《2022年人教版九年级数学下二次函数最全的中考二次函数知识点总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年人教版九年级数学下二次函数最全的中考二次函数知识点总结.docx（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点二次函数相关概念及定义yax2bxc（ a, , 是常数,a0）二次函数的概念：一般地,形如的函数,叫做二次函数；这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项 系数a0,而 b, 可以为零二次函数的定义域是全体实数2二次函数 y ax bx c的结构特点：等号左边是函数,右边是关于自变量 x 的二次式, x的最高次数是 2 a, , 是常数,a是二次项系数,b 是一次项系数,c是常数项二次函数各种形式之间的变换二次函数 y ax 2bx c 用配方法可化成：y a x h 2 k 的形式,其2中 h b,k 4 ac b . 2
2、 a 4 a二 次 函 数 由 特 殊 到 一 般 , 可 分 为 以 下 几 种 形 式 ： y ax 2； y ax 2 k； y a x h 2； y a x h 2k； y ax 2 bx c . 二次函数 y ax 2 的性质名师归纳总结 a的符号开口方 向顶点坐对称x0时,y随x的性质第 1 页,共 11 页标轴a0向上0,0y 轴；x0时,y随x的；x0时,y有最小值0a0向下0,0y 轴性质二次函数yax2c 的性质a的符号开口方 向顶点坐 标对称轴a0向上h2的性质：性质a0向下二次函数ya xa的符号开口方 向顶点坐 标对称轴a0向上h2k 的性质性质a0向下二次函数ya
3、xa的符号开口方 向顶点坐 标对称轴a0向上- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a0向下名师总结精品学问点二次项系数 a二次函数 y ax2bx c中, a作为二次项系数,明显 a 0总结起来, a打算了抛物线开口的大小和方向,a 的正负打算开口方向,a越大开口反而越小；一次项系数 b在二次项系数 a确定的前提下, b 打算了抛物线的对称轴总结起来常数项 c总结起来, c 打算了抛物线与 y 轴交点的位置总之,只要 a, , 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的求抛物线的顶点、对称轴的方法2 2公 式 法 ：y ax 2bx c a x b 4 ac b
4、, 顶 点 是2 a 4 a2（b,4 ac b）,对称轴是直线 x b . 2 a 4 a 2 a配方法： 运用配方的方法, 将抛物线的解析式化为 y a x h 2k 的形式,得到顶点为 h , k ,对称轴是直线 x h . 运用抛物线的对称性： 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,是顶点 . 对称轴与抛物线的交点用配方法求得的顶点, 再用公式法或对称性进行验证, 才能做到万无一失 . 用待定系数法求二次函数的解析式一般式：yax2bxc. 已知图像上 三点或三对 x 、 y 的值 ,通常挑选一般式 . 顶点式：yaxh2k. 已知图像的
5、顶点或对称轴 ,通常挑选顶点式 . 直线与抛物线的交点y 轴与抛物线yax2bxc得交点为 0, c. bxc有且只有一个交点与 y 轴平行的直线xh与抛物线yax2c的图像与 x 轴的两个交点 h ,ah2bhc. 抛物线与 x 轴的交点 : 二次函数yax2bx的横坐标x 、x ,是对应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0有一个交点（顶点在没有交点 0抛物线与 x轴相交；x轴上）0抛物线与 x 轴相切；抛物线与 x 轴相离 . 平行于 x 轴的直线与抛物线的交点名师归纳总结 - - - - - - -
