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1、一元二次方程学问点的总结学问结构梳理（1）含有个未知数；（ 2）未知数的最高次数是1、概念（ 3）是方程；（ 4）一元二次方程的一般形式是；（1）法,适用于能化为xm 2n n0的二次方程（2）法,即把方程变形为 ab=0 的形式,、解法（a,b 为两个因式） ,就 a=0 或（3）法（4）法,其中求根公式是当时,方程有两个不相等的实数根；（ 5）当时,方程有两个相等的实数根；当时,方程有没有的实数根；可用于解某些求值题（1）一元二次方程的应用（2）（3）可用于解决实际问题的步骤（4）（ 5）（ 6）一元；一元二2次方程学问点归类建立一元二次方程模型学问点一一元二次方程的定义假如一个方程通过移
2、项可以使右边为0,而左边只含有一个未知数的二次多项式,那么这样的方程叫做一元二次方程；留意： 一元二次方程必需同时满意以下三点：方程是整式方程； 它只含有一个未知数；未知数的最高次数是2. 同时仍要留意在判定时,需将方程化成一般形式；例以下关于 x 的方程,哪些是一元二次方程？2x 253 ； x 26 x0 ；（3） xx5 （； 4） x 20 （；5）2xx32x21学问点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax 2bxc0 （ a,b,c 是已知数, a0 ）；其中 a, b,c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项；留意：（ 1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数
3、,常数项都包括它前面的符号；（2）要精确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必需把它先化为一般形式；（ 3）形如ax2bxc0 不肯定是一元二次方程,当且仅当a0 时是一元二次方程；例 1 将以下方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项；（ 1） 5x 27 x ； （2） x2x328 ； （3） 3x4x3x2 2例 2 已知关于 x 的方程 m1 xm2 2m1 x20 是一元二次方程时,就m学问点三一元二次方程的解使 方 程 左 、 右 两 边 相 等 的 未 知 数 的 值 叫 做 方 程 的 解 , 如 ： 当 x2 时 ,x 23 x20
4、 所以 x2 是 x 23 x20 方程的解；一元二次方程的解也叫一元二次方程的根；学问点四建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程；留意 ：（ 1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（ 2）设未知数要带单位； （ 3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系；例 如图（ 1）,有一个面积为150 的长方形鸡场,鸡场一边靠墙（墙长18m）,另三边用竹篱笆围成,如竹篱笆的长为 35m,求鸡场的长和宽各为多少？鸡场（只设未知数,列出方程,并将它化成一般形式；）因式分解法、直接开平方法学问点一因式分解法解一元二次方程假如两个因式的积等于0,那么这两个方程中
5、至少有一个等于0,即如 pq=0 时,就 p=0或 q=0；用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （ 1）将方程的右边化为 0；（ 2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积； （ 3）令每个因式分别为 0,得两个一元一次方程； （ 4）解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解；关键点：（ 1）要将方程右边化为 0；（2）娴熟把握多项式因式分解的方法,常用方法有：提公式法,公式法（平方差公式,完全平方公式）等；例用因式分解法解以下方程：（1）5 x 24 x ；（ 2） 2 x 23250 ； （3）x 26 x952 x；2学问点二直接开平方法解一元二次方程2如 xa a0,就 x 叫做
6、a 的平方根,表示为xa ,这种解一元二次方程2的方法叫做直接开平方法；2（ 1 ） x 2a a0的 解 是 xa ；（ 2 ） xmn n0的 解 是xnm；（ 3） mxnc m0, 且 c0 的解是 xcn ；m222例 用直接开平方法解以下一元二次方程（ 1） 9 x 2160 ； （2） x5160 ； （3） x53 x1学问点三敏捷运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程2形如 axbk0 k0的方程,既可用因式分解法分解,也可用直接开平方法解；例 运用因式分解法和直接开平方法解以下一元二次方程；2（1） 4 x53620 ；（ 2） 12 x30学问点四用提公因式法解一元二
