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1、人教版九年级数学下二次函数最全的中考学问点总结相关概念及定义二次函数的概念：一般地,形如yax2bxcyax2bxc（ a ,b,ca ,b,c 是常数, a0 a0 ）的函数,叫做二次函数；这里22需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数可以为零二次函数的定义域是全体实数a0 a0 ,而 b ,cb ,c二次函数yaxbxcyaxbxc 的结构特点：次数 2 等号左边是函数,右边是关于自变量x x 的二次式, x x 的最高 a ,b ,cc 是常数项a ,b,c 是常数, a a 是二次项系数, b b 是一次项系数,二次函数各种形式之间的变换二次函数hyax 2b ,kbx4acc 用配
2、方法可化成： yb22a xhk 的形式,其中2a4a.二 次函 数 由特 殊到 一般 , 可 分为 以下 几种 形式 ： yax 2 ；yax 2kyax2bxc .2ya xh； 2ya xhk；二次函数解析式的表示方法2一般式：yaxbxc （ a , b , c 为常数, a0 ）；2顶点式：ya xhk （ a , h , k 为常数, a0 ）；两根式： 坐标） .ya xx1 xx2 （ a0 , x1 ,x2 是抛物线与 x 轴两交点的横留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的 二 次函数 都可 以写 成 交点 式, 只有 抛物 线与 x 轴 有交 点,
3、 即b24ac0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化 .二次函数yax2bxc 图象的画法2五 点 绘图 法 ： 利 用 配 方法 将 二 次函 数yaxbxc 化 为 顶点 式2ya xhk ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点 0 ,c0,c、以及 0 ,c0 ,c关于对称轴对称的点2h ,c、与 x轴的交点x1 ,0x1,0, x2 ,0x2 ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点） .画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与
4、y 轴的交点 .二次函数 y2ax的性质a a 的符号开口方顶点坐标向对称性质轴a0 a00 ,00 ,0y yx0 x轴0 时,y y 随x x 的增大而增大； x向上0 x0 时, y y 随 x x 的增大而减小； x0 x0 时, y y 有最小值 0 0 a0 a00 ,00 ,0y yx0 x轴0 时,y y 随x x 的增大而减小； x0 x0 时, y y 随 x x 的增大向下而增大； x0 x0 时, y y 有最大二次函数2yax2c yaxc 的性质值 0 0 a a 的符号开口方顶点坐标向对称性质轴a0 a00 ,c0 ,cy yx0 x轴0 时,y y 随x x 的
5、增大而增向上大； x0 x0 时, y y 随 x x 的增大而减小； x0 x0 时, y y 有最小值 c c a0 a00 ,c0 ,cy yx0 x轴0 时,y y 随x x 的增大而减向下小； x0 x0 时, y y 随 x x 的增大而增大； x0 x0 时, y y 有最大二次函数yaxh2的性质：值 c c a a 的符号开口方向顶点坐标对称性质轴a0 a0向上a0 a0向下h ,0h ,0h,0h,0X=hX=hxh xh 时, y y 随x x 的增大而增大； xh xh 时, y y 随 x x 的增大而减小； xh xh 时, y y 有最小值 0 0 xh xh 时
6、, y y 随x x 的增大而减小； xh xh 时, y y 随 x x 的增大而增大； xh xh 时, y y 有最大二次函数2yaxhk 的性质值 0 0 a a 的符号开口方顶点坐标向对称性质轴a0 a0向上h ,kh,kX=hxh xh 时, y y 随x x 的增大而增大； xh xh 时, y y 随 x x 的增大而减小； xh xh 时, y y 有最小值 k k a0 a0向下h ,kh,kX=hx h x h 时, y y 随x x 的增大而减小； x h x h 时, y y 随 x x 的增大而增大； x h x h 时, y y 有最大抛物线yax2bxc2yax
7、值 k k bxc 的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a 的符号打算抛物线的开口方向：当时,开口向下；a 相等,抛物线的开口大小、外形相同 .a0 时,开口向上；当a0xb对称轴：平行于 y 轴（或重合）的直线记作2a . 特殊地, y 轴记作直线 x0 .（ 顶点坐标：b4acb2,）2a4a顶点打算抛物线的位置 . 几个不同的二次函数,假如二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不2同.抛物线 yaxbxc 中,a, b, c 与函数图像的关系22二次项系数 a二次函数yaxbxcyaxbxc 中, a a 作为二次项系数,明显a 0 a0 当 a0 a0
8、 时,抛物线开口向上, a a 越大,开口越小,反之 a a 的值越小,开口越大； 当 a0 a0 时,抛物线开口向下, a a 越小,开口越小,反之 a a 的值越大,开口越大总结起来, a a 打算了抛物线开口的大小和方向, a a 的正负打算开口方向, aa 的大小打算开口的大小一次项系数 b b当b0b当b0b在 a0a当b0b当b0b当b0b在二次项系数 a a 确定的前提下, b b 打算了抛物线的对称轴 在 a0 a0 的前提下,当b0 b0 时,b02ab2a0,即抛物线的对称轴在y y 轴左侧；0 时,b2a0b2a0,即抛物线的对称轴就是 y y 轴；0 时,b2a0b2a
9、0,即抛物线对称轴在 y y 轴的右侧0 的前提下,结论刚好与上述相反,即0 时,b2a0b2a0,即抛物线的对称轴在y y 轴右侧；0 时,b2a0b2a0,即抛物线的对称轴就是 y y 轴；0 时,b2a0b2a0,即抛物线对称轴在 y y 轴的左侧总结起来,在 a a 确定的前提下, b b 打算了抛物线对称轴的位置总结：常数项 c c 当 c0 c0 时,抛物线与 y y 轴的交点在 x x 轴上方,即抛物线与y y轴交点的纵坐标为正； 当 c0 c0 时,抛物线与 y y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y y轴交点的纵坐标为0 0 ； 当 c0 c0 时,抛物线与 y y 轴的交点在
