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1、一元二次方程知识点的总结一元二次方程知识点的总结知识结构梳理知识结构梳理1、概念（1）含有个未知数。（2）未知数的最高次数是（3）是方程。（4）一元二次方程的一般形式是。（1）法，适用于能化为x m)2 nn 0的一元。二次方程（2）法，即把方程变形为 ab=0 的形式，一元2、解法（a，b 为两个因式）,则 a=0 或二（3）法次方（4）法，其中求根公式是程当时，方程有两个不相等的实数根。（5）当时，方程有两个相等的实数根。当时，方程有没有的实数根。可用于解某些求值题（1）一元二次方程的应用（2）（3）可用于解决实际问题的步骤（4）（5）（6）知识点归类知识点归类考点一考点一一元二次方程的定
2、义一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。注意：注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：方程是整式方程。它只含有一个未知数。未知数的最高次数是 2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。例例下列关于x的方程，哪些是一元二次方程？2222 3；2x 6x 0；（3）x x 5；（4）x 0；（5）2x(x 3)2x 1x 5考点二考点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式2一元二次方程的一般形式为ax bx c 0（a，b，c 是已知数，a 0）。其中 a，b，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常
3、数项。注意：注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。2（3）形如ax bx c 0不一定是一元二次方程，当且仅当a 0时是一元二次方程。例例 1 1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。（1）5x 27x；（2）x 2x 3 8；（3）3x 4x 3x 2222例 2 已知关于x的方程m1xm考点三考点三解一元二次方程的方法解一元二次方程的方法2m1x2 0是一元二次方程时，则m x2 3x 2 0使方程左、右两边相等的未知数的值叫
4、做方程的解，如：当x 2时，所以x 2是x 3x 2 0方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。法一法一直接开平方法解一元二次方程直接开平方法解一元二次方程若x aa 0，则x叫做 a 的平方根，表示为x a，这种解一元二次方程22的方法叫做直接开平方法。（1）x aa 0的 解 是x a；（2）x m nn 0的 解 是22x n m；（3）mx n cm 0,且c 0的解是x 2c n。m2例例用直接开平方法解下列一元二次方程（1）9x 16 0；（2）x 5 16 0；（3）x 53x 1222法二法二配方法配方法解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个
5、数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。注意注意：用配方法解一元二次方程x2 px q 0，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。例例用配方法解下列方程：22（1）x 6 x 5 0；（2）x7x 2 02法三法三因式分解法因式分解法如果两个因式的积等于 0，那么这两个方程中至少有一个等于 0，即若 pq=0 时，则 p=0或 q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为 0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）
6、令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。关键点：关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。例例用因式分解法解下列方程：（1）5x222 4x；（2）(2x 3)25 0；（3）x 6x 9 5 2x。2法四法四 公式法公式法b b24ac一元二次方程ax bx c 0a 0的求根公式是：x 2a2用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为ax2bx c 0a 0的形式，确定的值a,b.c（注意符号）；（2）求出b 4ac的值；（3）若b 4ac
7、0，则a,b.把及22b b24acb 4ac的值代人求根公式x，求出x1,x2。2a2例例用公式法解下列方程（1）2 x 3x 1 0；（2）2x x 22 1 0；（3）x2 x 25 0技巧技巧 选择适合的方法解一元二次方程选择适合的方法解一元二次方程直接开平方法直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程因式分解因式分解要求方程右边必须是 0，左边能分解因式；公式法公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没