6、第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时, 两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 k ,就横坐标是 ax 2 bx c k 的两个实数根 . 一次函数 y kx n k 0 的图像 l 与二次函数 y ax 2bx c a 0 的y kx n图像 G 的交点,由方程组y ax 2 bx c 的解的数目来确定： 同上 二次函数图象的对称 :二次函数图象的对称一般有五种情形,可以用一般式或顶点式表达关于 x轴对称y2 a xhb x关于 x 轴对称后,得到的解析式是yax2bx2c
7、 ；ya x2k 关于 x轴对称后,得到的解析式是ya xhk ；关于 y 轴对称y2 a xhb x关于 y 轴对称后,得到的解析式是yax2bx2c；ya x2k 关于 y轴对称后,得到的解析式是ya xhk ；关于原点对称y2 a xb x关于原点对称后,得到的解析式是yax2bx2c ；yax2 h关于原点对称后,得到的解析式是ya xh2k ；y关于顶点对称yax2bxc2 b2 a；2 a xb x关于顶点对称后,得到的解析式是ya xh2k 关于顶点对称后,得到的解析式是ya xhk 二次函数图象的平移平移步骤：2 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ,确定其顶点坐标
8、 h,k； 保持抛物线 y ax 的外形不变, 将其顶点平移到 h,k 处,详细平移方法如下：y=ax2向上k0【或向下k0【或左h0【或左h0【或左h0【或下k0【或下k0】平移|k|个单位y=ax-h2+k平移规律在原有函数的基础上 “ h 值正右移,负左移；概括成八个字“ 左加右减,上加下减”二次函数专项训练一、与二次函数有关的填空题k值正上移,负下移 ”y 1 y 名师归纳总结 5 y2 第 3 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1如图 7 是二次函数y 1 ax名师总结精品学问点y2y12bxc 和一次函数y 2mxn 的图象
9、,观看图象写出时, x 的取值范畴 _；y1 y 5 y 2 x -4 -3 -2 -1 O 1 2 y 2mxn 的图象,观看图象写出y2y12如图 7 是二次函数y 1 ax 图 7 2bxc 和一次函数时, x 的取值范畴 _；二、与二次函数有关的挑选题型1、对于一元二次方程 ax 2 bx c 0 a 0）,以下说法：如 a b 1,就方程 ax 2bx c 0 肯定有一根是 x 1c c如 c a 3, b 2 a 2,就方程 ax 2bx c 0 有两个相等的实际上数根如 a ,0 b 0 , c 0,就方程 cx 2 bx c 与 x 轴必有交点如 ab bc 0 , 且 a 1
10、,就方程 cx 2bx a 0 的两实数根肯定互为相反数其中正确c的是（）A、 B、 C、 D、2、一元二次方程 ax 2bx c 0（a 0）的两根为 x 1, x 2,以下说法：如原方程有一根为 x 1 b,就原方程两根必相等2 a2如原方程两根为 x 1, x 2,且 x 1 x 2,一元二次不等式 ax bx c 0 a 0 的解集为x 1x 或 x x 2如原方程有一根为 c,就另一根为 -1 a如 b 2 4 ac 0,原方程两根为 x 1、x 2,就 x 1 x 2 b 其中正确选项（）aA、 B、只有 C、 D、3、对于抛物线 y ax 2 4 ax m a0 与 x 轴的交点
11、为 A（-1 ,0）B（x2,0）,就以下说法：名师归纳总结 一元二次方程ax24 axm0的两根为x 11 ,x33第 4 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点原抛物线与 y 轴交于 C点, CD x 轴交抛物线于 D点,就 CD=4 点 E（ 1,1y ）,点 F（ -5 ,y ）在原抛物线上,就y2y 1y=x2-5x+4 抛物线yax24axm与原抛物线关于x 轴对称其中正确选项（）A、 B、 C、 D、4、对于抛物线y=x2+mx+n,以下说法：（1）当 n=4 时,不论 m为何值时,抛物线肯定过y 轴上肯定