10、 x x 轴下方,即抛物线与y y轴交点的纵坐标为负总结起来, c c 打算了抛物线与 y y 轴交点的位置总之,只要 a ,b ,ca,b ,c 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的求抛物线的顶点、对称轴的方法y公 式 法 ：ax 2bxc2a xb 2a4acb2 4a, 顶 点 是b4ac（,2a4ab ）x2,对称轴是直线b 2a .配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为2ya xhk 的形式,得到顶点为 h , k ,对称轴是直线 xh .运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点 .用配方
11、法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.用待定系数法求二次函数的解析式一般式： y择一般式 .ax2bxc . 已知图像上三点或三对 x 、 y 的值,通常选顶点式： y2a xhk . 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式.交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x1 、x2 ,通常选用交点式：ya xx1xx2 .直线与抛物线的交点y 轴与抛物线 yax2bxc得交点为 0,c .与 y 轴平行的直线 xh 与抛物线 yax 2bxc有且只有一个交点 h ,ah 2bhc .抛物线与 x 轴的交点 : 二次函数 yax 2bxc 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标x1 、x
12、2 ,是对应一元二次方程ax2bxc0 的两个实数根. 抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点EMBED Equation.30抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在 x 轴上）EMBED Equation.30抛物线与 x 轴相切；没有交点EMBED Equation.30抛物线与 x 轴相离 .平行于 x 轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点. 当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 k ,就横坐标是ax 2bxck 的两个实数根 .一次函数 ykxn k0 的图像 l 与二次函数 y ykxnax2bx
13、c a0的图像 G 的交点,由方程组yax2bxc 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时EMBED Equation.3l 与G 有两个交点 ;方程组只有一组解时EMBED Equation.3l 与G 只有一个交点；方程组无解时EMBED Equation.3l 与G 没有交点 .抛物线与 x 轴两交点之间的距离：如抛物线yax 2bxc 与x 轴两交点为 Axxx1,0 , Bb , xx2,0x,由于cx1 、 x2 是方程ax 2bxc0 的两个根,故1212aaEMBEDEquation.3ABx1x22x1x22x1x24x1x22b 4caab24acaa二次函数图象的对称
14、:二次函数图象的对称一般有五种情形,可以用一般式或顶点式表达关于 x 轴对称yax2bxcyax2bxc 关 于 xx 轴 对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是yax2bxcyax2bxc ；2ya xh2kyaxhk 关 于 xx 轴 对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是2ya xh2k ya xhk ；22关于 y y 轴对称2yaxbxcyaxbxc 关 于 yy轴 对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是2yaxbxcyaxbxc ；2ya xh2kyaxhk 关 于 yy 轴 对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是2ya xh2k yaxhk ；关于原点对称yax2
15、bxcyax2bxc 关 于 原 点 对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是yax2bxcyax2bxc ；2ya xh2kyaxhk关 于 原 点 对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是2ya xh2k ya xhk ；关于顶点对称yax2bxcyax2bxc 关 于 顶 点 对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是2yax2bxcb22yaxbxcb2 a2ya xhk2ya xh2a ；k关 于 顶 点 对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是2ya xh2k ya xhk 关于点 m ,nm ,n 对称2ya xh2k ya xhk 关于点 m ,nm ,n对称后,得到的解
16、析式是2ya xh2m2nk2ya xh2m2nk总结：依据对称的性质,明显无论作何种对称变换,抛物线的外形一定不会发生变化,因此 aa 永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或便利运算的原就,挑选合适的形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向, 再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图象的平移平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xh2k ya xhk ,确定其顶点坐标 h ,kh ,k； 保持抛物线yax2yax2 的外形不变,将其顶点平移到h,kh ,k处,详细平移方法如下：y=ax2向上k0【或向下k0【或左h0【或左h0【或下k0【或下k0【或左h0】平移|k|个单位y=ax-h2+k移”平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移； k 值正上移,负下概括成八个字 “左加右减,上加下减”