8、有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。例例用适当的方法解下列一元二次方程：（1 1）2x 3 92x 3；（2 2）x 8x 6 0；（3 3）x 2(x 1)0222考点四考点四一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式2一元二次方程ax bx c 0a 0根的判别式=b 4ac2运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：（1）=b 4ac0方程有两个不相等的实数根；（2）=b 4ac=0方程有两个相等的实数根；（3）=b 4ac0方程没有实数根；利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：把所有一元二次方程化为一般形式；确定a,b.c的值；计算b 4a
9、c的值；根据b 4ac的符号判定方程根的情况。22222例例不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：（1）2 x 3x 5 0；（2）9 x考点五考点五根的判别式的逆用根的判别式的逆用在方程ax2bx c 0a 0中，（1）方程有两个不相等的实数根b 4ac02222 30 x 25；（3）x 6 x 10 0（2）方程有两个相等的实数根b 4ac=02（3）方程没有实数根b 4ac02注意注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0 这一条件。例例m为何值时，方程2m1x2 4mx 2m3 0的根满足下列情况：（1）有两个不相等的实数；（2）有两个相等的
10、实数根；（3）没有实数根；考点六考点六一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系2若x1,x2是一元二次方程ax bx c 0a 0的两个根，则有x1 x2 bb，x1x2aa根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：（1）x1 x2x1 x22x1x2（2）2222x x2111x1x2x1x2（3）(x1 a)(x2 a)x1 x2 ax1 x2 a；（4）x1 x2=2x1 x22=x1 x22 4x1x2例例已知方程2 x 5x 3 0的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值。（1）x1 x2；（2）x1 x2。222考点七考点七根据代数式的关系列一元二次方
11、程根据代数式的关系列一元二次方程利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。2例例当x取什么值时，代数式x x 6 0与代数式3x 2的值相等？强化练习强化练习一、选择题一、选择题1.1.一元二次方程 x2=2x 的根是（）A、x=2B、x=0C、x1=0，x2=2D、x1=0，x2=22.2.将代数式 x2+4x1 化成（x+p）2+q 的形式（）A、（x2）2+3 B、（x+2）24 C、（x+2）25 D、（x+2）2+43.3.方程 x24=0 的解是（）A、x=2B、x=2C、x=2D、x=44
12、.4.小华在解一元二次方程 x2x=0 时，只得出一个根 x=1，则被漏掉的一个根是（）A、x=4B、x=3 C、x=2D、x=05.5.若方程式（3xc）260=0 的两根均为正数，其中c 为整数，则c 的最小值为何？（）A、1B、8C、16D、6121的值为（）22a 1a a6.6.已知 a 是方程 x2+x1=0 的一个根，则A.152B.15 C.12D.17.7.已知三角形的两边长是方程x25x+6 的两个根，则该三角形的周长 L 的取值范围是（）A1L5B2L6 C5L9D6L108 8方程（x+1）（x2）=x+1 的解是（）A、2B、3C、1，2D、1，39.9.分三角形两边
13、长分别为 3 和 6，第三边是方程 x26x+8=0 的解，则这个三角形的周长是（）A、11B、13C、11 或 13D、不能确定10.10.一元二次方程（x3）（x5）=0 的两根分别为（）A、3，5 B、3，5 C、3，5 D、3，5二、填空题二、填空题1.1.（2011 江苏淮安，13，3 分）一元二次方程x24=0 的解是 .2.2.（2011 江苏南京，19，6 分）解方程x24x+1=03.3.（2011 山东济南，18，3 分）方程x22x=0 的解为4.4.（2011 泰安，21，3 分）方程 2x25x30 的解是_5.5.（2011 山东淄博 14，4 分）方程 x22=0
14、 的根是6.6.（2011 四川达州，10，3 分）已知关于x的方程x2mx+n=0 的两个根是 0 和3，则m=，n=7.7.（2011 浙江衢州，11，4 分）方程x22x=0 的解为8.8.（2011 黑龙江省黑河，7，3 分）一元二次方程a24a7=0 的解为（）。三、解答题三、解答题1.1.（2011 江苏无锡，20，8 分）（1）解方程：x2+4x2=0；2.2.（2011 山东烟台，19，6 分）先化简再计算：x212x 12 x，其中x是一元二次方程x 2x 2 0的正数根.2x xx3.3.（2011 清远，18，5 分）解方程：x24x104.4.（2011 湖北武汉，17，6 分）解方程：x2+3x+1=05 5、已知 x1，x2是一元二次方程（a-6）x2+2ax+a=0 的两个实数根（1）是否存在实数 a，使-x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出 a 的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数 a 的整数值6、已知关于 x 的一元二次方程（x-m）2+6x=4m-3 有实数根（1）求 m 的取值范围；（2）设方程的两实根分别为 x1与 x2，求代数式 x1x2-x12-x22的最大值