12、点（2）如抛物线与x 轴有唯独公共点,就方程x2+mx+n=0有两个相等的实数根（3）如抛物线与x 轴有两个交点A、B,与 y 轴交于 C点,n=4,S ABC=6,就解析式为（4）如 6m 2+n=0,就方程 x2+mx+n=0的两根分别是2m或-3m 其中正确选项（）A、 B、只有 C、只有 D、5、对于抛物线y= ax2+bx+c（a 0）,以下说法：如顶点在x 轴下方,就一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根如抛物线经过原点,就一元二次方程ax2+bx+c=0 必有一根为0 如 a-b+c=2 ,就抛物线必过某肯定点如 2b=4a+c,就一元二次方程 ax 2+bx+c
13、=0,必有一根为 -2 其中正确选项（）A、 B、 C、 D、6. 对于一元二次方程 ax 2bx c 0 a 0 ,以下说法： b a c 时 , 方 程 ax 2bx c 0 一 定 有 实 数 根 ； 如 a 、 c 异 号 , 就 方 程2 2 2ax bx c 0 肯定有实数根； b 5 ac 0 时,方程 ax bx c 0 肯定有两个不相 等 的 实 数 根 ； 如 方 程 ax 2bx c 0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 , 就 方 程2cx bx a 0 也肯定有两个不相等实数根；其中正确选项A、 B 、只有 C 、只有 D 、只有三、二次函数应用题1、家家乐超市
14、销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱45 元；市场调查发觉：如每箱以60 元销售,平均每天可销售 40 箱,价格每降低 1 元,平均每天多销售 20 箱,但售价不能低于 48 元,设每箱降价 x 元（ x 为正整数）（1）写出平均每天销售 y（箱）与 x（元）之间的函数关系式及自变量 x 的取值范畴；（2）如何定价才能能使超市平均每天销售这种牛奶的利润最大？最大利润为多少？2、黄陂木兰山宾馆有50 个房间可供游客居住,当每个房间定价为每天180 元时, 房间会全部住满,当每个房间每天的定价每增加10 元时,就会有一个房间闲暇,假如游客居住名师归纳总结 房间,宾馆需每天每间支出20 元的各种费用
15、；第 5 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）设每个房间每天的定价增加名师总结精品学问点y,写出x 元,（X 是 10 的整数倍）已租住的房间数为y 与 x 的函数关系式；（2）当每个房间每天的房价定为多少元时,宾馆每天的利润最大,最大利润是多少？3、某公司试销一种成本为30 元/ 件的新产品,按规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于 80 元/ 件,试销中每天的销售量y（件）与销售单价x（元 / 件）满意下表中的函数关系X（元 / 件）35 40 45 50 y 与 x 的函数关系Y（件）550 500 450 400 （1
16、）已知每天的销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数,求式,并写出x 的取值范畴；（2）当销售单价定为多少元时,公司销售该产品每天获得的利润最大？最大利润为多少？4、进价为每件40 元的某商品,售价为每件60 元,每星期可卖出300 件；市场调查反映：假如每件的售价每下降1 元,每星期可多卖出20 件,但售价不能低于每件45 元；设每件降价 x 元（ x 为正整数）；（1）设每星期的销售量为y 件,求 y 与 x 的函数关系式及自变量x 的取值范畴（2）如何定价才能使每星期的利润最大？并求出每星期的最大利润；四、二次函数有关压轴题名师归纳总结 1、如图 1,抛物线yax2bxc与 x 轴交于
17、 A、 B两点,与 y 轴负半轴交于C ,其第 6 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 中点 A 在 x 轴负半轴,线段名师总结精品学问点x24x30的两根,且抛物OA、 OC的长（ OAOC是方程线的对称轴是直线x1（1）求抛物线的解析式（2）过 A 点作直线交对称轴于 E 点,AECE,且 E 点到 x 轴的距离大于到 y 轴的距离,直线 AE交抛物线于 S 点,点 P 是线段 AS上的一个动点,设 P 点的横坐标为 x, PA= y ,当 P 点运动时,求 y 与 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范畴；（3）如图 2,在（
