；折线统计图优点： 折线统计图不仅能表示出数量的多少,仍能反映出数量的变化情形；注：画图时留意：一“点” （描点）、二“连”（连线）三“标”（标数据）；要用不同的线段分别连接两组数据中的数；6、 打电话：规律 人人不闲着,每人都在传； （技巧：已知人数依次 2 ）（ 1）逐个法：所需时间最多；（ 2）分组法：相对节省时间；（ 3）同时进行法：最节省时间；七 数学广角用天平找次品规律：1、把全部物品尽可能平均地分成3 份,（如余 1 就放入到最终一份中；如余2 就分别放入到前两份中）,保证找出次品而且称的次数肯定最少；2、数目与测试的次数的关系：2 3 个物体,保证能找出次品需要测的次数是1 次4 9 个物体,保证能找出次品需要测的次数是2 次10 27 个物体,保证能找出次品需要测的次数是28 81 个物体,保证能找出次品需要测的次数是3 次4 次82 243 个物体,保证能找出次品需要测的次数是5 次244 729 个物体,保证能找出次品需要测的次数是6 次3、找次品规律12345次数3333 3 33 3 3 33 33 3 3392781243 次品个数