《2022年人教版九年级数学下二次函数最全的中考二次函数知识点总结 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年人教版九年级数学下二次函数最全的中考二次函数知识点总结 .pdf（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、名师总结精品知识点二次函数相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc， ，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零二次函数的定义域是全体实数二次函数2yaxbxc的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2 abc， ，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项二次函数各种形式之间的变换二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，. 二 次 函 数 由 特 殊 到 一 般 ， 可 分 为 以 下 几 种 形 式 ： 2axy；ka
2、xy2； 2hxay； khxay2； cbxaxy2. 二次函数2axy的性质二次函数2yaxc的性质二次函数2ya xh的性质：二次函数2ya xhk的性质a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0 x时，y随x的；0 x时，y随x的；0 x时，y有最小值00a向下00，y轴a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0a向下a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0a向下a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页名师总结精品知识点二次项系数a二次函数2yaxbxc
3、中，a作为二次项系数，显然0a总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a越大开口反而越小。一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴总结起来常数项c总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置总之，只要abc， ，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的求抛物线的顶点、对称轴的方法公 式 法 ：abacabxacbxaxy442222， 顶 点 是），（abacab4422，对称轴是直线abx2. 配方法： 运用配方的方法， 将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为 ( h, k ) ，对称轴是直线hx. 运用抛物线的对称性： 由于抛物线是以对称轴
4、为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点 . 用配方法求得的顶点， 再用公式法或对称性进行验证， 才能做到万无一失 . 用待定系数法求二次函数的解析式一般式：cbxaxy2. 已知图像上 三点或三对x、 y的值 ，通常选择一般式 . 顶点式：khxay2. 已知图像的 顶点或对称轴 ，通常选择顶点式 . 直线与抛物线的交点y 轴与抛物线cbxaxy2得交点为 (0, c). 与 y 轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点( h,cbhah2). 抛物线与x轴的交点 : 二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2
5、x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根 . 抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离 . 平行于x轴的直线与抛物线的交点0a向下精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页名师总结精品知识点可能有 0 个交点、 1 个交点、2 个交点 . 当有 2 个交点时， 两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是kcbxax2的两个实数根 . 一次函数0knkxy的图像 l 与二次函数02acb
6、xaxy的图像 G的交点，由方程组2ykxnyaxbxc的解的数目来确定： ( 同上) 二次函数图象的对称 :二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于x轴对称2ya xb xc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于x轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；关于y轴对称2ya xb xc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；关于原点对称2ya xb xc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk；关于顶点对称2ya xb