7、次方程把方程左边的多项式 （方程右边为 0 时）的公因式提出, 将多项式写出因式的乘积形式,然后利用“如pq=0 时,就 p=0 或 q=0”来解一元二次方程的方法,称为提公因式法；如 ： 0 .01t 22 t0 , 将 原 方 程 变 形 为 t0. 01t20 , 由 此 可 得 出t0或0 .0 t20,即 t10 , t 2200留意 ：在解方程时,千万留意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子,否就可能丢失原方程的根；学问点五形如“ x 2ab xb0 a , b 为常数”的方程的解法；对于形如“ x 2ab xb0 a, b为常数”的方程（或通过整理符合其形 式 的 ）,
8、可 将 左 边 分 解 因 式 , 方 程 变 形 为 xaxb0 , 就xa0或xb0 ,即 x1a, x2b ；注 意： 应用这 种方法 解一 元 二次方 程 时,要 熟悉“ x 2a b xb0 a, b 为常数”型方程的特点；例 解以下方程：（ 1） x 25 x60 ；（ 2）配方法x 2x120学问点一配方法解一元二次方程时,在方程的左边加上一次项系数一半的平方,再减去这个数,使 得含未知数的项在一个完全平方式里,这种方法叫做配方,配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了,这样解一元二次方程的方法叫做配方法；留意：用配方法解一元二次方程x 2pxq0 ,当对方程的左边配方时,一定记
9、住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后,仍要再减去这个数；例 用配方法解以下方程：（ 1） x 26 x50 ；（ 2） x 27 x202学问点二用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程的步骤：（1） ） 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方,再减去这个数；（2） ） 把原方程变为 xm 2n 的形式；（3） ） 如n0,用直接开平方法求出x 的值,如 n 0,原方程无解；例 解以下方程： x 24 x30学问点三用配方法解二次项系数不是 1 的一元二次方程当一元二次方程的形式为ax 2bxc0 a0, a1 时,用配方法解一元二次方程的步骤
10、：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；2移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方,再减去这个2数,把原方程化为 xmn 的形式；（3）如n0 ,用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程；例 用配方法解以下方程：（ 1） 3 x 29 x20 ；（2）x 24 x30公式法学问点一一元二次方程的求根公式一元二次方程ax 2bxc0 a0 的求根公式是： xbb 22a4 ac用求根公式法解一元二次方程的步骤是： （1）把方程化为ax 2bxc0 a0 的形式,确定的值a, b.c（留意符号）；（2）求出 b 24 ac 的值；（3）如b 24 ac0 ,就a,b
11、.把及b 24ac的值代人求根公式 xb b 22 a4ac,求出x1, x2 ；2例 用公式法解以下方程（ 1）2 x 23 x10 ； （2）2 x x210； （3） xx250学问点二挑选适合的方法解一元二次方程直接开平方法 用于解左边的含有未知数的平方式,右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程因式分解 要求方程右边必需是 0,左边能分解因式； 公式法是由配方法推导而来的,要比配方法简洁；留意：一元二次方程解法的挑选,应遵循先特殊,再一般,即先考虑能否用直接 开平方法或因式分解法, 不能用这两种特殊方法时, 再选用公式法, 没有特殊要求,一般不采纳配方法,由于配方法解题比较麻
12、烦；2例 用适当的方法解以下一元二次方程：2（ 1） 2 x39 2 x23；（2） x8 x60 ；（ 3） x2 x102学问点三一元二次方程根的判别式一元二次方程ax 2bxc0 a0 根的判别式 =b4ac运用根的判别式,不解方程,就可以判定一元二次方程的根的情形：（1） =b 24ac 0方程有两个不相等的实数根；（2） =b 24ac =0方程有两个相等的实数根；（3） =b 24ac 0方程没有实数根；2利用根的判别式判定一元二次方程根的情形的步骤：把全部一元二次方程化为一般形式；确定a, b.c 的值；运算 b 24ac的值；依据 b4ac 的符号判定方程根的情形；22例 不解