18、 1）的抛物线中,点M为其顶点, T、R为 x 轴上方抛物线上的两个动点,取点 Q（30,）,直线 TQ交 AM于 H,RQ交 BM于 N,且 TQN=AMB,当点 T、R在抛物BTx5线上运动时,问：QH 的值是否发生变化？如不变,求其值；如变化,请说明理由；QNAyyOBxRAHOQNPCSCM2、如图 1,已知抛物线y=a x2bxc经过原点,顶点坐标为（1,1）,抛物线与x 轴3另一个交点为 A；（1）求抛物线的解析式；（2）点 E（ 3,h）在抛物线上,过E 点作直线交点作直线交轴于F,且 FEO=45 ,点P是线段 EF上一动点, 过 P 点向 x 轴、y 轴作垂线, 垂足分别为K
19、、H,设点 P的坐标为 （x,y ）,名师归纳总结 四边形 PHOK的面积为 S,求 S与的函数关系式,并写出自变量x 的取值范畴；第 7 页,共 11 页（3）如图 2,过 O、E 二点作 O 交 x 轴正半轴于N,交 y 轴负半轴于M,当 O 的大小发生变化时,问：3ON-OM的值是否发生变化？如不变,求其值；如变化,请说明理由；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y名师总结精品学问点yFKPAExOO1ENxHOM3、如图 1,直线 y=mx+4与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 C,CE x 轴交 CAO的平分线于点E,抛物线yax25ax4
20、经过点 A、C、E,与 x 轴交于另一点B （1）求抛物线的解析式；（2）点 P 是线段 AB上的一个动点,边CP,作 CPF=CAO,交直线 BE 于 F,设线段PB的长为 x,线段 BF 的长为6y,当 P 点运动时,求y 与 x 的函数关系式,并写出自5变量 x 的取值范畴,在同一坐标系中,该函数的图象与（1）的抛物线中y0 的部分有何关系？（3）如图 2,点 G的坐标为（16 ,0）,过 A 点的直线 y kx 3 k k 0 交 y 轴于点3N,与过 G点的直线 y 1 x 16交于点 P,C、D 两点交于原点对称,DP 的延长k 3 k线交抛物线于点 M,当 k 的取值发生变化时,
21、 问：tan APM的值是否发生变化？如不变,求其值,如变化,请说明理由；ACyExAPCyGBxOODMN4、如图 1,过原点的抛物线y=ax2-4ax 与 x 轴交于另一点A,E（0,-3 ）,名师归纳总结 ED x 轴交抛物线与C、D,且 OC= 10第 8 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点（1）求抛物线的解析式（2）点 P 在抛物线的对称轴上,且在直线CD的上方,如 EPC=EOC,且点 P 到两坐标轴的距离不相等,EP交 x 轴于 T,点 H是线段 PT上一动点,点 H到 y 轴的距离为 n,到 x 轴的
22、距离为 m,求 m与 n 的函数关系式,并求自变量 n 的取值范畴；（3）如图 2,点 S为抛物线的顶点,过 O,S两点的圆的圆心 O 在 y 轴负半轴上, O 交对称轴于另一点 B,过 O 作 FOG=OOB,将 FOG绕 O 点在第一象限内旋转,使 OF、 OG分别交对称轴和直线 OB 于 K,Q,问：BK-BQ的值是否发生变化？如不变,求其值； 如变化,请说明理由；5、如下列图,在直角坐标系中,O为坐标原点, A点坐标为（ -8 ,0）,B点坐标为（ 2,0）,以 AB的中点 P 为圆心, AB为直径作 P 与 x 轴的负半轴交于点 C,（1）求经过 A、 B、C三点的抛物线的解析式；（