7、xc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk二次函数图象的平移平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线2yax的形状不变， 将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2平移规律在原有函数的基础上 “h值正右移，负左移；k值正上移，负下移 ” 概括成八个字“左加右减，上加下减” 二次函数专项训练一、与二
8、次函数有关的填空题5 y2 y1 y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页名师总结精品知识点1如图 7是二次函数y1 ax2bxc 和一次函数y2mxn 的图象，观察图象写出y2y1时， x 的取值范围 _。2如图 7是二次函数y1 ax2bxc 和一次函数y2mxn 的图象，观察图象写出y2y1时， x 的取值范围 _。二、与二次函数有关的选择题型1、对于一元二次方程acbxax(020） ，下列说法：若1cbca，则方程02cbxax一定有一根是1x若232,abac，则方程02cbxax有两个相等的实际上数根若
9、0,0, 0cba，则方程cbxcx2与x轴必有交点若,0bcab且1ca，则方程02abxcx的两实数根一定互为相反数其中正确的是（）A、 B、 C、 D、2、一元二次方程02cbxax（a0）的两根为21,xx，下列说法：若原方程有一根为abx21，则原方程两根必相等若原方程两根为21,xx，且21xx，一元二次不等式)0(02acbxax的解集为1xx或2xx若原方程有一根为ac，则另一根为 -1 若042acb，原方程两根为21、xx，则abxx21其中正确的是（）A、 B、只有 C、 D、3、对于抛物线amaxaxy(42)0与 x 轴的交点为A （-1 ，0）B（x2，0） ，则下
10、列说法：一元二次方程042maxax的两根为3,131xxO -1 2 -2 1 -3 -4 5 y2 x y1 图 7 y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页名师总结精品知识点原抛物线与y 轴交于 C点， CD x 轴交抛物线于D点，则 CD=4 点 E（ 1，1y） ，点 F（ -5，2y）在原抛物线上，则12yy抛物线maxaxy42与原抛物线关于x 轴对称其中正确的是（）A、 B、 C、 D、4、对于抛物线y=x2+mx+n,下列说法：（1）当 n=4 时，不论m为何值时，抛物线一定过y 轴上一定点（2）若
11、抛物线与x 轴有唯一公共点，则方程x2+mx+n=0有两个相等的实数根（3） 若抛物线与x 轴有两个交点A、 B， 与 y 轴交于 C点， n=4， SABC=6， 则解析式为y=x2-5x+4 （4）若 6m2+n=0，则方程x2+mx+n=0的两根分别是2m或-3m 其中正确的是（）A、 B、只有 C、只有 D、5、对于抛物线y= ax2+bx+c（a0） ，下列说法：若顶点在x 轴下方，则一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根若抛物线经过原点，则一元二次方程ax2+bx+c=0 必有一根为0 若 a-b+c=2 ，则抛物线必过某一定点若 2b=4a+c，则一元二次方程ax
12、2+bx+c=0，必有一根为 -2 其中正确的是（）A、 B、 C、 D、6. 对于一元二次方程)0(02acbxax，下列说法：cab时 ， 方 程02cbxax一 定 有 实 数 根 ； 若a、c异 号 ， 则 方 程02cbxax一定有实数根；052acb时，方程02cbxax一定有两个不相 等 的 实 数 根 ； 若 方 程02cbxax有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 方 程02abxcx也一定有两个不相等实数根。其中正确的是A、 B 、只有 C 、只有 D 、只有三、二次函数应用题1、家家乐超市销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱45 元。市场调查发现：若每箱以60
13、元销售，平均每天可销售40 箱，价格每降低1 元，平均每天多销售20 箱，但售价不能低于 48 元，设每箱降价x 元（ x 为正整数）（1）写出平均每天销售y（箱）与x（元）之间的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）如何定价才能能使超市平均每天销售这种牛奶的利润最大？最大利润为多少？2、黄陂木兰山宾馆有50 个房间可供游客居住，当每个房间定价为每天180 元时， 房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10 元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需每天每间支出20 元的各种费用。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页