13、方程,判定以下一元二次方程根的情形：（ 1） 2 x 23 x50 ；（2） 9 x30 x25 ；（3） x6 x100学问点四根的判别式的逆用在方程ax 2bxc0 a0 中,（1）方程有两个不相等的实数根b 24ac 0（ 2）方程有两个相等的实数根b 24ac =0（3）方程没有实数根b 24ac 0留意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范畴,但不能忽视二次项系数不为 0 这一条件；例m 为何值时,方程2 m1 x 24mx2 m30 的根满意以下情形：（ 1）有两个不相等的实数；（ 2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；学问点五一元二次方程的根与系数的关系如 x1,
14、x2是一元二次方程ax 2bxc0 a0 的两个根,就有bx1x2,abx1x2a依据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：22（1） x1x22x1x22x1x2（2） 11x1x2x1x2x1 x2（3） x1a x2ax1x2a x1x2a 2 ；（4）x1x2 =2x1x2=2x1x24 x1 x22例 已知方程2 x 25 x30 的两根为x1, x2 ,不解方程,求以下各式的值；2（1） x1x 2 ；（ 2）x1x2；2学问点六依据代数式的关系列一元二次方程利用一元二次方程解决有关代数式的问题时,要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程） ,然后将方程整理成一
15、般形式求解,最终作答；例 当x 取什么值时,代数式x 2x60 与代数式 3 x2 的值相等？一元二次方程的应用学问点一列一元二次方程解应用题的一般步骤（ 1） 审题,（2）设未知数,（3）列方程,（4）解方程,（ 5）检验,（6）作答；关键点：找出题中的等量关系；学问点二用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题2增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法： （ 1）如基数为 a,增长率 x为,就一次增长后的值为 a 1x ,两次增长后的值为a 1x；（2）如基数为 a,降低率 x 为,就一次降低后的值为a 1x ,两次降低后的值为2a 1x；例 某农场粮食产量在两年内由 3000 吨增
16、加到 3630 吨,设这两年的年平均增长率为 x ,列出关于 x 的方程为学问点三用一元二次方程解与市场经济有关的问题与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等；与利润相 关的常用关系式有：（ 1）每件利润 =销售价- 成本价；（2）利润率 =（销售价进货价）进货价 100%；（3）销售额 =售价销售量例 某商店假如将进货价为 8 元的商品每件 10 元售出,每天可售 200 件, 现在实行提高售价, 削减进货价的方法增加利润, 已知这种商品每涨价元, 其销量削减 10 件；（1） 要使每天获得 700 元,请你帮忙确定售价；（2） 当售价定为多少时,能使每天获得的利润最多？并求
17、出最大利润；其次章一元二次方程（补充）只含有一个未知数的整式方程,且都可以化为ax 2bxc0 （ a、b、c 为常数, a 0）的形式,这样的方程叫一元二次方程 ；把 ax 2bxc0 （a、b、c 为常数, a0）称为一元二次方程的一般形式, a为二次项系数； b 为一次项系数； c 为常数项；解一元二次方程的方法：配方法公式法xbb 22 a4ac（留意在找 abc 时须先把方程化为一般形式）分解因式法把方程的一边变成 0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解；（主要包括“提公因式”和“十字相乘” ）2根与系数的关系：当b -4ac0 时,方程有两个不等的实数根；22当 b -4ac=0
18、时,方程有两个相等的实数根； 当 b -4ac0 时,方程无实数根； 如 果 一 元 二 次 方 程ax 2bxc0 的 两 根 分 别 为 x1 、 x2 , 就 有 ：bx1x2acx1 x2；a一元二次方程的根与系数的关系的作用：（1） ）已知方程的一根,求另一根；2（2） ）不解方程,求二次方程的根x1、x2 的对称式的值,特殊留意以下公式：xx22 12x1x 22 x1 x2 11x1x2x1x2x1 x2x12x2 x12x2 4 x1 x2| x1x2 | x1x 24 x1x2| x1 | x2| 2 x1x 22 x1x22 | x1x2 |xx233 12 x1x 33x1x2x1x2 其他能用 x1x2 或 x1x2表达的2代数式；（3） ）已知方程的两根 x1、x2,可以构造一元二次方程： x 2xx xx x0121 2（4） 已知两数 x1、x2 的和与积,求此两数的问题,可以转化为求一元二次方2程 xx1x2 xx1x20 的根在利用方程来解应用题时,主要分为两个步骤：设未知数（在设未知数时, 大多数情形只要设问题为x；但也有时也须依据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；查找等量关系（一般地,题目中会含有一表述等量关系的句子, 只须找到此句话即可依据其列出方程） ；2处理问题的过程可以进一步概括为：问题 分析抽象方程 求解解答检验