23、2）设（ 1）中的抛物线的顶点为M,试判定直线MC与 P 的位置关系,并说明理由；（3）过原点 O作直线 BC的平行线 OG与直线 MC相交于点 G,连 AG,求出点 G的坐标,并证明 AGMC；yAPOBxC压轴题参考答案名师归纳总结 1、（1） y=x2-2x-3 第 9 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 2）作 CG对称轴于G,对称轴交名师总结精品学问点x 轴于 F,设 EG=m,就 EF=3-m,AF=2, CG=1,证 CEG AFE,m = 231m, m1=1, m2=2（舍去）, E（1,-2 ）,直线 AE的解析式
24、为： y=-x-1 联立yx1x3得yx22S（2,-3 ）,证 EF=AF=2, FAE=45 0,作 PHx 轴于 H,就 PH=AH=x+1,PA 2=PH 2+AH 2,y=2x+12=2x2+4x+2（-1 x2）（ 3）作 QEAM于 E,QFBM于 F,证 QHE= QNF, QHE QNF,QH = QNQE ,证 MAB=MBA,QF QAE QBF,QE = QFAQ = BQ2QH = QN2332、（1） y=1 x 32-2 x 3（ 2）易求 E（ 3,1）,作 OBOE交直线 EF 于 B,作 BC y 轴于 C,证 OB=OE, OAE OBC B（-1 ,3）
25、,直线 BE 的解析式为： y=-1 x+ 25 , F（0,25 ）,S=xy=x-21 x+ 25 =-21 x 22+5 x（0 x 2 3）（ 3）作 EKOE 交于 K,证 EON= MKE, ONE= OME, OEN KEM,ON = KMOE =tan OKE,作 KEEGx 轴于 G,tan EOG= EG =OG1 =tan OKE,在 Rt OEG中, OE= 10 , KE=3 10 3在 Rt OKE中, OK=10, KM=30N, 30N-OM=KM-OM=KO=10 3、（1） y=-1 x 62+5 x+4 6最大 = 121, AB=11 （ 2）由 y=-
26、1 x 62+5 x+4 知： y 624易证： ACP=FPB,由抛物线对称性知CAO= FBP,故： APC BEP,BF = x 即 65 y= x ,AP AC 11 x 5 y= 1 11-xx=-1 x 2+ 11x0 x11y 最大 = 121 6 6 6 24该抛物线相当于把原抛物线向右平移了 3 个单位；（ 3）设 PG交于 y 轴于 Q,易求 A（ -3, 0）、 N（0,3K）、 G（16 , 0）、 Q（ 0,16 ）、D（ 0, -4 ）3 3 k易证：OQ =-1 ,OA =-1 ,OQ = OA , OQG OAN OG k ON k OG ON证 NPQ=QOG
27、=90 0,OD 2=OAOG, ADG=90 0, AD 2=AOAG=APAN APD ADN APD=ADN DPN=ADO APM=ADO tan APM=tanADO= 34名师归纳总结 4、（1）y=x2-4x （2）设 OC交 EP于 M,证 OEM PCM, OPM ECM, OCP=第 10 页,共 11 页OEP,POC=PEC, POC+OCP=90 0, OPC=90 0（或当 OPPC时, O、P、C、E四点- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点共圆,满意条件,下同）设对称轴交OA于 N,交 CD于 F,证 O
28、PN CPF,CF = PNPF ,设 PF=x,就 ON31x=x ,2x1=1,x2=2, P1（2,-2 ）（舍去）,P2（2,-1 ）, 直线 EP:y=x-3 , T（3,0）,H（n,-m ）, n-3=-m , m=-n+3（2n3）名师归纳总结 3 设对称轴交x 轴于 H,作 OM对称轴于M,易求 S（ 2,-4 ）,设 OO=R= SO第 11 页,共 11 页HM= OO=R,OM=2,MS=4-R,在 Rt OMS中,22+4-R2=R 2,R=5 ,MS=4-25 = 23 =BM,2HB=1,作 ON OB 于 N,证 OB 平分 NBH, OBN OBH,BN=BH,ON=OH,证 FOG=OOB=KBQ, OKB=OQB, OKH ONQ,BK-BQ=BN+BH=2BH=2（定值）- - - - - - -