14、，共 11 页名师总结精品知识点（1）设每个房间每天的定价增加x 元， （X是 10 的整数倍）已租住的房间数为y，写出y 与 x 的函数关系式。（2）当每个房间每天的房价定为多少元时，宾馆每天的利润最大，最大利润是多少？3、某公司试销一种成本为30 元/ 件的新产品，按规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于 80 元/ 件，试销中每天的销售量y（件）与销售单价x（元 / 件）满足下表中的函数关系X （元 / 件）35 40 45 50 Y （件）550 500 450 400 （1）已知每天的销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数，求y 与 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围。
15、（2）当销售单价定为多少元时，公司销售该产品每天获得的利润最大？最大利润为多少？4、进价为每件40 元的某商品，售价为每件60 元，每星期可卖出300 件。市场调查反映：如果每件的售价每下降1 元，每星期可多卖出20 件，但售价不能低于每件45 元。设每件降价 x 元（ x 为正整数）。（1）设每星期的销售量为y 件，求 y 与 x 的函数关系式及自变量x 的取值范围（2）如何定价才能使每星期的利润最大？并求出每星期的最大利润。四、二次函数有关压轴题1、如图 1，抛物线cbxaxy2与 x 轴交于 A、 B两点，与y 轴负半轴交于C ， 其精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
16、归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页名师总结精品知识点SCBPxyOACQBHMTxyNOAR中点 A在 x 轴负半轴，线段OA 、 OC的长（ OA OC 是方程0342xx的两根，且抛物线的对称轴是直线1x（1）求抛物线的解析式（2）过 A点作直线交对称轴于E点，AE CE，且 E点到 x 轴的距离大于到y 轴的距离，直线 AE交抛物线于S点，点 P 是线段 AS上的一个动点，设P点的横坐标为x， PA=y，当 P点运动时，求y 与 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。（3）如图 2，在（ 1）的抛物线中，点M为其顶点， T、R为 x 轴上方抛物线上的两个
17、动点，取点Q（0 ,53） ，直线 TQ交 AM于 H，RQ交 BM于 N，且 TQN= AMB ，当点 T、R在抛物线上运动时，问：QNQH的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由。2、如图 1，已知抛物线y=a cbxx2经过原点，顶点坐标为（1，31） ，抛物线与x 轴另一个交点为A。（1）求抛物线的解析式；（2）点 E（ 3，h）在抛物线上，过E 点作直线交点作直线交轴于F，且 FEO=45 ，点P是线段 EF上一动点， 过 P点向 x 轴、y 轴作垂线， 垂足分别为K、H ，设点 P的坐标为 （x,y ） ，四边形 PHOK 的面积为 S，求 S与的函数关系式，并写出自变
18、量x 的取值范围。（3）如图 2，过 O、E 二点作 O交 x 轴正半轴于N，交 y 轴负半轴于M ，当 O 的大小发生变化时，问：3ON-OM 的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页名师总结精品知识点EOyxCAOyxCMGDBANPyxOFPEHKAxyO1NMOE3、如图 1，直线 y=mx+4与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点C，CE x 轴交 CAO 的平分线于点E，抛物线452axaxy经过点 A、C、E，与 x 轴交于另一点B （1）求抛物线的解析式
19、。（2）点 P 是线段AB上的一个动点，边CP ，作 CPF= CAO ，交直线BE于 F，设线段PB的长为 x，线段 BF的长为y56，当 P点运动时，求y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围，在同一坐标系中，该函数的图象与（1）的抛物线中y0 的部分有何关系？（3）如图 2，点 G的坐标为（316，0） ，过 A点的直线)0(3kkkxy交 y 轴于点N，与过 G点的直线kxky3161交于点 P，C、D 两点交于原点对称，DP 的延长线交抛物线于点M ， 当 k 的取值发生变化时， 问：tan APM的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由。4、如图 1，过原
20、点的抛物线y=ax2-4ax 与 x 轴交于另一点A，E（0，-3 ） ，ED x 轴交抛物线与C、D ，且 OC=10精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页名师总结精品知识点（1）求抛物线的解析式（2）点 P在抛物线的对称轴上，且在直线CD的上方，若EPC= EOC ，且点 P到两坐标轴的距离不相等，EP交 x 轴于 T，点 H是线段 PT上一动点，点H到y 轴的距离为n，到 x 轴的距离为m ，求 m与 n 的函数关系式，并求自变量n 的取值范围。（3）如图 2，点 S为抛物线的顶点，过O ，S两点的圆的圆心O在
21、y 轴负半轴上， O交对称轴于另一点B ，过 O 作 FOG= OOB，将 FOG绕 O 点在第一象限内旋转，使OF 、 OG分别交对称轴和直线OB 于 K，Q ，问：BK-BQ的值是否发生变化？若不变，求其值； 若变化，请说明理由。5、如图所示，在直角坐标系中，O为坐标原点， A点坐标为（ -8 ，0） ，B点坐标为（ 2，0） ，以 AB的中点 P为圆心， AB为直径作 P与 x 轴的负半轴交于点C，（1）求经过A、 B、C三点的抛物线的解析式。（2）设（ 1）中的抛物线的顶点为M ，试判断直线MC与 P的位置关系，并说明理由。（3）过原点 O作直线 BC的平行线OG与直线 MC相交于点G
22、 ，连 AG ，求出点 G的坐标，并证明 AG MC 。CBAOxPy压轴题参考答案1、 （1）y=x2-2x-3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页名师总结精品知识点（2）作 CG 对称轴于G，对称轴交x 轴于 F，设 EG=m ，则 EF=3-m，AF=2，CG=1 ，证 CEG AFE，2m=m31，m1=1，m2=2（舍去）， E（1，-2 ） ，直线 AE的解析式为： y=-x-1 联立3212xxyxy得S（2，-3） ，证 EF=AF=2 ，FAE=450，作 PH x 轴于 H，则 PH=AH=x+
23、1 ，PA2=PH2+AH2，y=2(x+1)2=2x2+4x+2（-1x2）（3）作 QE AM于 E，QF BM于 F，证 QHE= QNF ， QHE QNF ，QNQH=QFQE，证 MAB= MBA ，QAE QBF ，QFQE=BQAQ=32QNQH=322、 （1）y=31x2-32x （2）易求 E （3，1） ，作 OB OE交直线 EF于 B ，作 BC y 轴于 C，证 OB=OE ， OAE OBC B（-1 ，3） ，直线 BE 的解析式为： y=-21x+25，F（0，25） ，S=xy=x(-21x+25)=-21x2+25x（0 x3）（3）作 EKOE 交于
24、K，证 EON= MKE ， ONE= OME ， OEN KEM ，KMON=KEOE=tan OKE ，作EG x 轴于 G，tan EOG=OGEG=31=tan OKE ，在 RtOEG 中， OE=10， KE=310在 RtOKE中， OK=10 ， KM=30N ， 30N-OM=KM-OM=KO=10 3、 （1）y=-61x2+65x+4 （2）由 y=-61x2+65x+4 知：y最大= 24121，AB=11 易证： ACP= FPB，由抛物线对称性知CAO= FBP ，故： APC BEP ，APBF=ACx即xy1156=5x，y=61(11-x)x=-61x2+61
25、1x(0 x11)(y最大=24121) 该抛物线相当于把原抛物线向右平移了3 个单位。（3）设 PG交于 y 轴于 Q，易求 A（ -3，0） 、N（0，3K） 、G （316，0） 、Q （0，k316） 、D（0，-4 ）易证：OGOQ=-k1，ONOA=-k1，OGOQ=ONOA， OQG OAN 证 NPQ= QOG=900，OD2=OA OG ， ADG=900， AD2=AO AG=AP AN APD ADN APD= ADN DPN= ADO APM= ADO tan APM=tanADO=434、 （1）y=x2-4x （2）设 OC交 EP于 M ，证 OEM PCM ，
26、OPM ECM ， OCP= OEP ，POC= PEC ， POC+ OCP=900， OPC=900（或当 OP PC时， O 、P、C、E四点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页名师总结精品知识点共圆，满足条件，下同）设对称轴交OA于 N，交 CD于 F，证 OPN CPF ，PNCF=ONPF，设 PF=x，则x31=2x，x1=1，x2=2， P1（2，-2 ） （舍去），P2（2，-1 ） ， 直线 EP:y=x-3 ， T（3，0） ，H（n,-m ） ， n-3=-m ， m=-n+3（2n3）(3) 设对称轴交x 轴于 H，作 OM 对称轴于M ，易求 S（ 2，-4） ，设 OO =R= SO HM= OO =R，OM=2 ，MS=4-R ，在 Rt O MS中，22+(4-R)2=R2，R=25，MS=4-25=23=BM ，HB=1，作 ON O B 于 N，证 OB平分 NBH ， OBN OBH ，BN=BH ，ON=OH ，证 FOG=OO B=KBQ ， OKB= OQB ， OKH ONQ ，BK-BQ=BN+BH=2BH=2（定值）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页